Estadísticas direccionales

La estadística direccional (también llamada estadística circular o estadística esférica ) es la subdisciplina de la estadística que se ocupa de las direcciones ( vectores unitarios en el espacio euclidiano , R ⁿ ), los ejes ( líneas que pasan por el origen en R ⁿ ) o las rotaciones en R ⁿ . De forma más general, la estadística direccional se ocupa de las observaciones en variedades riemannianas compactas, incluida la variedad de Stiefel .

El hecho de que 0 grados y 360 grados sean ángulos idénticos , de modo que, por ejemplo, 180 grados no sea una media razonable de 2 grados y 358 grados, ilustra la necesidad de utilizar métodos estadísticos especiales para el análisis de ciertos tipos de datos (en este caso, datos angulares). Otros ejemplos de datos que pueden considerarse direccionales incluyen estadísticas relacionadas con periodos temporales (por ejemplo, hora del día, semana, mes, año, etc.), direcciones cardinales, ángulos diedros en moléculas, orientaciones, rotaciones, etc.

Cualquier función de densidad de probabilidad (pdf)${\displaystyle \ p(x)}$en la línea se puede "envolver" alrededor de la circunferencia de un círculo de radio unitario. ^{[ 2 ]} Es decir, la pdf de la variable envuelta $${\displaystyle \theta =x_{w}=x{\bmod {2}}\pi \ \ \in (-\pi ,\pi ]}$$ es $${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}.}$$

Este concepto puede extenderse al contexto multivariado mediante una extensión de la suma simple a un número de${\displaystyle F}$sumas que cubren todas las dimensiones en el espacio de características: $${\displaystyle p_{w}({\boldsymbol {\theta }})=\sum _{k_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\boldsymbol {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {e} _ {k}=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)^{\mathsf {T}}}$es el${\displaystyle k}$Vector base euclidiano -ésimo.

Las siguientes secciones muestran algunas distribuciones circulares relevantes.

También existen distribuciones en la esfera bidimensional (como la distribución de Kent ^{[ 4 ]} ), la esfera N- dimensional (la distribución de von Mises-Fisher ^{[ 5 ]} ) o el toro (la distribución bivariada de von Mises ^{[ 6 ]} ).

La distribución matricial de von Mises-Fisher es una distribución en la variedad de Stiefel y puede utilizarse para construir distribuciones de probabilidad sobre matrices de rotación . ^{[ 7 ]}

La distribución de Bingham es una distribución sobre ejes en N dimensiones, o equivalentemente, sobre puntos en la esfera ( N  −  1)-dimensional con los antípodas identificados. ^{[ 8 ]} Por ejemplo, si N  =  2, los ejes son líneas no dirigidas que pasan por el origen en el plano. En este caso, cada eje corta el círculo unitario en el plano (que es la esfera unidimensional) en dos puntos que son antípodas entre sí. Para N  =  4, la distribución de Bingham es una distribución sobre el espacio de cuaterniones unitarios ( versores ). Dado que un versor corresponde a una matriz de rotación, la distribución de Bingham para N  =  4 puede usarse para construir distribuciones de probabilidad sobre el espacio de rotaciones, al igual que la distribución de Matrix-von Mises-Fisher.

Estas distribuciones se utilizan, por ejemplo, en geología , ^{[ 9 ]} cristalografía ^{[ 10 ]} y bioinformática . ^{[ 1 ] [ 11 ] [ 12 ]}

Los momentos vectoriales brutos (o trigonométricos) de una distribución circular se definen como

${\displaystyle m_{n}=\operatorname {E} (z^{n})=\int _{\Gamma }P(\theta )z^{n}\,d\theta }$

dónde${\displaystyle \Gamma }$es cualquier intervalo de longitud${\displaystyle 2\pi }$,${\displaystyle P(\theta )}$es el PDF de la distribución circular, y${\displaystyle z=e^{i\theta }}$. Dado que la integral${\displaystyle P(\theta )}$Si la unidad y el intervalo de integración es finito, se deduce que los momentos de cualquier distribución circular son siempre finitos y están bien definidos.

Los momentos de muestra se definen de forma análoga:

${\displaystyle {\overline {m}}_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}z_{i}^{n}.}$

El vector resultante de la población, su longitud y el ángulo medio se definen de forma análoga a los parámetros de muestra correspondientes.

${\displaystyle \rho =m_{1}}$

${\displaystyle R=|m_{1}|}$

${\displaystyle \theta _{n}=\operatorname {Arg} (m_{n}).}$

Además, las longitudes de los momentos superiores se definen como:

${\displaystyle R_{n}=|m_{n}|}$

mientras que las partes angulares de los momentos superiores son simplemente${\displaystyle (n\theta _ {n}){\bmod {2}}\pi }$La duración de todos los momentos estará comprendida entre 0 y 1.

Se pueden definir diversas medidas de tendencia central y dispersión estadística tanto para la población como para una muestra extraída de esa población. ^{[ 3 ]}

Dado un conjunto de N mediciones${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$El valor medio de z se define como:

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

que puede expresarse como

${\displaystyle {\overline {z}}={\overline {C}}+i{\overline {S}}}$

dónde

${\displaystyle {\overline {C}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n}){\text{ and }}{\overline {S}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})}$

o, alternativamente, como:

${\displaystyle {\overline {z}}={\overline {R}}e^{i{\overline {\theta }}}}$

dónde

${\displaystyle {\overline {R}}={\sqrt {{\overline {C}}^{2}+{\overline {S}}^{2}}}{\text{ and }}{\overline {\theta }}=\arctan({\overline {S}}/{\overline {C}}).}$

La distribución del ángulo medio (${\displaystyle {\overline {\theta }}}$) para una función de densidad de probabilidad circular P ( θ ) vendrá dada por:

${\displaystyle P({\overline {C}},{\overline {S}})\,d{\overline {C}}\,d{\overline {S}}=P({\overline {R}},{\overline {\theta }})\,d{\overline {R}}\,d{\overline {\theta }}=\int _{\Gamma }\cdots \int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}\left[P(\theta _{n})\,d\theta _{n}\right]}$

dónde${\displaystyle \Gamma }$es sobre cualquier intervalo de longitud${\displaystyle 2\pi }$y la integral está sujeta a la restricción de que${\displaystyle {\overline {S}}}$y${\displaystyle {\overline {C}}}$son constantes, o, alternativamente, que${\displaystyle {\overline {R}}}$y${\displaystyle {\overline {\theta }}}$son constantes.

El cálculo de la distribución de la media para la mayoría de las distribuciones circulares no es analíticamente posible, y para realizar un análisis de varianza se necesitan aproximaciones numéricas o matemáticas. ^{[ 13 ]}

El teorema del límite central puede aplicarse a la distribución de las medias muestrales. (Artículo principal: Teorema del límite central para estadísticas direccionales ). Se puede demostrar ^{[ 13 ]} que la distribución de${\displaystyle [{\overline {C}},{\overline {S}}]}$Se aproxima a una distribución normal bivariada en el límite de un tamaño de muestra grande.

Para datos cíclicos (por ejemplo, si están distribuidos uniformemente)  :

• Prueba de Rayleigh para un grupo unimodal
• Prueba de Kuiper para datos posiblemente multimodales.

• coeficiente de correlación circular
• Distribución normal compleja
• Distribución envasada

• Batschelet, E. (1981). Estadística circular en biología . Londres: Academic Press . ISBN 0-12-081050-6.
• Fisher, NI (1993). Análisis estadístico de datos circulares . Cambridge University Press . ISBN 0-521-35018-2.
• Fisher, NI ; Lewis, T.; Embleton, BJJ (1993). Análisis estadístico de datos esféricos . Cambridge University Press . ISBN 0-521-45699-1.
• Jammalamadaka, S. Rao; Sengupta, A. (2001). Temas de estadística circular . Nueva Jersey: World Scientific. ISBN 981-02-3778-2. Consultado el 15 de mayo de 2011 .
• Mardia, KV ; Jupp, P. (2000). Estadística direccional (2.ª  ed.). John Wiley and Sons Ltd. ISBN 0-471-95333-4.
• Ley, C.; Verdebout, T. (2017). Modern Directional Statistics . CRC Press Taylor & Francis Group . ISBN 978-1-4987-0664-3.