Teorema de Frege

En metalógica y metamatemática , el teorema de Frege es un metateorema que establece que los axiomas de Peano de la aritmética pueden derivarse, en lógica de segundo orden, del principio de Hume . Fue demostrado por primera vez, de manera informal, por Gottlob Frege en su obra de 1884, Die Grundlagen der Arithmetik ( Los fundamentos de la aritmética ) ^{[ 1 ]} , y de forma más formal en su obra de 1893, Grundgesetze der Arithmetik I ( Leyes fundamentales de la aritmética I) ^{[ 2 ]} . El teorema fue redescubierto por Crispin Wright a principios de la década de 1980 y desde entonces ha sido objeto de importantes investigaciones. Constituye el núcleo de la filosofía de las matemáticas conocida como neologicismo (al menos en su variante de la Escuela Escocesa ).

Descripción general

En Los fundamentos de la aritmética (1884), y más tarde, en Leyes básicas de la aritmética (vol. 1, 1893; vol. 2, 1903), Frege intentó derivar todas las leyes de la aritmética a partir de axiomas que afirmaba como lógicos (véase logicismo ). La mayoría de estos axiomas provenían de su Begriffsschrift ; el único principio verdaderamente nuevo fue uno que denominó Ley básica V ^{[ 2 ]} (ahora conocido como el esquema axiomático de comprensión irrestricta ): ^{[ 3 ]} el "rango de valores" de la función f ( x ) es el mismo que el "rango de valores" de la función g ( x ) si y solo si ∀ x [ f ( x ) = g ( x )]. Sin embargo, la Ley básica V no solo no resultó ser una proposición lógica, sino que el sistema resultante demostró ser inconsistente, porque estaba sujeto a la paradoja de Russell . ^{[ 4 ]}

La inconsistencia en los Grundgesetze de Frege eclipsó su logro: según Edward Zalta , los Grundgesetze «contienen todos los pasos esenciales de una demostración válida (en lógica de segundo orden ) de las proposiciones fundamentales de la aritmética a partir de un único principio consistente». ^{[ 4 ]} Este logro se conoce como el teorema de Frege. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

El teorema de Frege en lógica proposicional

En lógica proposicional , el teorema de Frege se refiere a esta tautología :

{\big (}P\to (Q\to R){\big )}\to {\big (}(P\to Q)\to (P\to R){\big )}

El teorema ya se cumple en una de las lógicas más débiles imaginables, el cálculo implicacional constructivo . La demostración bajo la interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov es la siguiente: $f\mapsto g\mapsto p\mapsto (f(p)\circ g)(p)$ En otras palabras: "Sea f una razón por la cual P implica que Q implica R. Y sea g una razón por la cual P implica Q. Entonces, dada una f , luego una g , luego una razón p para P , sabemos que Q se cumple por g y que Q implica R se cumple por f . Por lo tanto, R se cumple."

La tabla de verdad de la derecha proporciona una prueba semántica. Para todas las asignaciones posibles de falso ( ✗ ) o verdadero ( ✓ ) a P , Q y R (columnas 1, 3 y 5), cada subfórmula se evalúa según las reglas del condicional material , y el resultado se muestra debajo de su operador principal. La columna 6 muestra que la fórmula completa se evalúa como verdadera en todos los casos, es decir, que es una tautología. De hecho, su antecedente (columna 2) y su consecuente (columna 10) son incluso equivalentes.

Casos especiales

Uno suele tomar $\neg P$ significar $P\to \bot$ , dónde $\bot$ denota una proposición falsa. Con $\bot$ para $R$ , el teorema implica la forma currificada del principio de introducción de la negación ,

{\big (}(P\to \neg Q{\big )}\land (P\to Q){\big )}\to \neg P

Notas

↑ Gottlob Frege , Die Grundlagen der Arithmetik , Breslau: Verlag von Wilhelm Koebner, 1884, §63.
^ Gottlob Frege , Grundgesetze der Arithmetik I, Jena: Verlag Hermann Pohle, 1893, §§20 y 47.
↑ Richard Pettigrew, "Teoría básica de conjuntos" , 26 de enero de 2012, pág. 2.
1 2 3 Zalta, Edward (2013), "El teorema de Frege y los fundamentos de la aritmética" , Enciclopedia de filosofía de Stanford.
↑ Boolos , George (1998). Lógica, lógica y lógica . Editado por Richard C. Jeffrey, introducción de John P. Burgess. Cambridge, Mass: Harvard University Press. pág. 154. ISBN 9780674537675OCLC 37509971. El sorprendente descubrimiento de Frege, del que puede que no haya sido plenamente consciente y que se ha perdido de vista desde el descubrimiento de la paradoja de Russell, fue que la aritmética puede derivarse en un sistema puramente lógico como el de su Begriffsschrift a partir de este principio consistente y solo de él.

Referencias

Gottlob Frege (1884). Die Grundlagen der Arithmetik - eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (PDF) (en alemán). Breslau: Verlag von Wilhelm Koebner.
Gottlob Frege (1893). Grundgesetze der Arithmetik (en alemán). vol. 1. Jena: editorial Hermann Pohle.– Edición archivada el 21/10/2016 en Wayback Machine en notación moderna
Gottlob Frege (1903). Grundgesetze der Arithmetik (en alemán). vol. 2. Jena: editorial Hermann Pohle.– Edición archivada el 29/08/2017 en Wayback Machine en notación moderna

[:0-1] Gottlob Frege , Die Grundlagen der Arithmetik , Breslau: Verlag von Wilhelm Koebner, 1884, §63.

[:1-2] Gottlob Frege , Grundgesetze der Arithmetik I, Jena: Verlag Hermann Pohle, 1893, §§20 y 47.

[3] Richard Pettigrew, "Teoría básica de conjuntos" , 26 de enero de 2012, pág. 2.

[Zalta-4] 1 2 3 Zalta, Edward (2013), "El teorema de Frege y los fundamentos de la aritmética" , Enciclopedia de filosofía de Stanford.

[5] Boolos , George (1998). Lógica, lógica y lógica . Editado por Richard C. Jeffrey, introducción de John P. Burgess. Cambridge, Mass: Harvard University Press. pág. 154. ISBN 9780674537675OCLC 37509971. El sorprendente descubrimiento de Frege, del que puede que no haya sido plenamente consciente y que se ha perdido de vista desde el descubrimiento de la paradoja de Russell, fue que la aritmética puede derivarse en un sistema puramente lógico como el de su Begriffsschrift a partir de este principio consistente y solo de él.

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