Biyección

En matemáticas , una biyección , función biyectiva o correspondencia biyectiva es una función entre dos conjuntos tal que cada elemento del segundo conjunto (el codominio ) es la imagen de exactamente un elemento del primer conjunto (el dominio ). Dada una función , la imagen de un elemento es el elemento del codominio. La preimagen de un elemento es cualquier elemento del dominio tal que . De forma equivalente, una biyección es una relación entre dos conjuntos tal que cada elemento de cualquiera de los conjuntos se corresponde con exactamente un elemento del otro conjunto.${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle f(a)\in B}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle f(a)=b}$

Una función es biyectiva si y solo si es invertible ; es decir, una función es biyectiva si y solo si existe una función inversa de f tal que cada una de las dos formas de componer las dos funciones produce una función identidad : para cada en y para cada en${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to X,}$${\displaystyle g(f(x))=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(g(y))=y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y.}$

Por ejemplo, la multiplicación por dos define una biyección de los números enteros a los números pares , cuya función inversa es la división por dos .

Una función es biyectiva si y solo si es inyectiva (o biyectiva ) —lo que significa que cada elemento del codominio se corresponde con, como máximo, un elemento del dominio— y sobreyectiva (o sobreyectiva ) —lo que significa que cada elemento del codominio se corresponde con, al menos, un elemento del dominio—. El término correspondencia biyectiva no debe confundirse con función biyectiva , que implica inyectividad pero no necesariamente sobreyectividad.

La operación elemental de contar establece una biyección desde un conjunto finito a los primeros números naturales (1, 2, 3, ...) , hasta el número de elementos del conjunto contado. De ello se deduce que dos conjuntos finitos tienen el mismo número de elementos si y solo si existe una biyección entre ellos. De forma más general, se dice que dos conjuntos tienen el mismo número cardinal si existe una biyección entre ellos.

Una función biyectiva de un conjunto a sí mismo también se llama permutación , ^{[ 1 ]} y el conjunto de todas las permutaciones de un conjunto forma su grupo simétrico .

Algunas biyecciones con propiedades adicionales han recibido nombres específicos, entre los que se incluyen automorfismos , isomorfismos , homeomorfismos , difeomorfismos , permutaciones y la mayoría de las transformaciones geométricas . Las correspondencias de Galois son biyecciones entre conjuntos de objetos matemáticos de naturaleza aparentemente muy diferente.

Para que una relación binaria que empareja elementos del conjunto X con elementos del conjunto Y sea una biyección, deben cumplirse cuatro propiedades:

1. cada elemento de X debe estar emparejado con al menos un elemento de Y ,
2. ningún elemento de X puede estar emparejado con más de un elemento de Y ,
3. cada elemento de Y debe estar emparejado con al menos un elemento de X , y
4. Ningún elemento de Y puede estar emparejado con más de un elemento de X.

Satisfacer las propiedades (1) y (2) significa que un emparejamiento es una función con dominio X. Es más común ver las propiedades (1) y (2) escritas como una sola proposición: Cada elemento de X se empareja con exactamente un elemento de Y. Las funciones que satisfacen la propiedad (3) se denominan " sobreyectivas " y se llaman sobreyectivas . Las funciones que satisfacen la propiedad (4) se denominan " inyectivas " y se llaman inyectivas . ^{[ 2 ]} Con esta terminología, una biyección es una función que es a la vez sobreyectiva e inyectiva , o dicho de otro modo, una biyección es una función que es inyectiva y sobreyectiva. ^{[ 3 ]}

Toda función que va del conjunto vacío a sí mismo es una biyección.

• Para cualquier conjunto X , la función identidad 1 _X : X → X , 1 _X ( x ) = x es biyectiva.
• La función inversa multiplicativa da una biyección del intervalo unitario (0, 1) con el intervalo semiinfinito (1, +∞).
• La función f : R → R , f ( x ) = 2 x + 1 es biyectiva, ya que para cada y hay un único x = ( y − 1)/2 tal que f ( x ) = y . De manera más general, cualquier función lineal sobre los números reales, f : R → R , f ( x ) = ax + b (donde a es distinto de cero) es una biyección. Cada número real y se obtiene a partir de (o se empareja con) el número real x = ( y − b )/ a .
• La función f : R → (−π/2, π/2), dada por f ( x ) = arctan( x ), es biyectiva, ya que cada número real x se corresponde con un único ángulo y en el intervalo (−π/2,  π/2) de modo que tan( y ) = x (es decir, y = arctan( x )). Si el codominio (−π/2,  π/2) se ampliara para incluir un múltiplo entero de π/2, esta función dejaría de ser sobreyectiva, puesto que no existe ningún número real que pueda corresponder a un múltiplo de π/2 mediante esta función arctan.
• La función exponencial , g : R → R , g ( x ) = e ^x , no es biyectiva: por ejemplo, no hay ningún x en R tal que g ( x ) = −1, lo que demuestra que g no es sobreyectiva. Sin embargo, si el codominio se restringe a los números reales positivos , entonces g sería biyectiva; su inversa (véase más abajo) es la función logaritmo natural ln.${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\equiv \left(0,\infty \right)}$
• La función h : R → R ⁺ , h ( x ) = x ² no es biyectiva: por ejemplo, h (−1) = h (1) = 1, lo que demuestra que h no es inyectiva. Sin embargo, si el dominio se restringe a , entonces h sería biyectiva; su inversa es la función raíz cuadrada positiva.${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}\equiv \left[0,\infty \right)}$
• Según el teorema de Schröder-Bernstein , dados dos conjuntos cualesquiera X e Y , y dos funciones inyectivas f : X → Y y g : Y → X , existe una función biyectiva h : X → Y.

Una biyección f con dominio X (indicada por f : X → Y en notación funcional ) también define una relación inversa que comienza en Y y termina en X (al invertir el sentido de las flechas). El proceso de "invertir el sentido de las flechas" para una función arbitraria no produce, en general , una función, pero las propiedades (3) y (4) de una biyección indican que esta relación inversa es una función con dominio Y. Además, las propiedades (1) y (2) indican que esta función inversa es una sobreyección y una inyección; es decir, la función inversa existe y también es una biyección. Las funciones que tienen funciones inversas se denominan invertibles . Una función es invertible si y solo si es una biyección.

Expresada en notación matemática concisa, una función f : X → Y es biyectiva si y solo si satisface la condición

Para cada y en Y hay un único x en X tal que y = f ( x ).

Siguiendo con el ejemplo de la alineación de bateo en béisbol, la función que se está definiendo toma como entrada el nombre de uno de los jugadores y devuelve su posición en el orden de bateo. Dado que esta función es una biyección, tiene una función inversa que toma como entrada una posición en el orden de bateo y devuelve el jugador que bateará en esa posición.

La composición de dos biyecciones y es una biyección, cuya inversa viene dada por es .${\displaystyle g\,\circ \,f}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle g\,\circ \,f}$${\displaystyle (g\,\circ \,f)^{-1}\;=\;(f^{-1})\,\circ \,(g^{-1})}$

Por el contrario, si la composición de dos funciones es biyectiva, solo se deduce que f es inyectiva y g es sobreyectiva .${\displaystyle g\,\circ \,f}$

Si X e Y son conjuntos finitos , existe una biyección entre ellos si y solo si tienen el mismo número de elementos. En efecto, en la teoría axiomática de conjuntos , esto se considera la definición de "mismo número de elementos" ( equinumerosidad ), y al generalizar esta definición a conjuntos infinitos se llega al concepto de número cardinal , una forma de distinguir los distintos tamaños de conjuntos infinitos.

Se dice que un conjunto infinito que tiene una biyección con los números naturales es numerablemente infinito. De igual modo, cualquier conjunto infinito que tiene una biyección con los números enteros o racionales también es numerablemente infinito, ya que estos también tienen una biyección con los números naturales. Este concepto es fundamental para determinar si algunas funciones son numerables.

Por ejemplo, el conjunto de todos los enteros pares f(n)=2n es infinito numerable porque existe una biyección entre los enteros pares y los números naturales.

• Una función f : R → R es biyectiva si y solo si su gráfica intersecta cada línea horizontal y vertical exactamente una vez.
• Si X es un conjunto, entonces las funciones biyectivas de X a sí mismo, junto con la operación de composición funcional ( ), forman un grupo , el grupo simétrico de X , que se denota de diversas maneras por S( X ), S _X , o X ! ( X factorial ).${\displaystyle \circ }$
• Las biyecciones preservan las cardinalidades de los conjuntos: para un subconjunto A del dominio con cardinalidad | A | y un subconjunto B del codominio con cardinalidad | B |, se tienen las siguientes igualdades:

  | f ( A )| = | A | y | f ⁻¹ ( B )| = | B |.

• Si X e Y son conjuntos finitos con la misma cardinalidad, y f : X → Y , entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:
  1. f es una biyección.
  2. f es una sobreyección .
  3. f es una inyección .
• Para un conjunto finito S , existe una biyección entre el conjunto de posibles ordenamientos totales de los elementos y el conjunto de biyecciones de S a S' . Es decir, el número de permutaciones de los elementos de S es igual al número de ordenamientos totales de ese conjunto, es decir, n !.

Las biyecciones son precisamente los isomorfismos en la categoría Conjunto de conjuntos y funciones de conjuntos. Sin embargo, para categorías más complejas, las biyecciones no siempre son los isomorfismos. Por ejemplo, en la categoría Grp de grupos , los morfismos deben ser homomorfismos, ya que deben preservar la estructura de grupo; por lo tanto, los isomorfismos son isomorfismos de grupo que son homomorfismos biyectivos.

La noción de correspondencia biyectiva se generaliza a funciones parciales , donde se denominan biyecciones parciales , aunque solo se requiere que sean inyectivas. La razón de esta relajación es que una función parcial (propia) ya no está definida en una parte de su dominio; por lo tanto, no hay una razón de peso para restringir su inversa a ser una función total , es decir, definida en todo su dominio. El conjunto de todas las biyecciones parciales sobre un conjunto base dado se denomina semigrupo inverso simétrico . ^{[ 4 ]}

Otra forma de definir la misma noción es decir que una biyección parcial de A a B es cualquier relación R (que resulta ser una función parcial) con la propiedad de que R es la gráfica de una biyección f : A ′ → B ′ , donde A ′ es un subconjunto de A y B ′ es un subconjunto de B . ^{[ 5 ]}

Cuando la biyección parcial está en el mismo conjunto, a veces se la llama transformación parcial biyectiva . ^{[ 6 ]} Un ejemplo es la transformación de Möbius definida simplemente en el plano complejo, en lugar de su completación al plano complejo extendido. ^{[ 7 ]}

• Teorema de Ax-Grothendieck
• Biyección, inyección y sobreyección
• numeración biyectiva
• Prueba biyectiva
• Teoría de categorías
• Función multivaluada

Este tema es un concepto básico en la teoría de conjuntos y se puede encontrar en cualquier texto que incluya una introducción a dicha teoría. Casi todos los textos que tratan sobre la introducción a la redacción de demostraciones incluyen una sección sobre teoría de conjuntos, por lo que el tema puede encontrarse en cualquiera de ellos:

• Hall, Marshall Jr. (1959). La teoría de grupos . MacMillan.
• Wolf (1998). Demostración, lógica y conjetura: una caja de herramientas para matemáticos . Freeman.
• Sundstrom (2003). Razonamiento matemático: escritura y demostración . Prentice-Hall.
• Smith; Eggen; St.Andre (2006). Una transición a las matemáticas avanzadas (6.ª ed.) . Thomson (Brooks/Cole).
• Schumacher (1996). Capítulo cero: Nociones fundamentales de las matemáticas abstractas . Addison-Wesley.
• O'Leary (2003). La estructura de la demostración: con lógica y teoría de conjuntos . Prentice-Hall.
• Morash. Un puente hacia las matemáticas abstractas . Random House.
• Maddox (2002). Pensamiento y escritura matemáticos . Harcourt/ Academic Press.
• Lay (2001). Análisis con una introducción a la demostración . Prentice Hall.
• Gilbert; Vanstone (2005). Introducción al pensamiento matemático . Pearson Prentice-Hall.
• Fletcher; Patty. Fundamentos de matemáticas superiores . PWS-Kent.
• Iglewicz; Stoyle. Introducción al razonamiento matemático . MacMillan.
• Devlin, Keith (2004). Conjuntos, funciones y lógica: una introducción a las matemáticas abstractas . Chapman & Hall/ CRC Press.
• D'Angelo; West (2000). Pensamiento matemático: resolución de problemas y demostraciones . Prentice Hall.
• Cupillari (1989). Los fundamentos de las pruebas . Wadsworth. ISBN 9780534103200.
• Bond. Introducción a las matemáticas abstractas . Brooks/Cole.
• Barnier; Feldman (2000). Introducción a las matemáticas avanzadas . Prentice Hall.
• Ash. Introducción a las matemáticas abstractas . MAA.
• Lay, Steven R. Análisis con una introducción a la demostración . 5.ª ed., Pearson, 2014.
• Tao, Terence. Análisis I. 3.ª ed., Hindustan Book Agency, 2016.

• "Biyección" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Biyección" . MathWorld .
• Primeros usos de algunos términos matemáticos: la entrada sobre inyección, sobreyección y biyección contiene la historia de la inyección y términos relacionados.