Diagrama de Bode

La amplitud en decibelios se suele medir utilizando${\displaystyle {\text{dB}}=20\log _{10}(X)}$para definir decibelios. Dada una función de transferencia en la forma

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}},}$

dónde${\displaystyle x_{n}}$y${\displaystyle y_{n}}$son constantes,${\displaystyle s=\mathrm {j} \omega }$,${\displaystyle a_{n},b_{n}>0}$, y${\displaystyle H}$es la función de transferencia:

• En cada valor de s donde${\displaystyle \omega =x_{n}}$(un cero), aumenta la pendiente de la línea en${\displaystyle 20a_{n}\ {\text{dB}}}$por década .
• En cada valor de s donde${\displaystyle \omega =y_{n}}$(un poste), disminuye la pendiente de la línea en${\displaystyle 20b_{n}\ {\text{dB}}}$por década.
• El valor inicial de la gráfica depende de los límites. El punto inicial se encuentra al introducir la frecuencia angular inicial.${\displaystyle \omega }$en la función y encontrar${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|}$.
• La pendiente inicial de la función en el valor inicial depende del número y el orden de los ceros y polos que se encuentran en valores inferiores al valor inicial, y se encuentra utilizando las dos primeras reglas.

Para manejar polinomios irreducibles de segundo orden,${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$en muchos casos se puede aproximar como${\displaystyle ({\sqrt {a}}x+{\sqrt {c}})^{2}}$.

Tenga en cuenta que los ceros y los polos ocurren cuando${\displaystyle \omega }$es igual a un cierto${\displaystyle x_{n}}$o${\displaystyle y_{n}}$Esto se debe a que la función en cuestión es la magnitud de${\displaystyle H(\mathrm {j} \omega )}$y puesto que es una función compleja,${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|={\sqrt {H\cdot H^{*}}}}$. Por lo tanto, en cualquier lugar donde haya un cero o un polo que involucre el término${\displaystyle (s+x_{n})}$, la magnitud de ese término es${\displaystyle {\sqrt {(x_{n}+\mathrm {j} \omega )(x_{n}-\mathrm {j} \omega )}}={\sqrt {x_{n}^{2}+\omega ^{2}}}}$.

Para corregir una gráfica de amplitud de línea recta:

• En cada cero, coloque un punto${\displaystyle 3a_{n}\ {\text{dB}}}$por encima de la línea.
• En cada poste, coloca una punta.${\displaystyle 3b_{n}\ {\text{dB}}}$debajo de la línea.
• Dibuja una curva suave que pase por esos puntos, utilizando las líneas rectas como asíntotas (líneas a las que se aproxima la curva).

Tenga en cuenta que este método de corrección no incorpora cómo manejar valores complejos de${\displaystyle x_{n}}$o${\displaystyle y_{n}}$En el caso de un polinomio irreducible , la mejor manera de corregir la gráfica es calcular la magnitud de la función de transferencia en el polo o cero correspondiente al polinomio irreducible y colocar ese punto encima o debajo de la línea en ese polo o cero.

Dada una función de transferencia de la misma forma que la anterior,

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}},}$

La idea es dibujar gráficos separados para cada polo y cero, y luego sumarlos. La curva de fase real viene dada por

${\displaystyle \varphi (s)=-\arctan {\frac {\operatorname {Im} [H(s)]}{\operatorname {Re} [H(s)]}}.}$

Para dibujar el diagrama de fase, para cada polo y cero:

• Si${\displaystyle A}$es positivo, línea de inicio (con pendiente cero) en 0°.
• Si${\displaystyle A}$es negativo, línea de inicio (con pendiente cero) en −180°.
• Si la suma del número de ceros y polos inestables es impar, añada 180° a esa base.
• En cada${\displaystyle \omega =|x_{n}|}$(para ceros estables)${\displaystyle -\operatorname {Re} (z)<0}$), aumentar la pendiente en${\displaystyle 45a_{n}}$títulos por década, comenzando una década antes${\displaystyle \omega =|x_{n}|}$(p.ej,${\displaystyle |x_{n}|/10}$).
• En cada${\displaystyle \omega =|y_{n}|}$(para postes estables)${\displaystyle -\operatorname {Re} (p)<0}$), disminuir la pendiente en${\displaystyle 45b_{n}}$títulos por década, comenzando una década antes${\displaystyle \omega =|y_{n}|}$(p.ej,${\displaystyle |y_{n}|/10}$).
• Polos y ceros "inestables" (semiplano derecho)${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$) tienen un comportamiento opuesto.
• Aplanar la pendiente de nuevo cuando la fase haya cambiado por${\displaystyle 90a_{n}}$grados (para un cero) o${\displaystyle 90b_{n}}$grados (para un polo).
• Después de trazar una línea para cada polo o cero, se suman las líneas para obtener el gráfico de fase final; es decir, el gráfico de fase final es la superposición de cada gráfico de fase anterior.

La magnitud (en decibelios ) de la función de transferencia anterior (normalizada y convertida a forma de frecuencia angular), dada por la expresión de ganancia en decibelios.${\displaystyle A_{\text{vdB}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{vdB}}&=20\log |H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )|\\&=20\log {\frac {1}{\left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right|}}\\&=-20\log \left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right|\\&=-10\log \left(1+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{\text{c}}^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Luego se graficó en función de la frecuencia de entrada.${\displaystyle \omega }$En una escala logarítmica, se puede aproximar mediante dos líneas , que forman el diagrama de Bode de magnitud asintótica (aproximada) de la función de transferencia:

• La primera línea para frecuencias angulares a continuación${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$es una línea horizontal a 0  dB, ya que a bajas frecuencias la${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$El término es pequeño y puede despreciarse, lo que hace que la ecuación de ganancia de decibelios anterior sea igual a cero.
• La segunda línea para frecuencias angulares arriba${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$es una línea con una pendiente de −20  dB por década, ya que a altas frecuencias la${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$El término domina y la expresión de ganancia en decibelios anterior se simplifica a${\displaystyle -20\log(\omega /\omega _{\text{c}})}$, que es una línea recta con una pendiente de −20  dB por década.

Estas dos líneas se encuentran en la frecuencia de esquina.${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$En la gráfica se observa que para frecuencias muy inferiores a la frecuencia de corte, el circuito presenta una atenuación de 0  dB, lo que corresponde a una ganancia de banda de paso unitaria; es decir, la amplitud de la salida del filtro es igual a la amplitud de la entrada. Las frecuencias superiores a la frecuencia de corte se atenúan : cuanto mayor es la frecuencia, mayor es la atenuación . 

El diagrama de Bode de fase se obtiene al graficar el ángulo de fase de la función de transferencia dada por

${\displaystyle \arg H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )=-\tan ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}}$

versus${\displaystyle \omega }$, dónde${\displaystyle \omega }$y${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$son las frecuencias angulares de entrada y de corte respectivamente. Para frecuencias de entrada mucho menores que la de corte, la relación${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$es pequeño y, por lo tanto, el ángulo de fase es cercano a cero. A medida que la relación aumenta, el valor absoluto de la fase aumenta y se convierte en −45° cuando${\displaystyle \omega =\omega _{\text{c}}}$A medida que la relación aumenta para frecuencias de entrada mucho mayores que la frecuencia de corte, el ángulo de fase se aproxima asintóticamente a -90°. La escala de frecuencia para el gráfico de fase es logarítmica.

El eje de frecuencia horizontal, tanto en los gráficos de magnitud como de fase, puede reemplazarse por la relación de frecuencia normalizada (adimensional).${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$En tal caso, se dice que la gráfica está normalizada y ya no se utilizan las unidades de las frecuencias, puesto que todas las frecuencias de entrada se expresan ahora como múltiplos de la frecuencia de corte.${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$.

Las figuras 6 y 7 ilustran el comportamiento de la ganancia y la terminología. Para un amplificador de tres polos, la figura 6 compara el diagrama de Bode de la ganancia sin retroalimentación ( ganancia en lazo abierto ) A _OL con la ganancia con retroalimentación A _FB ( ganancia en lazo cerrado ). Consulte el apartado sobre amplificadores con retroalimentación negativa para obtener más detalles.

En este ejemplo, A _OL = 100  dB a bajas frecuencias, y 1 / β = 58  dB. A bajas frecuencias, A _FB ≈ 58  dB también.

Dado que se grafica la ganancia en lazo abierto A _{OL y no el producto β} A _OL , la condición A _OL = 1 / β determina f _{0  dB} . La ganancia de retroalimentación a bajas frecuencias y para valores grandes de A _OL es A _FB ≈ 1 / β (consulte la fórmula para la ganancia de retroalimentación al inicio de esta sección para el caso de una ganancia grande de A _OL ), por lo que una forma equivalente de encontrar f _{0  dB} es observar dónde la ganancia de retroalimentación interseca la ganancia en lazo abierto. (La frecuencia f _{0  dB} se necesita más adelante para calcular el margen de fase).

Cerca de este punto de cruce de las dos ganancias en f _{0  dB} , los criterios de Barkhausen se cumplen casi por completo en este ejemplo, y el amplificador de retroalimentación presenta un pico de ganancia enorme (sería infinito si β A _OL = −1). Más allá de la frecuencia de ganancia unitaria f _{0  dB} , la ganancia en lazo abierto es suficientemente pequeña como para que A _FB ≈ A _OL (examine la fórmula al principio de esta sección para el caso de A _OL pequeño ).

La figura 7 muestra la comparación de fase correspondiente: la fase del amplificador de retroalimentación es prácticamente cero hasta la frecuencia f ≈ _180° , donde la ganancia en lazo abierto tiene una fase de -180°. En esta región, la fase del amplificador de retroalimentación cae bruscamente hasta ser casi igual a la fase del amplificador en lazo abierto. (Recuerde que A _FB ≈ A _OL para valores pequeños de A _OL ).

Al comparar los puntos etiquetados en las figuras 6 y 7, se observa que la frecuencia de ganancia unitaria f _{0  dB} y la frecuencia de inversión de fase f ₁₈₀ son prácticamente iguales en este amplificador, f ₁₈₀ ≈ f _{0  dB} ≈ 3,332  kHz, lo que significa que el margen de ganancia y el margen de fase son casi cero. El amplificador presenta una estabilidad límite.

Las figuras 8 y 9 ilustran el margen de ganancia y el margen de fase para una cantidad diferente de retroalimentación β. El factor de retroalimentación se elige menor que en las figuras 6 o 7, desplazando la condición | β A _OL | = 1 a una frecuencia más baja. En este ejemplo, 1 / β = 77  dB, y a bajas frecuencias A _FB ≈ 77  dB también.

La figura 8 muestra la gráfica de ganancia. Según la figura 8, la intersección de 1 / β y A _OL se produce en f _{0  dB} = 1  kHz. Nótese que el pico de ganancia A _FB cerca de f _{0  dB} prácticamente desaparece. ^{[ nota 2 ] [ 9 ]}

La figura 9 es el diagrama de fase. Usando el valor de f _{0  dB} = 1  kHz encontrado anteriormente a partir del diagrama de magnitud de la figura 8, la fase de lazo abierto en f _{0  dB} es −135°, lo que representa un margen de fase de 45° por encima de −180°.

Utilizando la Figura 9, para una fase de −180° el valor de f ₁₈₀ = 3,332  kHz (el mismo resultado que se encontró anteriormente, por supuesto ^{[ nota 3 ]} ). La ganancia en lazo abierto de la Figura 8 en f ₁₈₀ es de 58  dB, y 1 / β = 77  dB, por lo que el margen de ganancia es de 19  dB.

La estabilidad no es el único criterio para la respuesta de un amplificador, y en muchas aplicaciones, una buena respuesta escalón es un requisito más exigente que la estabilidad . Como regla general , una buena respuesta escalón requiere un margen de fase de al menos 45°, y a menudo se recomienda un margen superior a 70°, especialmente cuando la variación de los componentes debido a las tolerancias de fabricación es un problema. ^{[ 9 ]} Véase también la discusión sobre el margen de fase en el artículo sobre la respuesta escalón .

• Ejemplos
• 
  Figura 6: Ganancia del amplificador de retroalimentación A _FB en dB y del amplificador de lazo abierto correspondiente A _OL . El parámetro 1/β = 58  dB, y a bajas frecuencias A _FB ≈ 58  dB también. El margen de ganancia en este amplificador es casi cero porque | β A _OL | = 1 ocurre casi en f = f _180° .
• 
  Figura 7: Fase del amplificador de retroalimentación °A _FB en grados y del amplificador de lazo abierto correspondiente °A _OL . El margen de fase en este amplificador es casi cero porque el cambio de fase ocurre casi a la frecuencia de ganancia unitaria f = f _{0  dB} donde | β A _OL | = 1.
• 
  Figura 8: Ganancia del amplificador de retroalimentación A _FB en dB y del amplificador de lazo abierto correspondiente A _OL . En este ejemplo, 1 / β = 77  dB. El margen de ganancia en este amplificador es de 19  dB.
• 
  Figura 9: Fase del amplificador de retroalimentación A _FB en grados y del amplificador de lazo abierto correspondiente A _OL . El margen de fase en este amplificador es de 45°.