Metateorema

En lógica , un metateorema es una afirmación sobre un sistema formal demostrada en un metalenguaje . A diferencia de los teoremas demostrados dentro de un sistema formal dado, un metateorema se demuestra dentro de una metateoría y puede hacer referencia a conceptos presentes en la metateoría pero no en la teoría de objetos.

Un sistema formal se define mediante un lenguaje formal y un sistema deductivo ( axiomas y reglas de inferencia ). El sistema formal se puede utilizar para demostrar proposiciones específicas del lenguaje formal con dicho sistema. Los metateoremas, en cambio, se demuestran externamente al sistema en cuestión, en su metateoría. Las metateorías comunes utilizadas en lógica son la teoría de conjuntos (especialmente en la teoría de modelos ) y la aritmética recursiva primitiva (especialmente en la teoría de la demostración ). En lugar de demostrar que ciertas proposiciones son demostrables, los metateoremas pueden mostrar que cada una de una amplia clase de proposiciones puede demostrarse, o bien mostrar que ciertas proposiciones no pueden demostrarse.

Algunos ejemplos de metateoremas son:

• El teorema de deducción para la lógica de primer orden dice que una oración de la forma φ→ψ es demostrable a partir de un conjunto de axiomas A si y solo si la oración ψ es demostrable a partir del sistema cuyos axiomas consisten en φ y todos los axiomas de A.
• El teorema de existencia de clases de la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel establece que para cada fórmula cuyos cuantificadores abarcan solo conjuntos, existe una clase formada por los conjuntos que satisfacen la fórmula.
• Pruebas de consistencia de sistemas como la aritmética de Peano .
• El teorema de completitud de Gödel afirma que la lógica de primer orden es completa .

• Metamatemáticas
• Distinción entre uso y mención

• Geoffrey Hunter (1969), Metalogic .
• Alasdair Urquhart (2002), "Metateoría", Un compañero de la lógica filosófica , Dale Jacquette (ed.), pág. 307

• Metateorema en la Enciclopedia de Matemáticas
• Barile, Margarita. "Metateorema" . MundoMatemático .