Número binario

Los escribas del antiguo Egipto usaban dos sistemas diferentes para sus fracciones: fracciones egipcias (no relacionadas con el sistema numérico binario) y fracciones del ojo de Horus (llamadas así porque algunos historiadores de las matemáticas creían que los símbolos utilizados para este sistema podían organizarse para formar el ojo de Horus , aunque esto ha sido cuestionado). ^{[ 4 ]} Las fracciones del ojo de Horus son un sistema de numeración binario para cantidades fraccionarias de grano, líquidos u otras medidas, en el que una fracción de un hekat se expresa como una suma de las fracciones binarias 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 , 1/32 y 1/64 . Las primeras formas de este sistema se pueden encontrar en documentos de la Quinta Dinastía de Egipto , aproximadamente en el 2400 a . C., y su forma jeroglífica completamente desarrollada data de la Decimonovena Dinastía de Egipto , aproximadamente en el 1200 a. C. ^{[ 5 ]}

El método utilizado para la multiplicación en el antiguo Egipto también está estrechamente relacionado con los números binarios. En este método, la multiplicación de un número por otro se realiza mediante una secuencia de pasos en los que un valor (inicialmente el primero de los dos números) se duplica o se le suma el primer número; el orden en que se realizan estos pasos viene dado por la representación binaria del segundo número. Este método puede observarse, por ejemplo, en el Papiro Matemático de Rhind , que data de alrededor del 1650 a. C. ^{[ 6 ]}

El I Ching data del siglo IX a. C. en China. ^{[ 7 ]} La notación binaria en el I Ching se utiliza para interpretar su técnica cuaternaria de adivinación . ^{[ 8 ]}

Se basa en la dualidad taoísta del yin y el yang . ^{[ 9 ]} Ocho trigramas (Bagua) y un conjunto de 64 hexagramas ("sesenta y cuatro" gua) , análogos a los números binarios de tres y seis bits, se utilizaban al menos desde la dinastía Zhou de la antigua China. ^{[ 7 ]}

El erudito de la dinastía Song, Shao Yong (1011-1077), reorganizó los hexagramas en un formato que se asemeja a los números binarios modernos, aunque no pretendía que su disposición se utilizara matemáticamente. ^{[ 8 ]} Al observar el bit menos significativo en la parte superior de los hexagramas individuales en el cuadrado de Shao Yong ^{[ 10 ]} y leer a lo largo de las filas, ya sea de abajo a la derecha a arriba a la izquierda con líneas continuas como 0 y líneas discontinuas como 1 o de arriba a la izquierda a abajo a la derecha con líneas continuas como 1 y líneas discontinuas como 0, los hexagramas pueden interpretarse como una secuencia del 0 al 63. ^{[ 11 ]}

Los etruscos dividían el borde exterior de los hígados de adivinación en dieciséis partes, cada una inscrita con el nombre de una divinidad y su región del cielo. Cada región del hígado producía una lectura binaria que se combinaba en una lectura binaria final para la adivinación. ^{[ 12 ]}

La adivinación en el oráculo de Dodona, en la antigua Grecia, funcionaba extrayendo información de vasijas separadas, tablillas con preguntas y bolitas con las palabras "sí" y "no". El resultado se combinaba para elaborar una profecía final. ^{[ 13 ]}

El erudito indio Pingala (c. siglo II a. C.) desarrolló un sistema binario para describir la prosodia . ^{[ 14 ] [ 15 ]} Describió los metros en forma de sílabas cortas y largas (estas últimas con una longitud equivalente a dos sílabas cortas). ^{[ 16 ]} Se las conocía como sílabas laghu (ligeras) y guru (pesadas).

El clásico hindú de Pingala titulado Chandaḥśāstra (8.23) describe la formación de una matriz para dar un valor único a cada metro. "Chandaḥśāstra" se traduce literalmente como ciencia de los metros en sánscrito. Las representaciones binarias en el sistema de Pingala aumentan hacia la derecha, y no hacia la izquierda como en los números binarios de la notación posicional moderna . ^{[ 17 ]} En el sistema de Pingala, los números comienzan desde el número uno, y no desde el cero. Cuatro sílabas cortas "0000" es el primer patrón y corresponde al valor uno. El valor numérico se obtiene sumando uno a la suma de los valores posicionales . ^{[ 18 ]}

El Ifá es un sistema de adivinación de África Occidental popular entre la tribu Yoruba del antiguo Imperio Oyo . Similar al I Ching , pero tiene hasta 256 signos binarios, ^{[ 19 ]} a diferencia del I Ching que tiene 64. El número proviene de elevar al cuadrado 16, que también coincide con el total de posibilidades en una secuencia de 8 bits. En la adivinación Ifá, esto refleja los posibles resultados llamados Odú . Estos Odú se determinan usando una cadena Ọpẹlẹ , que tiene 8 semillas. Cada semilla puede caer en una de dos posiciones (abierta o cerrada), creando todas las combinaciones posibles. El Ifá se originó en el siglo XV en África Occidental entre el pueblo Yoruba . En 2008, la UNESCO agregó Ifá a su lista de " Obras maestras del patrimonio oral e inmaterial de la humanidad ". ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Los habitantes de la isla de Mangareva, en la Polinesia Francesa , utilizaban un sistema híbrido binario- decimal antes de 1450. ^{[ 22 ]} Los tambores de hendidura con tonos binarios se utilizan para codificar mensajes en África y Asia. ^{[ 9 ]} Conjuntos de combinaciones binarias similares al I Ching también se han utilizado en sistemas de adivinación tradicionales africanos, como Ifá , entre otros, así como en la geomancia occidental medieval . La mayoría de las lenguas indígenas australianas utilizan un sistema de base 2. ^{[ 23 ]}

En 1605, Francis Bacon describió un sistema mediante el cual las letras del alfabeto podían reducirse a secuencias de dígitos binarios, que luego podían codificarse como variaciones apenas perceptibles en la fuente de cualquier texto aleatorio. ^{[ 24 ]} Un aspecto importante para la teoría general de la codificación binaria fue que añadió que este método podía utilizarse con cualquier objeto: «siempre que dichos objetos solo presenten una diferencia doble; como campanas, trompetas, luces y antorchas, el disparo de mosquetes y cualquier instrumento de naturaleza similar». ^{[ 24 ]}

En 1617, John Napier describió un sistema que denominó aritmética de posición para realizar cálculos binarios utilizando una representación no posicional mediante letras. Thomas Harriot investigó varios sistemas de numeración posicional, incluido el binario, pero no publicó sus resultados; estos se encontraron posteriormente entre sus documentos. ^{[ 25 ]} Posiblemente la primera publicación del sistema en Europa fue la de Juan Caramuel y Lobkowitz , en 1700. ^{[ 26 ]}

Leibniz escribió más de cien manuscritos sobre el sistema binario, la mayoría de los cuales permanecen inéditos. ^{[ 27 ]} Antes de su primera obra dedicada a este tema en 1679, numerosos manuscritos presentan intentos tempranos de explorar conceptos binarios, incluyendo tablas de números y cálculos básicos, a menudo garabateados en los márgenes de obras no relacionadas con las matemáticas. ^{[ 27 ]}

En su primer trabajo conocido sobre el sistema binario, «Sobre la progresión binaria» , de 1679, Leibniz introdujo la conversión entre decimal y binario, junto con algoritmos para realizar operaciones aritméticas básicas como la suma, la resta, la multiplicación y la división utilizando números binarios. También desarrolló una forma de álgebra binaria para calcular el cuadrado de un número de seis dígitos y extraer raíces cuadradas. ^{[ 27 ]}

Su obra más conocida aparece en su artículo Explication de l'Arithmétique Binaire (publicado en 1703). El título completo del artículo de Leibniz se traduce al inglés como "Explication of Binary Arithmetic, which use only the characters 1 and 0, with some observations on its usefulness, and on the light it throws on the ancient Chinese figures of Fu Xi " . ^{[ 28 ]} El sistema de Leibniz utiliza 0 y 1, como el sistema de numeración binario moderno. Un ejemplo del sistema de numeración binario de Leibniz es el siguiente: ^{[ 28 ]}

0 0 0 1  valor numérico 2 ⁰

0 0 1 0  valor numérico 2 ¹

0 1 0 0  valor numérico 2 ²

1 0 0 0  valor numérico 2 ³

En 1700, mientras mantenía correspondencia con el sacerdote jesuita Joachim Bouvet , quien se había convertido en un experto en el I Ching durante su misión en China, Leibniz le explicó su notación binaria, y Bouvet demostró en sus cartas de 1701 que el I Ching era una invención paralela e independiente de la notación binaria. Leibniz y Bouvet concluyeron que esta correspondencia era prueba de los importantes logros chinos en el tipo de matemáticas filosóficas que él admiraba. ^{[ 29 ]} Sobre esta invención paralela, Leibniz escribió en su «Explicación de la aritmética binaria» que «esta restitución de su significado, después de un intervalo de tiempo tan grande, parecerá aún más curiosa». ^{[ 30 ]}

La relación fue una idea central para su concepto universal de lenguaje o characteristica universalis , una idea popular que sería seguida de cerca por sus sucesores como Gottlob Frege y George Boole en la formación de la lógica simbólica moderna . ^{[ 31 ]} Leibniz conoció el I Ching a través de su contacto con el jesuita francés Joachim Bouvet , quien visitó China en 1685 como misionero. Leibniz vio los hexagramas del I Ching como una afirmación de la universalidad de sus propias creencias religiosas como cristiano. ^{[ 32 ]} Los números binarios fueron centrales para la teología de Leibniz. Creía que los números binarios eran simbólicos de la idea cristiana de creatio ex nihilo o creación de la nada. ^{[ 33 ]}

Un concepto que no es fácil de transmitir a los paganos es la creación ex nihilo mediante el poder omnipotente de Dios. Ahora bien, se puede afirmar que nada en el mundo puede presentar y demostrar mejor este poder que el origen de los números, tal como se presenta aquí a través de la sencilla y directa representación del Uno y el Cero, o la Nada.

En 1854, el matemático británico George Boole publicó un artículo fundamental que detallaba un sistema algebraico de lógica que se conocería como álgebra booleana . Su cálculo lógico resultaría fundamental en el diseño de circuitos electrónicos digitales. ^{[ 34 ]}

En 1937, Claude Shannon presentó su tesis de maestría en el MIT , en la que implementó el álgebra booleana y la aritmética binaria utilizando relés e interruptores electrónicos por primera vez en la historia. Titulada «Análisis simbólico de circuitos de relés e interruptores» , la tesis de Shannon sentó las bases del diseño práctico de circuitos digitales . ^{[ 35 ]}

En noviembre de 1937, George Stibitz , que entonces trabajaba en Bell Labs , completó una computadora basada en relés a la que denominó "Modelo K" (por " Kitchen ", donde la había ensamblado), que realizaba cálculos mediante suma binaria. ^{[ 36 ]} Bell Labs autorizó un programa de investigación completo a finales de 1938 con Stibitz al frente. Su Calculadora de Números Complejos, completada el 8 de enero de 1940, era capaz de calcular números complejos . En una demostración para la conferencia de la Sociedad Matemática Estadounidense en Dartmouth College el 11 de septiembre de 1940, Stibitz pudo enviar comandos remotos a la Calculadora de Números Complejos a través de líneas telefónicas mediante un teletipo . Fue la primera máquina de computación utilizada remotamente a través de una línea telefónica. Algunos participantes de la conferencia que presenciaron la demostración fueron John von Neumann , John Mauchly y Norbert Wiener , quien escribió sobre ella en sus memorias. ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}

La computadora Z1 , que fue diseñada y construida por Konrad Zuse entre 1935 y 1938, utilizaba lógica booleana y números binarios de punto flotante . ^{[ 40 ]}

El sistema decimal utiliza los diez símbolos del 0 al 9. El conteo comienza con la sustitución incremental del dígito menos significativo (el dígito más a la derecha), que a menudo se denomina primer dígito . Cuando se agotan los símbolos disponibles para esta posición, el dígito menos significativo se reinicia a 0 , y el siguiente dígito de mayor importancia (una posición a la izquierda) se incrementa ( desbordamiento ), y se reanuda la sustitución incremental del dígito de menor importancia. Este método de reinicio y desbordamiento se repite para cada dígito significativo. El conteo progresa de la siguiente manera:

000, 001, 002, ... 007, 008, 009, (el dígito de la derecha se reinicia a cero y el dígito a su izquierda se incrementa)

0 1 0, 011, 012, ...

   ...

090, 091, 092, ... 097, 098, 099, (los dos dígitos de la derecha se reinician a cero y el siguiente dígito se incrementa)

1 00, 101, 102, ...

El conteo binario sigue exactamente el mismo procedimiento, y nuevamente la sustitución incremental comienza con el dígito binario menos significativo, o bit (el de más a la derecha, también llamado primer bit ), excepto que solo están disponibles los dos símbolos 0 y 1. Por lo tanto, después de que un bit alcanza 1 en binario, un incremento lo restablece a 0, pero también provoca un incremento del siguiente bit a la izquierda:

0000,

000 1 , (el bit más a la derecha vuelve a empezar y el siguiente bit se incrementa)

00 1 0, 0011, (los dos bits más a la derecha se reinician y el siguiente bit se incrementa)

0 1 00, 0101, 0110, 0111, (los tres bits más a la derecha vuelven a empezar y el siguiente bit se incrementa)

1 000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 ...

En el sistema binario, cada bit representa una potencia creciente de 2, donde el bit más a la derecha representa 2⁰ ^, el siguiente ^2¹ , luego 2² ^, y así sucesivamente. El valor de un número binario es la suma de las potencias de 2 representadas por cada bit "1". Por ejemplo, el número binario 100101 se convierte a forma decimal de la siguiente manera:

100101 ₂ = [ ( 1 ) × 2 ⁵ ] + [ ( 0 ) × 2 ⁴ ] + [ ( 0 ) × 2 ³ ] + [ ( 1 ) × 2 ² ] + [ ( 0 ) × 2 ¹ ] + [ ( 1 ) × 2 ⁰ ]

100101 ₂ = [ 1 × 32 ] + [ 0 × 16 ] + [ 0 × 8 ] + [ 1 × 4 ] + [ 0 × 2 ] + [ 1 × 1 ]

100101 ₂ = 37 ₁₀

La operación aritmética más simple en binario es la suma. Sumar dos números binarios de un solo dígito es relativamente sencillo, utilizando una forma de acarreo:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, llevamos 1 (ya que 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 ¹ ) )

Sumar dos dígitos "1" produce un dígito "0", mientras que el 1 deberá agregarse a la siguiente columna. Esto es similar a lo que sucede en el sistema decimal cuando se suman ciertos números de un solo dígito; si el resultado es igual o mayor que el valor de la base (10), el dígito a la izquierda se incrementa.

5 + 5 → 0, llevamos 1 (ya que 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 ¹ ) )

7 + 9 → 6, llevamos 1 (ya que 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 ¹ ) )

Esto se conoce como acarreo . Cuando el resultado de una suma excede el valor de un dígito, el procedimiento consiste en "acarrear" el excedente dividido por la base (es decir, 10/10) hacia la izquierda, sumándolo al siguiente valor posicional. Esto es correcto ya que la siguiente posición tiene un peso mayor por un factor igual a la base. El acarreo funciona de la misma manera en binario:

1 1 1 1 1 (dígitos transportados) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 ------------- = 1 0 0 1 0 0 = 36

En este ejemplo, se suman dos números: 01101 ₂ (13 ₁₀ ) y 10111 ₂ (23 ₁₀ ). La fila superior muestra los bits de acarreo utilizados. Comenzando en la columna más a la derecha, 1 + 1 = 10 ₂ . El 1 se lleva a la izquierda y el 0 se escribe en la parte inferior de la columna más a la derecha. La segunda columna desde la derecha se suma: 1 + 0 + 1 = 10 ₂ nuevamente; el 1 se lleva y el 0 se escribe en la parte inferior. La tercera columna: 1 + 1 + 1 = 11 ₂ . Esta vez, se lleva un 1 y se escribe un 1 en la fila inferior. Procediendo de esta manera se obtiene la respuesta final 100100 ₂ (36 ₁₀ ).

Cuando las computadoras deben sumar dos números, la regla de que: x xor y = (x + y) mod 2 para cualesquiera dos bits x e y permite un cálculo muy rápido.

 Binario Decimal 1 1 1 1 1 igualmente 9 9 9 9 9 + 1 + 1 ——————————— ——————————— 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Método de transporte tradicional Método de transporte largo vs. 1 1 1 1 1 1 1 1 (dígitos acarreados) 1 ← 1 ← acarrear el 1 hasta que sea un dígito después de la "cadena" de abajo 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 tacha la "cadena", + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 y tacha el dígito que se le sumó. ——————————————————————— —————————————————————— = 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1

La resta funciona de forma muy similar:

0 − 0 → 0

0 − 1 → 1, pedir prestado 1

1 − 0 → 1

1 − 1 → 0

Restar un dígito "1" de un dígito "0" produce el dígito "1", mientras que el 1 deberá restarse de la siguiente columna. Esto se conoce como préstamo . El principio es el mismo que para el acarreo. Cuando el resultado de una resta es menor que 0, el valor mínimo posible de un dígito, el procedimiento consiste en "tomar prestado" el déficit dividido por la base (es decir, 10/10) de la izquierda, restándolo del siguiente valor posicional.

 * * * * (las columnas marcadas con asterisco se han tomado prestadas de) 1 1 0 1 1 1 0 − 1 0 1 1 1 ---------------- = 1 0 1 0 1 1 1

 * (las columnas marcadas con asterisco son tomadas de) 1 0 1 1 1 1 1 – 1 0 1 0 1 1 ---------------- = 0 1 1 0 1 0 0

Restar un número positivo equivale a sumar un número negativo de igual valor absoluto . Las computadoras utilizan representaciones numéricas con signo para manejar números negativos, generalmente la notación de complemento a dos . Estas representaciones eliminan la necesidad de una operación de resta por separado. Utilizando la notación de complemento a dos, la resta se puede resumir con la siguiente fórmula:

A − B = A + no B + 1

La multiplicación en binario es similar a la multiplicación en decimal. Dos números A y B se pueden multiplicar mediante productos parciales: para cada dígito de B , se calcula el producto de ese dígito en A y se escribe en una nueva línea, desplazada hacia la izquierda de modo que su dígito más a la derecha coincida con el dígito de B que se utilizó. La suma de todos estos productos parciales da como resultado el resultado final.

Dado que en binario solo hay dos dígitos, solo hay dos resultados posibles para cada multiplicación parcial:

• Si el dígito en B es 0, el producto parcial también es 0.
• Si el dígito en B es 1, el producto parcial es igual a A.

Por ejemplo, los números binarios 1011 y 1010 se multiplican de la siguiente manera:

 1 0 1 1 ( A ) × 1 0 1 0 ( B ) --------- 0 0 0 0 ← al 'cero' más a la derecha en B + 1 0 1 1 ← al siguiente 'uno' en B + 0 0 0 0 + 1 0 1 1 --------------- = 1 1 0 1 1 1 0

Los números binarios también se pueden multiplicar con bits después de un punto binario :

 1 0 1 . 1 0 1 A (5.625 en decimal) × 1 1 0 . 0 1 B (6.25 en decimal) ------------------- 1 . 0 1 1 0 1 ← a un 'uno' en B + 0 0 . 0 0 0 0 ← a un 'cero' en B + 0 0 0 . 0 0 0 + 1 0 1 1 . 0 1 + 1 0 1 1 0 . 1 --------------------------- = 1 0 0 0 1 1 . 0 0 1 0 1 (35.15625 en decimal)

Véase también el algoritmo de multiplicación de Booth .

La división larga en binario es similar a su equivalente en decimal.

En el ejemplo siguiente, el divisor es 101/2 _, o 5 en decimal, mientras que el dividendo es 11011/2 _, o 27 en decimal. El procedimiento es el mismo que el de la división larga decimal ; aquí, el divisor 101/2 _cabe una vez en los tres primeros dígitos 110/2 _del dividendo, por lo que se escribe un "1" en la primera línea. Este resultado se multiplica por el divisor y se resta de los tres primeros dígitos del dividendo; el siguiente dígito (un "1") se incluye para obtener una nueva secuencia de tres dígitos:

 1 ___________ 1 0 1 ) 1 1 0 1 1 − 1 0 1 ----- 0 0 1

A continuación, se repite el procedimiento con la nueva secuencia, continuando hasta que se hayan agotado los dígitos del dividendo:

 1 0 1 ___________ 1 0 1 ) 1 1 0 1 1 − 1 0 1 ----- 1 1 1 − 1 0 1 ----- 0 1 0

Así, el cociente de 11011² _dividido entre 101² _es 101² _, como se muestra en la línea superior, mientras que el resto, que se muestra en la línea inferior, es 10² _. En decimal, esto corresponde al hecho de que 27 dividido entre 5 es 5, con un resto de 2.

Además de la división larga, también se puede diseñar el procedimiento de manera que permita restar una cantidad superior al resto parcial en cada iteración, lo que da lugar a métodos alternativos menos sistemáticos, pero más flexibles.

El proceso para calcular la raíz cuadrada binaria dígito a dígito es esencialmente el mismo que para la raíz cuadrada decimal, pero mucho más sencillo debido a su naturaleza binaria. Primero, agrupe los dígitos de dos en dos, añadiendo un cero inicial si es necesario para que haya un número par de dígitos. Ahora, en cada paso, considere la respuesta obtenida hasta el momento, completada con los dígitos 01. Si se puede restar del resto actual, hágalo. Luego, complete el resto con el siguiente par de dígitos. Si se restó, el siguiente dígito de la respuesta es 1; de lo contrario, es 0.

 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 ------------- ------------- ------------- ------------- ------------- √ 10 10 10 01 √ 10 10 10 01 √ 10 10 10 01 √ 10 10 10 01 √ 10 10 10 01 - 1 - 1 - 1 - 1 La respuesta hasta ahora es 0, ---- ---- ---- ---- extendido por 01 es 001, 1 10 1 10 1 10 1 10 Esto se puede restar: 1 01 - 1 01 - 1 01 Del primer par 10, la respuesta hasta ahora es 1, ------- ------- ------- entonces el primer dígito extendido por 01 es 101, 1 10 1 10 01 1 10 01 La respuesta es 1. Esto SÍ se puede restar: 1 10 01 del resto 110, por lo tanto, la respuesta hasta ahora es 11, la respuesta hasta ahora es 110, ---------- El siguiente dígito de la respuesta es 1. Extendido por 01 es 1101, extendido por 01 es 11001, 0 esto es DEMASIADO GRANDE para que se pueda restar restar del resto del resto 11001, ¡listo! 110, por lo tanto, el siguiente dígito del siguiente dígito de la respuesta es 1. La respuesta es 0.

Para convertir un entero de base 10 a su equivalente en base 2 (binario), el número se divide entre dos . El resto es el bit menos significativo . El cociente se divide nuevamente entre dos; su resto se convierte en el siguiente bit menos significativo. Este proceso se repite hasta que se alcanza un cociente de uno. La secuencia de restos (incluido el cociente final de uno) forma el valor binario, ya que cada resto debe ser cero o uno al dividir entre dos. Por ejemplo, (357) ₁₀ se expresa como (101100101) _2. ^{[ 44 ]}

La conversión de base 2 a base 10 simplemente invierte el algoritmo anterior. Los bits del número binario se utilizan uno por uno, comenzando por el bit más significativo (el de la izquierda). Partiendo del valor 0, el valor anterior se duplica y luego se suma el siguiente bit para producir el siguiente valor. Esto se puede organizar en una tabla de varias columnas. Por ejemplo, para convertir 10010101101 ₂ a decimal:

El resultado es 1197 ₁₀ . El primer valor previo de 0 es simplemente un valor decimal inicial. Este método es una aplicación del esquema de Horner .

Las partes fraccionarias de un número se convierten mediante métodos similares. Estos se basan, una vez más, en la equivalencia entre desplazar y duplicar o reducir a la mitad.

En un número binario fraccionario como 0.11010110101 ₂ , el primer dígito es${\textstyle {\frac {1}{2}}}$, el segundo${\textstyle ({\frac {1}{2}})^{2}={\frac {1}{4}}}$, etc. Entonces, si hay un 1 en el primer lugar después del punto decimal, entonces el número es al menos${\textstyle {\frac {1}{2}}}$y viceversa. El doble de ese número es al menos 1. Esto sugiere el siguiente algoritmo: duplicar repetidamente el número a convertir, registrar si el resultado es al menos 1 y luego descartar la parte entera.

Por ejemplo,${\estilo de texto ({\frac {1}{3}})_{10}}$, en binario, es:

Por lo tanto, la fracción decimal periódica 0.3 ... es equivalente a la fracción binaria periódica 0.01 ... .

O por ejemplo, 0.1 ₁₀ , en binario, es:

Esta es también una fracción binaria periódica 0.0 0011 ... . Puede resultar sorprendente que las fracciones decimales finitas puedan tener expansiones periódicas en binario. Por esta razón, a muchos les sorprende descubrir que 1/10 + ... + 1/10 (suma de 10 números) difiere de 1 en la aritmética de punto flotante binario . De hecho, las únicas fracciones binarias con expansiones finitas son las de la forma de un entero dividido por una potencia de 2, lo cual no es el caso de 1/10.

La conversión final es de fracciones binarias a decimales. La única dificultad surge con fracciones periódicas, pero en otros casos el método consiste en convertir la fracción a un número entero, transformarla como se indicó anteriormente y luego dividirla por la potencia de dos correspondiente en la base decimal. Por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=&1100&.1{\overline {01110}}\ldots \\x\times 2^{6}&=&1100101110&.{\overline {01110}}\ldots \\x\times 2&=&11001&.{\overline {01110}}\ldots \\x\times (2^{6}-2)&=&1100010101\\x&=&1100010101/111110\\x&=&(789/62)_{10}\end{aligned}}}$$

Otra forma de convertir de binario a decimal, a menudo más rápida para una persona familiarizada con el sistema hexadecimal , es hacerlo indirectamente: primero convertir (${\displaystyle x}$en binario) en (${\displaystyle x}$en hexadecimal) y luego convertir (${\displaystyle x}$en hexadecimal) en (${\displaystyle x}$en decimal).

Para números muy grandes, estos métodos simples son ineficientes porque realizan una gran cantidad de multiplicaciones o divisiones donde un operando es muy grande. Un algoritmo simple de divide y vencerás es más efectivo asintóticamente: dado un número binario, se divide por 10 ^k , donde k se elige de manera que el cociente sea aproximadamente igual al resto; luego cada una de estas partes se convierte a decimal y las dos se concatenan . Dado un número decimal, se puede dividir en dos partes de aproximadamente el mismo tamaño, cada una de las cuales se convierte a binario, luego la primera parte convertida se multiplica por 10 ^k y se suma a la segunda parte convertida, donde k es la cantidad de dígitos decimales en la segunda parte, la menos significativa, antes de la conversión.

La conversión entre binario y hexadecimal es más sencilla. Esto se debe a que la base del sistema hexadecimal (16) es una potencia de la base del sistema binario (2). Más concretamente, 16 = 2⁴ ^, por lo que se necesitan cuatro dígitos binarios para representar un dígito hexadecimal, como se muestra en la tabla adjunta.

Para convertir un número hexadecimal en su equivalente binario, simplemente sustituya los dígitos binarios correspondientes:

3A ₁₆ = 0011 1010 ₂

E7 ₁₆ = 1110 0111 ₂

Para convertir un número binario a su equivalente hexadecimal, divídalo en grupos de cuatro bits. Si el número de bits no es múltiplo de cuatro, simplemente inserte bits 0 adicionales a la izquierda (llamados relleno ). Por ejemplo:

1010010 ₂ = 0101 0010 agrupado con relleno = 52 ₁₆

11011101 ₂ = 1101 1101 agrupado = DD ₁₆

Para convertir un número hexadecimal en su equivalente decimal, multiplique el equivalente decimal de cada dígito hexadecimal por la potencia correspondiente de 16 y sume los valores resultantes:

C0E7 ₁₆ = (12 × 16 ³ ) + (0 × 16 ² ) + (14 × 16 ¹ ) + (7 × 16 ⁰ ) = (12 × 4096) + (0 × 256) + (14 × 16) + (7 × 1) = 49,383 ₁₀

El sistema binario también se convierte fácilmente al sistema de numeración octal , ya que este utiliza una base de 8, que es una potencia de dos (es decir, 2³ ^, por lo que se necesitan exactamente tres dígitos binarios para representar un dígito octal). La correspondencia entre los números octales y binarios es la misma que para los primeros ocho dígitos hexadecimales de la tabla anterior. El binario 000 equivale al dígito octal 0, el binario 111 equivale al octal 7, y así sucesivamente.

La conversión de octal a binario se realiza de la misma manera que para el sistema hexadecimal :

65 ₈ = 110 101 ₂

17 ₈ = 001 111 ₂

Y de binario a octal:

101100 ₂ = 101 100 ₂ agrupados = 54 ₈

10011 ₂ = 010 011 ₂ agrupados con relleno = 23 ₈

Y de octal a decimal:

65 ₈ = (6 × 8 ¹ ) + (5 × 8 ⁰ ) = (6 × 8) + (5 × 1) = 53 ₁₀

127 ₈ = (1 × 8 ² ) + (2 × 8 ¹ ) + (7 × 8 ⁰ ) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 87 ₁₀