Correlograma

En el análisis de datos, un correlograma es un gráfico de estadísticas de correlación . Por ejemplo, en el análisis de series temporales , un gráfico de las autocorrelaciones de la muestra.${\displaystyle r_{h}}$versus${\displaystyle h\,}$(los desfases temporales) es un autocorrelograma . Si se grafica la correlación cruzada , el resultado se llama un correlograma cruzado .

El correlograma es una herramienta comúnmente utilizada para comprobar la aleatoriedad de un conjunto de datos . Si los datos son aleatorios, las autocorrelaciones deberían ser cercanas a cero para cualquier intervalo de tiempo. Si no son aleatorios, una o más autocorrelaciones serán significativamente distintas de cero.

Además, los correlogramas se utilizan en la etapa de identificación del modelo para los modelos de series temporales autorregresivas de media móvil de Box-Jenkins . Las autocorrelaciones deben ser cercanas a cero para indicar aleatoriedad; si el analista no verifica la aleatoriedad, la validez de muchas de las conclusiones estadísticas se vuelve cuestionable. El correlograma es una excelente manera de verificar dicha aleatoriedad.

En el análisis multivariado , las matrices de correlación mostradas como imágenes con mapas de color también pueden denominarse "correlogramas" o "corrgramas". ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

El correlograma puede ayudar a proporcionar respuestas a las siguientes preguntas: ^{[ 4 ]}

• ¿Son aleatorios los datos?
• ¿Está una observación relacionada con una observación adyacente?
• ¿Una observación está relacionada con una observación dos veces eliminada? (etc.)
• ¿La serie temporal observada es ruido blanco ?
• ¿La serie temporal observada es sinusoidal?
• ¿La serie temporal observada es autorregresiva?
• ¿Cuál es el modelo apropiado para la serie temporal observada?
• ¿Es el modelo?

${\displaystyle Y={\text{constante}}+{\text{error}}}$

¿Válido y suficiente?

• ¿Es la fórmula?${\displaystyle s_{\bar {Y}}=s/{\sqrt {N}}}$¿válido?

La aleatoriedad (junto con el modelo fijo, la variación fija y la distribución fija) es uno de los cuatro supuestos que suelen subyacer a todos los procesos de medición. El supuesto de aleatoriedad es de vital importancia por las siguientes tres razones:

• La mayoría de las pruebas estadísticas estándar dependen del azar. La validez de las conclusiones de la prueba está directamente relacionada con la validez del supuesto de azar.
• Muchas fórmulas estadísticas de uso común dependen del supuesto de aleatoriedad, siendo la más común la fórmula para determinar el error estándar de la media muestral:

${\displaystyle s_{\bar {Y}}=s/{\sqrt {N}}}$

donde s es la desviación estándar de los datos. Si bien se usa con frecuencia, los resultados obtenidos con esta fórmula no tienen valor a menos que se cumpla el supuesto de aleatoriedad.

• Para datos univariados, el modelo predeterminado es

${\displaystyle Y={\text{constante}}+{\text{error}}}$

Si los datos no son aleatorios, este modelo es incorrecto e inválido, y las estimaciones de los parámetros (como la constante) se vuelven absurdas e inválidas.

El coeficiente de autocorrelación en el retardo h viene dado por

${\displaystyle r_{h}=c_{h}/c_{0}\,}$

donde c _h es la función de autocovarianza

${\displaystyle c_{h}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{Nh}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)\left(Y_{t+h}-{\bar {Y}}\right)}$

y c ₀ es la función de varianza

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)^{2}}$

El valor resultante de r _h estará comprendido entre −1 y  +1.

En el mismo gráfico se pueden trazar límites superiores e inferiores para la autocorrelación con nivel de significancia.${\displaystyle \alpha \,}$:

${\displaystyle B=\pm z_{1-\alpha /2}SE(r_{h})\,}$con${\displaystyle r_{h}\,}$como la autocorrelación estimada en el retardo${\displaystyle h\,}$.

Si la autocorrelación es mayor (menor) que este límite superior (inferior), la hipótesis nula de que no hay autocorrelación en y más allá de un retardo dado se rechaza a un nivel de significancia de ${\displaystyle \alpha \,}$Esta prueba es aproximada y supone que la serie temporal es gaussiana .

En lo anterior, z _{1− α /2} es el cuantil de la distribución normal ; SE es el error estándar, que se puede calcular mediante la fórmula de Bartlett para procesos MA( ℓ ):

${\displaystyle SE(r_{1})={\frac {1}{\sqrt {N}}}}$

${\displaystyle SE(r_{h})={\sqrt {\frac {1+2\sum _{i=1}^{h-1}r_{i}^{2}}{N}}}}$para${\displaystyle h>1.\,}$

En el ejemplo representado, podemos rechazar la hipótesis nula de que no existe autocorrelación entre puntos temporales separados por desfases de hasta 4. Para la mayoría de los periodos más largos, no se puede rechazar la hipótesis nula de que no existe autocorrelación.

Tenga en cuenta que existen dos fórmulas distintas para generar los intervalos de confianza:

1. Si el correlograma se utiliza para comprobar la aleatoriedad (es decir, que no existe dependencia temporal en los datos), se recomienda la siguiente fórmula:

${\displaystyle \pm {\frac {z_{1-\alpha /2}}{\sqrt {N}}}}$

donde N es el tamaño de la muestra , z es la función cuantil de la distribución normal estándar y α es el nivel de significancia . En este caso, las bandas de confianza tienen un ancho fijo que depende del tamaño de la muestra.

2. Los correlogramas también se utilizan en la etapa de identificación del modelo para ajustar modelos ARIMA . En este caso, se asume un modelo de media móvil para los datos y se deben generar las siguientes bandas de confianza:

${\displaystyle \pm z_{1-\alpha /2}{\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(1+2\sum _{i=1}^{k}r_{i}^{2}\right)}}}$

donde k es el retardo. En este caso, los intervalos de confianza aumentan a medida que aumenta el retardo.

Los correlogramas están disponibles en la mayoría de las bibliotecas estadísticas de uso general.

Correlogramas:

• python pandas : pandas.plotting.autocorrelation_plot^{[ 5 ]}
• R : funciones acfypacf

Corrgramas:

• pitón seaborn : heatmap,pairplot
• R : corrgram^{[ 2 ] [ 3 ]}

• Función de autocorrelación parcial
• Gráfico espectral
• Gráfico de subseries estacionales
• Correlación escalada
• variograma

• Hanke, John E.; Reitsch, Arthur G.; Wichern, Dean W. Previsión empresarial (7.ª  ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.
• Box, GEP; Jenkins, G. (1976). Análisis de series temporales: pronóstico y control . Holden-Day.
• Chatfield, C. (1989). El análisis de series temporales: una introducción (cuarta  ed.). Nueva York, NY: Chapman & Hall.

• Gráfico de autocorrelación

 Este artículo incorpora material de dominio público del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología.