Distribución normal envuelta

En teoría de la probabilidad y estadística direccional , una distribución normal envuelta es una distribución de probabilidad envuelta que resulta de "envolver" la distribución normal alrededor del círculo unitario . Encuentra aplicación en la teoría del movimiento browniano y es una solución a la ecuación del calor para condiciones de contorno periódicas . Se aproxima estrechamente a la distribución de von Mises , que, debido a su simplicidad matemática y manejabilidad, es la distribución más utilizada en estadística direccional. ^{[ 1 ]}

La función de densidad de probabilidad de la distribución normal envuelta es ^{[ 2 ]}

${\displaystyle f_{\text{WN}}(\theta$ ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu +2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right],}

donde μ y σ son la media y la desviación estándar de la distribución desenrollada, respectivamente. Expresando la función de densidad anterior en términos de la función característica de la distribución normal se obtiene: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle f_{\text{WN}}(\theta$ ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\sigma ^{2}n^{2}/2+in(\theta -\mu )}={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right),}

dónde${\displaystyle \vartheta (\theta,\tau)}$es la función theta de Jacobi , dada por

${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}{\text{ donde }}w\equiv e^{i\pi \theta }}$y${\displaystyle q\equiv e^{i\pi \tau }.}$

La distribución normal envuelta también puede expresarse en términos del triple producto de Jacobi : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle f_{\text{WN}}(\theta$ ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})(1+q^{n-1/2}z)(1+q^{n-1/2}/z).}

dónde${\displaystyle z=e^{i(\theta -\mu )}\,}$y${\displaystyle q=e^{-\sigma ^{2}}.}$

En términos de la variable circular${\displaystyle z=e^{i\theta }}$Los momentos circulares de la distribución normal envuelta son la función característica de la distribución normal evaluada en argumentos enteros:

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{\text{WN}}(\theta$ ;\mu ,\sigma )\,d\theta =e^{in\mu -n^{2}\sigma ^{2}/2}.}

dónde${\displaystyle \Gamma }$es algún intervalo de longitud${\displaystyle 2\pi }$El primer momento es entonces el valor promedio de z , también conocido como resultante medio o vector resultante medio:

${\displaystyle \langle z\rangle =e^{i\mu -\sigma ^{2}/2}}$

El ángulo medio es

${\displaystyle \theta _ {\mu }=\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\mu }$

y la longitud de la resultante media es

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |=e^{-\sigma ^{2}/2}}$

La desviación estándar circular, que es una medida útil de dispersión para la distribución normal envuelta y su pariente cercana, la distribución de von Mises, viene dada por:

${\displaystyle s=\ln(R^{-2})^{1/2}=\sigma }$

Una serie de N mediciones z _n  = e ^{i θ _n} extraídas de una distribución normal envuelta puede usarse para estimar ciertos parámetros de la distribución. El promedio de la serie z se define como  

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _ {n=1}^{N}z_ {n}}$

y su valor esperado será solo el primer momento:

${\displaystyle \langle {\overline {z}}\rangle =e^{i\mu -\sigma ^{2}/2}.\,}$

En otras palabras, z es un estimador insesgado del primer momento. Si suponemos que la media μ se encuentra en el intervalo [ − π , π ) , entonces Arg z será un estimador (sesgado) de la media μ .   

Si se considera el conjunto de vectores z _{n en el plano complejo, el estadístico} R ² es el cuadrado de la longitud del vector promedio:

${\displaystyle {\overline {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}\,}$

y su valor esperado es:

${\displaystyle \left\langle {\overline {R}}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}\,e^{-\sigma ^{2}}\,}$

En otras palabras, la estadística

${\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\overline {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)}$

será un estimador insesgado de e ^{− σ 2} , y ln(1/ R _e ² ) será un estimador (sesgado) de σ ² 

La entropía de la información de la distribución normal envuelta se define como: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }f_{\text{WN}}(\theta$ ;\mu ,\sigma )\,\ln(f_{\text{WN}}(\theta  ;\mu ,\sigma ))\,d\theta }

dónde${\displaystyle \Gamma }$es cualquier intervalo de longitud${\displaystyle 2\pi }$. Definición${\displaystyle z=e^{i(\theta -\mu )}}$y${\displaystyle q=e^{-\sigma ^{2}}}$La representación del triple producto de Jacobi para la normal envuelta es:

${\displaystyle f_{\text{WN}}(\theta$ ;\mu ,\sigma )={\frac {\phi (q)}{2\pi }}\prod _{m=1}^{\infty }(1+q^{m-1/2}z)(1+q^{m-1/2}z^{-1})}

dónde${\displaystyle \phi (q)\,}$es la función de Euler . El logaritmo de la densidad de la distribución normal envuelta se puede escribir como:

${\displaystyle \ln(f_{\text{WN}}(\theta$ ;\mu ,\sigma ))=\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+\sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z)+\sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z^{-1})}

Utilizando el desarrollo en serie para el logaritmo:

${\displaystyle \ln(1+x)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,x^{k}}$

Las sumas logarítmicas se pueden escribir como:

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z^{\pm 1})=-\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,q^{mk-k/2}z^{\pm k}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,{\frac {q^{k/2}}{1-q^{k}}}\,z^{\pm k}}$

de modo que el logaritmo de la densidad de la distribución normal envuelta se puede escribir como:

${\displaystyle \ln(f_{\text{WN}}(\theta$ ;\mu ,\sigma ))=\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\frac {q^{k/2}}{1-q^{k}}}\,(z^{k}+z^{-k})}

que es esencialmente una serie de Fourier en${\displaystyle \theta \,}$. Utilizando la representación de la función característica para la distribución normal envuelta en el lado izquierdo de la integral:

${\displaystyle f_{\text{WN}}(\theta$ ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}/2}\,z^{n}}

La entropía se puede escribir como:

${\displaystyle H=-\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\frac {q^{(n^{2}+k)/2}}{1-q^{k}}}\left(z^{n+k}+z^{n-k}\right)\right)\,d\theta }$

que pueden integrarse para producir:

${\displaystyle H=-\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,{\frac {q^{(k^{2}+k)/2}}{1-q^{k}}}}$

• Distribución envasada
• Combo de Dirac
• Distribución de Cauchy envuelta
• Distribución Von Mises

• Borradaile, Graham (2003). Estadísticas de datos de ciencias de la tierra . Saltador. ISBN 978-3-540-43603-4Consultado el 31 de diciembre de 2009 .
• Fisher, NI (1996). Análisis estadístico de datos circulares . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56890-6. Consultado el 09-02-2010 .
• Breitenberger, Ernst (1963). "Análogos de la distribución normal en el círculo y la esfera" . Biometrika . 50 (1/2): 81–88 . doi : 10.2307/2333749 . JSTOR 2333749 . 

• Matemáticas y estadística de valores circulares con C++11 , una infraestructura de C++11 para matemáticas y estadística de valores circulares (ángulos, hora del día, etc.)