Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Modelo de valoración de opciones binomiales

En finanzas , el modelo binomial de valoración de opciones ( BOPM ) proporciona un método numérico generalizable para la valoración de opciones . Esencialmente, el modelo utiliz...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En finanzas , el modelo binomial de valoración de opciones ( BOPM ) proporciona un método numérico generalizable para la valoración de opciones . Esencialmente, el modelo utiliza un modelo de "tiempo discreto" ( basado en retículos ) de la variación del precio a lo largo del tiempo del instrumento financiero subyacente , abordando casos en los que la fórmula de Black-Scholes en forma cerrada no es aplicable, lo cual, en general, no existe para el BOPM . [ 1 ]

El modelo binomial fue propuesto por primera vez por William Sharpe en la edición de 1978 de Investments ( ISBN). 013504605X), [ 2 ] y formalizada por Cox , Ross y Rubinstein en 1979 [ 3 ] y por Rendleman y Bartter en ese mismo año. [ 4 ]

Para árboles binomiales aplicados a renta fija y derivados de tipos de interés , véase Modelo reticular (finanzas) §  Derivados de tipos de interés .

Uso del modelo

El modelo binomial de valoración de opciones se ha utilizado ampliamente debido a su capacidad para manejar diversas situaciones en las que otros modelos no son fácilmente aplicables. Esto se debe principalmente a que el modelo se basa en la descripción de un instrumento subyacente durante un período de tiempo, en lugar de un único punto. Por consiguiente, se utiliza para valorar opciones americanas ejercitables en cualquier momento dentro de un intervalo determinado, así como opciones bermudeñas ejercitables en momentos específicos. Al ser relativamente sencillo, el modelo se puede implementar fácilmente en software (incluidas hojas de cálculo ).

Aunque su complejidad computacional es mayor y su ejecución es más lenta que la de la fórmula de Black-Scholes , resulta más precisa, sobre todo para opciones a largo plazo sobre valores con dividendos . Por estos motivos, diversas versiones del modelo binomial son ampliamente utilizadas por los profesionales del mercado de opciones.

Para opciones con varias fuentes de incertidumbre (p. ej., opciones reales ) y para opciones con características complejas (p. ej., opciones asiáticas ), los métodos binomiales son menos prácticos debido a varias dificultades, y en su lugar se suelen utilizar modelos de opciones de Monte Carlo . Al simular un número pequeño de pasos de tiempo, la simulación de Monte Carlo será computacionalmente más costosa que BOPM (véase Métodos de Monte Carlo en finanzas ). Sin embargo, el tiempo de ejecución en el peor de los casos de BOPM será O(2 n ) , donde n es el número de pasos de tiempo en la simulación. Las simulaciones de Monte Carlo generalmente tendrán una complejidad temporal polinómica y serán más rápidas para un gran número de pasos de simulación. Las simulaciones de Monte Carlo también son menos susceptibles a errores de muestreo, ya que las técnicas binomiales utilizan unidades de tiempo discretas. Esto se vuelve más cierto cuanto más pequeñas son las unidades discretas.

Método

Retículo binomial con fórmulas CRR
Retículo binomial con fórmulas CRR

El modelo de valoración binomial rastrea la evolución de las variables subyacentes clave de la opción en tiempo discreto. Esto se realiza mediante una red binomial (árbol), para una serie de pasos de tiempo entre las fechas de valoración y vencimiento. Cada nodo de la red representa un posible precio del subyacente en un momento dado.

La valoración se realiza de forma iterativa, comenzando en cada uno de los nodos finales (aquellos que pueden alcanzarse en el momento del vencimiento) y retrocediendo a través del árbol hasta el primer nodo (fecha de valoración). El valor calculado en cada etapa es el valor de la opción en ese momento.

La valoración de opciones mediante este método es, como se describe, un proceso de tres pasos:

  1. Generación de árboles de precios,
  2. Cálculo del valor de la opción en cada nodo final,
  3. Cálculo secuencial del valor de la opción en cada nodo precedente.

Paso 1: Crear el árbol de precios binomial

El árbol de precios se elabora trabajando hacia adelante desde la fecha de valoración hasta el vencimiento.

En cada paso, se supone que el instrumento subyacente se moverá hacia arriba o hacia abajo por un factor específico (tú{\displaystyle u}od{\displaystyle d}) por paso del árbol (donde, por definición,tú≥1{\displaystyle u\geq 1}y0<d≤1{\displaystyle 0<d\leq 1}). Entonces, siS{\displaystyle S}es el precio actual, entonces en el próximo período el precio seráStúpag=S⋅tú{\displaystyle S_{up}=S\cdot u}oSdownorte=S⋅d{\displaystyle S_{down}=S\cdot d}.

Los factores alcistas y bajistas se calculan utilizando la volatilidad subyacente (fija) ,σ{\displaystyle \sigma }y la duración de un paso,t{\displaystyle t}, medido en años (utilizando la convención de conteo de días del instrumento subyacente). A partir de la condición de que la varianza del logaritmo del precio seaσ2t{\displaystyle \sigma ^{2}t}, tenemos:

tú=miσΔt{\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {\Delta t}}}}
d=mi−σΔt=1tú.{\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t}}}={\frac {1}{u}}.}

Arriba se muestra el método original de Cox, Ross y Rubinstein (CRR); existen otras técnicas para generar la red, como el árbol de "probabilidades iguales", véase [ 5 ] [ 6 ] .

El método CRR garantiza que el árbol sea recombinante; es decir, si el activo subyacente sube y luego baja (u,d), el precio será el mismo que si hubiera bajado y luego subido (d,u). En este caso, las dos trayectorias se fusionan o recombinan. Esta propiedad reduce el número de nodos del árbol y, por lo tanto, acelera el cálculo del precio de la opción.

Esta propiedad también permite calcular el valor del activo subyacente en cada nodo directamente mediante una fórmula, sin necesidad de construir primero el árbol. El valor del nodo será:

Snorte=S0×túnortetú−norted,{\displaystyle S_{n}=S_{0}\times u^{N_{u}-N_{d}},}

Dóndenortetú{\displaystyle N_{u}}es el número de ticks alcistas ynorted{\displaystyle N_{d}}es el número de ticks descendentes.

Paso 2: Encontrar el valor de la opción en cada nodo final.

En cada nodo final del árbol, es decir, al vencimiento de la opción, el valor de la opción es simplemente su valor intrínseco o de ejercicio:

Máximo [ ( S n − K ), 0 ] , para una opción de compra
Máx [ ( K − S n ), 0 ] , para una opción de venta ,

Donde K es el precio de ejercicio ySnorte{\displaystyle S_{n}}es el precio al contado del activo subyacente en el n -ésimo período.

Paso 3: Encontrar el valor de la opción en nodos anteriores

Una vez completado el paso anterior, se calcula el valor de la opción para cada nodo, comenzando en el penúltimo paso temporal y retrocediendo hasta el primer nodo del árbol (la fecha de valoración), donde el resultado calculado es el valor de la opción.

En resumen: el "valor binomial" se calcula en cada nodo, utilizando el supuesto de neutralidad al riesgo ; véase Valoración neutral al riesgo . Si se permite el ejercicio en el nodo, el modelo toma el mayor entre el valor binomial y el valor de ejercicio en dicho nodo.

Los pasos son los siguientes:

  1. Bajo el supuesto de neutralidad al riesgo, el precio justo actual de un derivado es igual al valor esperado de su pago futuro descontado por la tasa libre de riesgo . Por lo tanto, el valor esperado se calcula utilizando los valores de las opciones de los dos últimos nodos ( Opción al alza y Opción a la baja ) ponderados por sus respectivas probabilidades (fijas): la probabilidad p de un movimiento al alza del subyacente y la probabilidad (1−p) de un movimiento a la baja. El valor esperado se descuenta luego a r , la tasa libre de riesgo correspondiente a la vida de la opción.
    La siguiente fórmula para calcular el valor esperado se aplica en cada nodo:
     Valor binomial =[pag× Opción disponible +(1−pag)× Opción abajo] ×exp⁡(−r×Δt){\displaystyle {\text{ Valor binomial }}=[p\times {\text{ Opción hacia arriba }}+(1-p)\times {\text{ Opción hacia abajo] }}\times \exp(-r\times \Delta t)}, o
    dot−Δt,i=mi−rΔt(pagdot,i+(1−pag)dot,i+1){\displaystyle C_{t-\Delta t,i}=e^{-r\Delta t}(pC_{t,i}+(1-p)C_{t,i+1})\,}
    dónde
    dot,i{\displaystyle C_{t,i}\,}es el valor de la opción para elith{\displaystyle i^{th}\,}nodo en el instante t ,
    pag=mi(r−q)Δt−dtú−d{\displaystyle p={\frac {e^{(rq)\Delta t}-d}{ud}}}se elige de tal manera que la distribución binomial relacionada simule el movimiento browniano geométrico de la acción subyacente con parámetros r y σ ,
    q es el rendimiento por dividendo del subyacente correspondiente a la vida de la opción. De ello se deduce que en un mundo neutral al riesgo el precio de los futuros debería tener una tasa de crecimiento esperada de cero y, por lo tanto, podemos considerarq=r{\displaystyle q=r}para futuros.
    Tenga en cuenta que para que p esté en el intervalo(0,1){\displaystyle (0,1)}la siguiente condición enΔt{\displaystyle \Delta t}tiene que ser satisfechoΔt<σ2(r−q)2{\displaystyle \Delta t<{\frac {\sigma ^{2}}{(rq)^{2}}}}.
    (Cabe señalar que el método de valoración alternativo, la fijación de precios sin arbitraje , arroja resultados idénticos; véase “ cobertura delta ”.)
  2. Este resultado es el "Valor Binomial". Representa el precio justo del derivado en un momento determinado (es decir, en cada nodo), considerando la evolución del precio del activo subyacente hasta ese momento. Es el valor de la opción si se mantuviera en pie, en lugar de ejercerse en ese momento.
  3. Dependiendo del estilo de la opción, evalúe la posibilidad de ejercicio anticipado en cada nodo: si (1) la opción puede ejercerse y (2) el valor de ejercicio excede el valor binomial, entonces (3) el valor en el nodo es el valor de ejercicio.
    • En el caso de una opción europea , no existe la posibilidad de ejercicio anticipado, y el valor binomial se aplica en todos los nodos.
    • Para una opción americana , dado que la opción puede mantenerse o ejercerse antes de su vencimiento, el valor en cada nodo es: Máx. (Valor binomial, Valor de ejercicio).
    • Para una opción bermudiana , el valor en los nodos donde se permite el ejercicio anticipado es: Máx. (Valor binomial, Valor de ejercicio); en los nodos donde no se permite el ejercicio anticipado, solo se aplica el valor binomial.

Al calcular el valor en el siguiente paso temporal —es decir, un paso más cerca de la valoración—, el modelo debe utilizar el valor seleccionado aquí, para "Opción al alza" o "Opción a la baja" según corresponda, en la fórmula del nodo. El algoritmo adjunto demuestra el método para calcular el precio de una opción de venta americana, aunque se puede generalizar fácilmente para opciones de compra, europeas y bermudeñas.

Relación con Black-Scholes

Supuestos similares sustentan tanto el modelo binomial como el modelo de Black-Scholes , y el modelo binomial proporciona, por lo tanto, una aproximación en tiempo discreto al proceso continuo subyacente al modelo de Black-Scholes. El modelo binomial supone que los movimientos del precio siguen una distribución binomial ; para muchos ensayos, esta distribución binomial se aproxima a la distribución log-normal supuesta por Black-Scholes. En este caso, para las opciones europeas sin dividendos, el valor del modelo binomial converge al valor de la fórmula de Black-Scholes a medida que aumenta el número de pasos de tiempo. [ 5 ] [ 6 ]

Además, cuando se analiza como un procedimiento numérico, el método binomial CRR puede considerarse un caso especial del método explícito de diferencias finitas para la EDP de Black-Scholes ; véase métodos de diferencias finitas para la valoración de opciones . [ 7 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Georgiadis, Evangelos (2011). "La valoración de opciones binomiales no tiene una solución de forma cerrada". Algorithmic Finance . 1 (1). IOS Press: 11– 18. doi : 10.3233/AF-2011-003 .
  2. ↑ William F. Sharpe, Biografía , nobelprize.org
  3. ↑ Cox, JC ; Ross, SA ; Rubinstein, M. (1979). "Valoración de opciones: un enfoque simplificado". Journal of Financial Economics . 7 (3): 229. CiteSeerX 10.1.1.379.7582 . doi : 10.1016/0304-405X(79)90015-1 . 
  4. ↑ Richard J. Rendleman, Jr. y Brit J. Bartter. 1979. "Valoración de opciones en dos estados". Journal of Finance 24: 1093-1110. doi : 10.2307/2327237
  5. 1 2 Mark s. Joshi (2008). La convergencia de árboles binomiales para la valoración de la opción de venta americana. Archivado el 2 de julio de 2015 en Wayback Machine.
  6. 1 2 Chance, Don M. Marzo de 2008. Una síntesis de modelos binomiales de valoración de opciones para activos con distribución lognormal. Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine . Journal of Applied Finance, vol. 18.
  7. ↑ Rubinstein, M. (2000). "Sobre la relación entre los modelos binomiales y trinomiales de valoración de opciones" . Journal of Derivatives . 8 (2): 47– 50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . doi : 10.3905/jod.2000.319149 . S2CID 11743572. Archivado del original el 22 de junio de 2007.  
  • El modelo binomial para la valoración de opciones , Prof. Thayer Watkins
  • Valoración de opciones binomiales ( PDF ), Prof. Robert M. Conroy
  • Modelo binomial de valoración de opciones por Fiona Maclachlan, Proyecto de demostraciones de Wolfram
  • Sobre la irrelevancia de los rendimientos esperados de las acciones en la valoración de opciones en el modelo binomial: una nota pedagógica de Valeri Zakamouline.
  • Una derivación sencilla de la probabilidad neutral al riesgo en el modelo binomial de valoración de opciones por Greg Orosi
Obtenido de " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Binomial_options_pricing_model&oldid=1340094672 "