Vector de onda

En física , un vector de onda (o vectoreonda ) es un vector que se utiliza para describir una onda , cuya unidad típica es el ciclo por metro. Tiene magnitud y dirección . Su magnitud es el número de onda (inversamente proporcional a la longitud de onda ) y su dirección es perpendicular al frente de onda . En medios isótropos, esta es también la dirección de propagación de la onda .

Un vector estrechamente relacionado es el vector de onda angular (o vector de onda angular ), cuya unidad típica es el radián por metro. El vector de onda y el vector de onda angular están relacionados por una constante de proporcionalidad fija de 2π $radianes$ por ciclo.

Es común en varios campos de la física referirse al vector de onda angular simplemente como el vector de onda , a diferencia de, por ejemplo, la cristalografía . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} También es común usar el símbolo $k$ para el que esté en uso.

En el contexto de la relatividad especial , se puede definir un cuadrivector de onda , combinando el vector de onda (angular) y la frecuencia (angular).

Definición

Los términos vector de onda y vector de onda angular tienen significados distintos. Aquí, el vector de onda se denota por ${\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ y el número de onda por ${\tilde {\nu }}=\left|{\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\right|$ . El vector de onda angular se denota por $k$ y el número de onda angular por $k = | k |$ . Estos están relacionados por $\mathbf {k} =2\pi {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ .

Una onda viajera sinusoidal sigue la ecuación

\psi (\mathbf {r} ,t)=A\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi ),

dónde:

$r$ es posición,
$es$ hora,
$ψ$ es una función de $r$ y $t$ que describe la perturbación que describe la onda (por ejemplo, para una ola oceánica , $ψ$ sería la altura excesiva del agua, o para una onda sonora , $ψ$ sería la presión atmosférica excesiva ).
$A$ es la amplitud de la onda (la magnitud máxima de la oscilación),
$φ$ es un desfase ,
$ω$ es la frecuencia angular (temporal) de la onda, que describe cuántos radianes recorre por unidad de tiempo, y está relacionada con el período $T$ mediante la ecuación $\omega ={\tfrac {2\pi }{T}},$
$k$ es el vector de onda angular de la onda, que describe cuántos radianes recorre por unidad de distancia, y está relacionado con la longitud de onda mediante la ecuación $|\mathbf {k} |={\tfrac {2\pi }{\lambda }}.$

La ecuación equivalente utilizando el vector de onda y la frecuencia es ^{[ 3 ].}

\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=A\cos \left(2\pi \left({\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\cdot {\mathbf {r} }-ft\right)+\varphi \right),

dónde:

$f$ es la frecuencia
${\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ es el vector de onda

Dirección del vector de onda

La dirección en la que apunta el vector de onda debe distinguirse de la "dirección de propagación de la onda ". La "dirección de propagación de la onda" es la dirección del flujo de energía de una onda y la dirección en la que se moverá un pequeño paquete de ondas , es decir, la dirección de la velocidad de grupo . Para las ondas de luz en el vacío, esta es también la dirección del vector de Poynting . Por otro lado, el vector de onda apunta en la dirección de la velocidad de fase . En otras palabras, el vector de onda apunta en la dirección normal a las superficies de fase constante , también llamadas frentes de onda .

En un medio isótropo sin pérdidas , como el aire, cualquier gas, cualquier líquido, sólidos amorfos (como el vidrio ) y cristales cúbicos , la dirección del vector de onda coincide con la dirección de propagación de la onda. Si el medio es anisótropo, el vector de onda generalmente apunta en direcciones distintas a la de propagación. El vector de onda siempre es perpendicular a las superficies de fase constante.

Por ejemplo, cuando una onda viaja a través de un medio anisotrópico , como las ondas de luz a través de un cristal asimétrico o las ondas sonoras a través de una roca sedimentaria , el vector de onda puede no apuntar exactamente en la dirección de propagación de la onda. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

En física del estado sólido

En física del estado sólido , el vector de onda (también llamado vector k ) de un electrón o hueco en un cristal es el vector de onda de su función de onda cuántica . Estas ondas electrónicas no son ondas sinusoidales ordinarias , pero sí poseen una función envolvente sinusoidal, y el vector de onda se define mediante dicha función envolvente, generalmente utilizando la definición física. Véase el teorema de Bloch para más detalles. ^[⁶^]

En la relatividad especial

En la relatividad especial, una superficie de onda en movimiento puede considerarse como una hipersuperficie (un subespacio tridimensional) en el espaciotiempo, formada por todos los eventos que la atraviesan. Un tren de ondas (denotado por una variable $X$ ) puede considerarse como una familia uniparamétrica de dichas hipersuperficies en el espaciotiempo. Esta variable $X$ es una función escalar de la posición en el espaciotiempo. La derivada de este escalar es un vector que caracteriza la onda: el cuadrivector de onda. ^{[ 7 ]}

El cuadrivector de onda es un cuadrivector de onda que se define, en coordenadas de Minkowski , como:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,

donde la frecuencia angular ${\tfrac {\omega }{c}}$ es el componente temporal y el vector de número de onda ${\vec {k}}$ es el componente espacial.

Alternativamente, el número de onda $k$ puede escribirse como la frecuencia angular $ω$ dividida por la velocidad de fase $v p$ , o en términos del período inverso $T$ y la longitud de onda inversa $λ$ .

Cuando se escriben explícitamente, sus formas contravariantes y covariantes son:

{\begin{aligned}K^{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\[4pt]K_{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}

En general, la magnitud escalar de Lorentz del cuadrivector de onda es:

K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}

El cuadrivector de onda es nulo para partículas sin masa (fotónicas), donde la masa en reposo es cero. $m_{o}=0$

Un ejemplo de un cuadrivector de onda nulo sería un haz de luz coherente y monocromática , que tiene velocidad de fase. $v_{p}=c$

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,

{para luz/nulo}

que tendría la siguiente relación entre la frecuencia y la magnitud de la parte espacial del cuadrivector de onda:

K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=0

{para luz/nulo}

El cuadrivector de onda se relaciona con el cuadrimomento de la siguiente manera:

P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)

El cuadrivector de onda se relaciona con la cuadrifrecuencia de la siguiente manera:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)N^{\mu }=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)\left(\nu ,\nu {\vec {n}}\right)

El cuadrivector de onda se relaciona con la cuadrivelocidad de la siguiente manera:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)U^{\mu }=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)

Transformación de Lorentz

Aplicar la transformación de Lorentz al cuadrivector de onda es una forma de derivar el efecto Doppler relativista . La matriz de Lorentz se define como

\Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &\ 0\ &\ 0\ \\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

En la situación en la que una fuente de luz que se mueve rápidamente emite luz y se desea conocer la frecuencia de la luz detectada en un sistema de referencia terrestre (laboratorio), aplicaríamos la transformación de Lorentz de la siguiente manera. Nótese que la fuente está en un sistema de referencia $S s$ y la Tierra está en el sistema de referencia de observación, $S obs$ . Aplicando la transformación de Lorentz al vector de onda

k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }

y optando simplemente por mirar el $\mu =0$ Los resultados de los componentes en

{\begin{aligned}k_{s}^{0}&=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\\[3pt]{\frac {\omega _{s}}{c}}&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\\&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\end{aligned}}

dónde $\cos \theta$ es el coseno director de $k^{1}$ con respecto a $k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .$

Entonces

La fuente se aleja (desplazamiento al rojo).

Como ejemplo, para aplicar esto a una situación en la que la fuente se está alejando directamente del observador ( $\theta =\pi$ ), esto se convierte en:

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}

La fuente se mueve hacia (desplazamiento al azul)

Para aplicar esto a una situación en la que la fuente se mueve directamente hacia el observador ( $θ = 0$ ), queda lo siguiente:

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}

Fuente que se mueve tangencialmente (efecto Doppler transversal)

Para aplicar esto a una situación en la que la fuente se mueve transversalmente con respecto al observador ( $θ = π /2$ ), esto se convierte en:

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-0)}}={\frac {1}{\gamma }}

Véase también

Referencias

↑ Ejemplo de física: Harris, Benenson, Stöcker (2002). Manual de física . pág. 288. ISBN 978-0-387-95269-7.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
↑ Ejemplo de cristalografía: Vaĭnshteĭn (1994). Cristalografía moderna . pág. 259. ISBN 978-3-540-56558-1.
^ Vaĭnshteĭn, Boris Konstantinovich (1994). Cristalografía moderna . pag. 259.ISBN 978-3-540-56558-1.
↑ Fowles, Grant (1968). Introducción a la óptica moderna . Holt, Rinehart y Winston. pág. 177.
↑ "Este efecto ha sido explicado por Musgrave (1959), quien demostró que la energía de una onda elástica en un medio anisotrópico no viaja, en general, por la misma trayectoria que la normal al frente de onda plano...", Ondas sonoras en sólidos, por Pollard, 1977. Enlace
↑ Donald H. Menzel (1960). "§10.5 Onda de Bloch" . Fórmulas fundamentales de la física, volumen 2 (reimpresión de Prentice-Hall, 1955, 2.ª ed.). Courier-Dover. pág. 624. ISBN 978-0486605968.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
↑ Wolfgang Rindler (1991). «§24 Movimiento ondulatorio». Introducción a la relatividad especial (2.ª ed.). Oxford Science Publications. págs. 60–65 . ISBN 978-0-19-853952-0.

Lecturas adicionales

Brau, Charles A. (2004). Problemas modernos en electrodinámica clásica . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-514665-3.

[1] Ejemplo de física: Harris, Benenson, Stöcker (2002). Manual de física . pág. 288. ISBN 978-0-387-95269-7.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

[2] Ejemplo de cristalografía: Vaĭnshteĭn (1994). Cristalografía moderna . pág. 259. ISBN 978-3-540-56558-1.

[3] Vaĭnshteĭn, Boris Konstantinovich (1994). Cristalografía moderna . pag. 259.ISBN 978-3-540-56558-1.

[fowles-4] Fowles, Grant (1968). Introducción a la óptica moderna . Holt, Rinehart y Winston. pág. 177.

[pollard-5] "Este efecto ha sido explicado por Musgrave (1959), quien demostró que la energía de una onda elástica en un medio anisotrópico no viaja, en general, por la misma trayectoria que la normal al frente de onda plano...", Ondas sonoras en sólidos, por Pollard, 1977. Enlace

[6] Donald H. Menzel (1960). "§10.5 Onda de Bloch" . Fórmulas fundamentales de la física, volumen 2 (reimpresión de Prentice-Hall, 1955, 2.ª ed.). Courier-Dover. pág. 624. ISBN 978-0486605968.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[7] Wolfgang Rindler (1991). «§24 Movimiento ondulatorio». Introducción a la relatividad especial (2.ª ed.). Oxford Science Publications. págs. 60–65 . ISBN 978-0-19-853952-0.

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