criterio de Rayleigh-Kuo

El criterio de Rayleigh-Kuo (a veces llamado criterio de Kuo ) es una condición de estabilidad para un fluido . Este criterio determina si puede ocurrir o no una inestabilidad barotrópica , lo que lleva a la presencia de vórtices (como remolinos y tormentas ). El criterio de Kuo establece que para que ocurra una inestabilidad barotrópica, el gradiente de la vorticidad absoluta debe cambiar de signo en algún punto dentro de los límites de la corriente. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Nótese que este criterio es una condición necesaria, por lo que si no se cumple, no es posible que se forme una inestabilidad barotrópica. Pero no es una condición suficiente, lo que significa que si se cumple el criterio, esto no significa automáticamente que el fluido sea inestable. Si el criterio no se cumple, es seguro que el flujo es estable. ^{[ 3 ]}

Este criterio fue formulado por Hsiao-Lan Kuo y se basa en la ecuación de Rayleigh, que lleva el nombre de Lord Rayleigh, quien introdujo por primera vez esta ecuación en la dinámica de fluidos .

inestabilidad barotrópica

Figura 2: El esfuerzo cortante en el flujo del fluido induce remolinos. El panel superior izquierdo (a) muestra las diferencias de velocidad con la longitud de las flechas negras y la densidad de los colores (los colores más oscuros indican mayor velocidad). Cuando este flujo se vuelve inestable (b), su dirección comienza a cambiar. Este proceso se intensifica aún más en el panel (c) hasta que finalmente se forman remolinos completos (d). Estos remolinos se forman en lados alternos del campo de flujo, con un movimiento en sentido horario a la derecha (círculos azules) y una circulación en sentido antihorario a la izquierda (círculos rojos).

Los vórtices, como los remolinos, se crean por inestabilidades en un flujo. Cuando existen inestabilidades dentro del flujo medio, la energía puede transferirse del flujo medio a las pequeñas perturbaciones, que luego pueden crecer. En un fluido barotrópico, la densidad es función únicamente de la presión y no de la temperatura (a diferencia de un fluido baroclínico , donde la densidad es función tanto de la presión como de la temperatura ^{[ 3 ]} ). Esto significa que las superficies de densidad constante ( isopicnas ) también son superficies de presión constante ( isobaras ). ^{[ 4 ]} La inestabilidad barotrópica puede formarse de diferentes maneras. Dos ejemplos son: cuando hay una interacción entre el flujo del fluido y la batimetría o topografía del dominio; cuando hay inestabilidades frontales (que también pueden conducir a inestabilidades baroclínicas). Estas inestabilidades no dependen de la densidad e incluso pueden ocurrir cuando la densidad del fluido es constante. En cambio, la mayoría de las inestabilidades se deben a una cizalladura en el flujo, como se observa en la Figura 1. Esta cizalladura en el campo de velocidad induce vorticidad vertical y horizontal dentro del flujo. Como resultado, se produce un afloramiento a la derecha del flujo y un hundimiento a la izquierda. Esta situación puede dar lugar a un flujo barotrópico inestable. Los remolinos que se forman alternativamente a ambos lados del flujo forman parte de esta inestabilidad.

Otra forma de lograr esta inestabilidad es desplazar las ondas de Rossby en la dirección horizontal (véase la Figura 2). Esto conduce a una transferencia de energía cinética (no potencial ) del flujo medio hacia las pequeñas perturbaciones (los vórtices). ^{[ 5 ]} El criterio de Rayleigh-Kuo establece que el gradiente de la vorticidad absoluta debe cambiar de signo dentro del dominio. En el ejemplo de los vórtices inducidos por cizallamiento a la derecha, esto significa que la segunda derivada del flujo en la dirección transversal debe ser cero en algún punto. Esto ocurre en el centro de los vórtices, donde la aceleración del flujo perpendicular al flujo cambia de dirección.

Ejemplos

La presencia de estas inestabilidades en un fluido en rotación se ha observado en experimentos de laboratorio. Los parámetros del experimento se basaron en las condiciones de la Corriente del Golfo y demostraron que, dentro de las corrientes oceánicas como la Corriente del Golfo, es posible que se produzcan inestabilidades barotrópicas. ^{[ 6 ]} Pero también se observaron inestabilidades barotrópicas en otras Corrientes de Frontera Occidental (CFO). En la corriente de Agulhas , la inestabilidad barotrópica provoca el desprendimiento de anillos . La corriente de Agulhas retrocede (retrocede) cerca de la costa de Sudáfrica. En esta misma ubicación, algunos anillos anticiclónicos de agua cálida escapan de la corriente media y viajan a lo largo de la costa de África. La formación de estos anillos es una manifestación de una inestabilidad barotrópica. ^{[ 7 ]}

Derivación

La derivación del criterio de Rayleigh-Kuo fue escrita por primera vez por Hsiao-Lan Kuo en su artículo titulado 'inestabilidad dinámica del flujo bidimensional no divergente en una atmósfera barotrópica' de 1949. [ ^{1 ] Esta} derivación se repite y simplifica a continuación. ^{[ 2 ]}

En primer lugar, se analizan las suposiciones de Hsiao-Lan Kuo. En segundo lugar, se deduce la ecuación de Rayleigh para continuar con la derivación del criterio de Rayleigh-Kuo. Al integrar esta ecuación y completar las condiciones de contorno, se obtiene el criterio de Kuo.

Supuestos

Para derivar el criterio de Rayleigh-Kuo, se hacen algunas suposiciones sobre las propiedades del fluido. Consideramos un fluido barotrópico bidimensional no divergente . El fluido tiene una dirección de flujo zonal media que puede variar en la dirección meridional . Sobre este flujo medio, se imponen pequeñas perturbaciones tanto en la dirección zonal como en la meridional: $u(y,t)=U(y)+u^{*}(y,t)$ y $v=v^{*}$ Las perturbaciones deben ser pequeñas para linealizar la ecuación de vorticidad. Se desprecian el movimiento vertical, la divergencia y la convergencia del fluido. Al tener en cuenta estos factores, se habría obtenido un resultado similar con solo un pequeño desplazamiento de la posición del criterio dentro del perfil de velocidad. ^{[ 1 ]}

La derivación del criterio de Kuo se realizará dentro del dominio $L=[0,y]$ En los límites norte y sur de este dominio, el fluido meridional es cero.

Ecuación de Rayleigh

Ecuación de vorticidad barotrópica

Para derivar la ecuación de Rayleigh para un fluido barotrópico, se utiliza la ecuación de vorticidad barotrópica . Esta ecuación supone que la vorticidad absoluta se conserva: ${\frac {d\zeta _{a}}{dt}}=0$ aquí, ${\frac {d}{dt}}$ es la derivada material . La vorticidad absoluta es la vorticidad relativa más la vorticidad planetaria: $\zeta _{a}=\zeta +f$ . La vorticidad relativa, $\zeta$ , es la rotación del fluido con respecto a la Tierra. La vorticidad planetaria (también llamada frecuencia de Coriolis ), $f$ es la vorticidad de una parcela inducida por la rotación de la Tierra. Al aplicar la aproximación del plano beta para la vorticidad planetaria, la conservación de la vorticidad absoluta se ve así:

${\frac {d\zeta _{a}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\zeta +\beta y\right)=0$ La vorticidad relativa se define como $\zeta ={\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}.$ Dado que el campo de flujo consiste en un flujo medio con pequeñas perturbaciones, se puede escribir como $\zeta ={\overline {\zeta }}+\zeta ^{*}$ con ${\overline {\zeta }}=-{\frac {\partial U}{\partial y}}$ y $\zeta ^{*}={\frac {\partial v^{*}}{\partial x}}-{\frac {\partial u^{*}}{\partial y}}.$ Esta formulación se utiliza en la ecuación de vorticidad:

${\begin{aligned}0&={\frac {d}{dt}}\left(\zeta +\beta y\right)\\0&={\frac {d}{dt}}\left(\zeta '+{\overline {\zeta }}+\beta y\right)\\0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+u{\frac {\partial }{\partial x}}+v{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\left(\zeta ^{*}-{\frac {\partial U}{\partial y}}+\beta y\right)\end{aligned}}$ Aquí, $u$ y $v$ son los componentes zonales y meridionales del flujo y $\zeta '$ es la vorticidad relativa inducida por las perturbaciones en el flujo ( $u'$ y $v'$ ). $U$ es el flujo zonal medio y $\beta$ es derivado de la vorticidad planetaria $f$ con respecto a $y$ .

Linealización

Se asumió un flujo medio zonal con pequeñas perturbaciones, $u=U+u^{*}$ y un flujo meridional con media cero, $v=v^{*}$ . Dado que se asumió que las perturbaciones son pequeñas, se puede realizar una linealización en la ecuación de vorticidad barotrópica anterior, ignorando todos los términos no lineales (términos donde dos o más variables pequeñas, es decir $u^{*},v^{*},\zeta ^{*}$ , se multiplican entre sí). También la derivada de $u$ en la dirección zonal, la derivada temporal del flujo medio $U$ y la derivada temporal de $\beta y$ son cero. Esto da como resultado una ecuación simplificada:

${\begin{aligned}0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\zeta '-v'{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial U}{\partial y}}+v'{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\beta y\right)\\0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\zeta '+v'\left(\beta -{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Con $\zeta '$ como se define anteriormente ( $\zeta ^{*}={\frac {\partial v^{*}}{\partial x}}-{\frac {\partial u^{*}}{\partial y}}$ ) y $u^{*}$ y $v^{*}$ las pequeñas perturbaciones en las componentes zonales y meridionales del flujo.

Función de flujo

Para hallar la solución a la ecuación linealizada, Lord Rayleigh introdujo una función de corriente para las perturbaciones de la velocidad del flujo :

$u^{*}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\;\;\;\;v^{*}={\frac {-\partial \psi }{\partial x}}.$ Estas nuevas definiciones de la función de corriente se utilizan para reescribir la ecuación linealizada de la vorticidad barotrópica. ${\begin{aligned}0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left({\frac {\partial v^{*}}{\partial x}}-{\frac {\partial u^{*}}{\partial y}}\right)+v^{*}\left(\beta -{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right)\\0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\left(\beta -U''\right)\\0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\nabla ^{2}\psi +{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\left(\beta -U''\right)\end{aligned}}$ Aquí, $U''$ es la segunda derivada de $U$ con respecto a $y$ $(U''={\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}})$ Para resolver esta ecuación para la función de corriente, Rayleigh propuso una solución ondulatoria que se lee: $\psi (x,y,t)=\Psi (y)e^{i\alpha \left(x-ct\right)}$ . La amplitud $\Psi (y)$ puede ser un número complejo , $\alpha$ es el número de onda que es un número real y $c$ es la velocidad de fase que también puede ser compleja. Insertando esta solución propuesta llegamos a la ecuación que se conoce como la ecuación de Rayleigh .

${\begin{aligned}0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\nabla ^{2}\psi +{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\left(\beta -U''\right)\\[14pt]0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left((i\alpha )^{2}\Psi e^{i\alpha \left(x-ct\right)}+\Psi ''e^{i\alpha \left(x-ct\right)}\right)+i\alpha \Psi e^{i\alpha (x-ct)}(\beta -U'')\\[14pt]0&=(i\alpha )^{2}\Psi e^{i\alpha (x-ct)}(-i\alpha c+i\alpha U)+\Psi ''e^{i\alpha (x-ct)}(-i\alpha c+i\alpha U)+i\alpha \Psi e^{i\alpha (x-ct)}(\beta -U'')\\[14pt]0&=i\alpha e^{i\alpha (x-ct)}[(\alpha ^{2}c-\alpha ^{2}U)\Psi +\Psi ''(-c+U)+\Psi (\beta -U'')]\\[14pt]0&=(U-c)(\Psi ''-\alpha ^{2}\Psi )+(\beta -U'')\Psi )\\[14pt]\end{aligned}}$ Para llegar a esta ecuación, en el último paso se utilizó que $\alpha$ ni la exponencial pueden ser cero. Esto significa que los términos entre corchetes deben ser cero. El símbolo $\Psi ''$ denota la segunda derivada de la amplitud de la función de corriente, $\Psi$ con respecto a $y$ $(\Psi ''={\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial y^{2}}})$ Esta última ecuación, que fue derivada, se conoce como la ecuación de Rayleigh, la cual es una ecuación diferencial ordinaria lineal . Es muy difícil resolverla explícitamente. Por lo tanto, Hsiao-Lan Kuo propuso un criterio de estabilidad para este problema sin resolverlo directamente.

Criterio de Kuo

En lugar de resolver la ecuación de Rayleigh, Hsiao-Lan Kuo propuso una condición de estabilidad necesaria que debía cumplirse para que el fluido pudiera volverse inestable. Para llegar a este criterio, se reescribió la ecuación de Rayleigh y se utilizaron las condiciones de contorno del campo de flujo.

El primer paso es dividir la ecuación de Rayleigh por $(U-c)$ y multiplicando la ecuación por el conjugado complejo de $\Psi \;\;(\Psi ^{*}=\Psi _{r}-i\Psi _{i})$ .

${\begin{aligned}0&=(\Psi ''-\alpha ^{2}\Psi )+\left({\frac {\beta -U''}{U-c}}\right)\Psi \\0&=\Psi ^{*}(\Psi _{r}''+i\Psi _{i}''-\alpha ^{2}\Psi _{r}-\alpha ^{2}i\Psi _{i})+\Psi ^{*}\left({\frac {\beta -U''}{U-c}}\right)(\Psi _{r}-i\Psi _{i})\\0&=\Psi _{r}\Psi _{r}''+\Psi _{i}\Psi _{i}''-\alpha ^{2}(\Psi _{r}^{2}-\Psi _{i}^{2})+\left({\frac {\beta -U''}{U-c}}\right)(\Psi _{r}^{2}-\Psi _{i}^{2})+i(-\Psi _{i}\Psi _{r}''+\Psi _{r}\Psi _{i}'')\\0&=\Psi _{r}''\Psi _{r}+\Psi _{i}''\Psi _{i}+\left(-\alpha ^{2}+{\frac {U-c_{r}}{|U-c|^{2}}}(\beta -U'')\right)|\Psi |^{2}+i\left({\frac {c_{i}}{|U-c|^{2}}}(\beta -U'')|\Psi |^{2}-\Psi _{r}''\Psi _{i}+\Psi _{i}''\Psi _{r}\right)\end{aligned}}$ En el último paso, $(U-c)$ se multiplica por su conjugado complejo, lo que da como resultado la siguiente igualdad: ${\frac {1}{U-c}}={\frac {1}{U-c_{r}-ic_{i}}}={\frac {U-c_{r}+ic_{i}}{|U-c|^{2}}}$ Para que exista una solución a la ecuación de Rayleigh, tanto la parte real como la imaginaria de la ecuación anterior deben ser iguales a cero.

Condiciones de contorno

Para llegar al criterio de Kuo, la parte imaginaria se integra sobre el dominio ( $y=[0,L]$ ) . La función de corriente en los límites del dominio es cero, $\Psi (0)=\Psi (L)=0$ Como ya se indicó en las suposiciones, el flujo zonal debe anularse en los límites del dominio. Esto da como resultado una función de corriente constante, la cual se establece en cero por conveniencia.

$\int _{0}^{L}(\Psi _{r}\Psi _{i}''-\Psi _{i}\Psi _{r}'')dy+\int _{0}^{L}\left(c_{i}{\frac {|\Psi |^{2}}{|U-c|}}(\beta -U'')\right)=0$

La primera integral se puede resolver:

${\begin{aligned}\int _{0}^{L}(\Psi _{r}\Psi _{i}''-\Psi _{i}\Psi _{r}'')dy&=\int _{0}^{L}{\frac {\partial }{\partial y}}(\Psi _{r}\Psi _{i}'-\Psi _{i}\Psi _{r}')dy\\[8pt]&=(\Psi _{r}\Psi _{i}'-\Psi _{i}\Psi _{r}')|_{0}^{L}\\[8pt]&=0\\[12pt]\end{aligned}}$

Por lo tanto, la primera integral es igual a cero. Esto significa que la segunda integral también debe ser cero, lo que permite resolver esta integral numéricamente.

${\begin{aligned}\int _{0}^{L}\left(c_{i}{\frac {|\Psi |^{2}}{|U-c|}}(\beta -U'')\right)dy&=0\\\end{aligned}}$

Cuando $c_{i}$ es cero, estamos tratando con una amplitud estable de la solución, esto significa que la solución es estable. Estamos buscando una situación inestable, entonces ${\frac {|\Psi |^{2}}{|U-c|}}(\beta -U'')$ debería ser cero. Dado que la fracción delante de $(\beta -U'')$ es distinto de cero y positivo, esto lleva a la conclusión de que $(\beta -U'')$ debe ser cero. Esto nos lleva a la formulación final, el criterio de Kuo:

${\begin{aligned}\beta -U''&=0\\[10pt]\beta &=U''\\[10pt]{\frac {\partial (\beta y)}{\partial y}}&={\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\end{aligned}}$ Aquí, $U$ es el flujo zonal medio y $\beta$ es el derivado de la vorticidad planetaria $f$ con respecto a $y$ .

Referencias

1 2 3 Kuo, Hsiao-Lan (1949). "INESTABILIDAD DINÁMICA DEL FLUJO NO DIVERGENTE BIDIMENSIONAL EN UNA ATMÓSFERA BAROTRÓPICA" . Journal of the Atmospheric Sciences . 6 : 105–122 .
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1 2 Stevens, Duane E.; Crum, Francis X. (2003), "Meteorología, Dinámica (Troposfera)" , Enciclopedia de Ciencia Física y Tecnología , Elsevier, págs. 629–659 , doi : 10.1016/B0-12-227410-5/00436-1 , ISBN 978-0-12-227410-7, consultado el 4 de mayo de 2021
↑ Shames, Irving H. (1962). Mecánica de fluidos . McGraw-Hill. pág. 159.
↑ Read, Peter; Kennedy, Daniel; Lewis, Neil; Scolan, Hélène; Tabataba-Vakili, Fachreddin; Wang, Yixiong; Wright, Susie; Young, Roland (2020-04-03). "Inestabilidades baroclínicas y barotrópicas en atmósferas planetarias: energética, equilibrio y ajuste" . Nonlinear Processes in Geophysics . 27 (2): 147– 173. Bibcode : 2020NPGeo..27..147R . doi : 10.5194/npg-27-147-2020 . hdl : 21.11116/0000-0006-3FBA-3 . ISSN 1023-5809 . S2CID 216430259 .
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[:0-1] 1 2 3 Kuo, Hsiao-Lan (1949). "INESTABILIDAD DINÁMICA DEL FLUJO NO DIVERGENTE BIDIMENSIONAL EN UNA ATMÓSFERA BAROTRÓPICA" . Journal of the Atmospheric Sciences . 6 : 105–122 .

[:1-2] LaCasce , Joe (2011). "Dinámica atmósfera-océano" (PDF) . Universitetet i Oslo .

[:2-3] 1 2 Stevens, Duane E.; Crum, Francis X. (2003), "Meteorología, Dinámica (Troposfera)" , Enciclopedia de Ciencia Física y Tecnología , Elsevier, págs. 629–659 , doi : 10.1016/B0-12-227410-5/00436-1 , ISBN 978-0-12-227410-7, consultado el 4 de mayo de 2021

[4] Shames, Irving H. (1962). Mecánica de fluidos . McGraw-Hill. pág. 159.

[5] Read, Peter; Kennedy, Daniel; Lewis, Neil; Scolan, Hélène; Tabataba-Vakili, Fachreddin; Wang, Yixiong; Wright, Susie; Young, Roland (2020-04-03). "Inestabilidades baroclínicas y barotrópicas en atmósferas planetarias: energética, equilibrio y ajuste" . Nonlinear Processes in Geophysics . 27 (2): 147– 173. Bibcode : 2020NPGeo..27..147R . doi : 10.5194/npg-27-147-2020 . hdl : 21.11116/0000-0006-3FBA-3 . ISSN 1023-5809 . S2CID 216430259 .

[6] Dimas, AA; Triantafyllou, GS (1995-05-01). "Inestabilidades baroclínicas-barotrópicas de la extensión de la Corriente del Golfo" . Journal of Physical Oceanography . 25 (5): 825– 834. Bibcode : 1995JPO....25..825D . doi : 10.1175/1520-0485(1995)025 < 0825:BIOTGS > 2.0.CO ; 2. ISSN 0022-3670 .

[7] Weijer, Wilbert; Zharkov, Volodymyr; No, Doron; Dijkstra, Henk A.; Ruijter, Wilhelmus PM de; Scheltinga, Arjen Terwisscha van; Wubs, Fred (2013). "La formación del anillo de Agulhas como inestabilidad barotrópica de la retroflexión" . Cartas de investigación geofísica . 40 (20): 5435– 5438. Código bibliográfico : 2013GeoRL..40.5435W . doi : 10.1002/2013GL057751 . hdl : 1874/290643 . ISSN 1944-8007 . S2CID 54712606 .

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