Operador afiliado

En matemáticas , Murray y von Neumann introdujeron los operadores afiliados en la teoría de las álgebras de von Neumann como una técnica para utilizar operadores no acotados en el estudio de módulos generados por un único vector. Posteriormente, Atiyah y Singer demostraron que los teoremas de índice para operadores elípticos en variedades cerradas con grupo fundamental infinito podían formularse naturalmente en términos de operadores no acotados afiliados al álgebra de von Neumann del grupo. Las propiedades algebraicas de los operadores afiliados han resultado importantes en ^la cohomología L2 , un área entre el análisis y la geometría que surgió del estudio de dichos teoremas de índice.

Sea M un álgebra de von Neumann que actúa sobre un espacio de Hilbert H. Se dice que un operador A cerrado y densamente definido está asociado a M si A conmuta con todo operador unitario U en el conmutador de M. Las condiciones equivalentes son las siguientes:

• Cada U unitaria en M' debe dejar invariante la gráfica de A definida por .${\displaystyle G(A)=\{(x,Ax):x\in D(A)\}\subseteq H\oplus H}$
• La proyección sobre G ( A ) debe estar en M ₂ ( M ).
• Cada U unitario en M' debe llevar D ( A ), el dominio de A , sobre sí mismo y satisfacer UAU* = A allí.
• Cada U unitaria en M' debe conmutar con ambos operadores en la descomposición polar de A.

La última condición se deriva de la unicidad de la descomposición polar. Si A tiene una descomposición polar

${\displaystyle A=V|A|,\,}$

Se afirma que la isometría parcial V debe pertenecer a M y que el operador autoadjunto positivo |A| debe estar asociado a M. Sin embargo, según el teorema espectral , un operador autoadjunto positivo conmuta con un operador unitario si y solo si cada una de sus proyecciones espectrales lo hace. Esto proporciona otra condición equivalente:${\displaystyle E([0,N])}$

• cada proyección espectral de | A | y la isometría parcial en la descomposición polar de A se encuentra en M .

En general, los operadores asociados a un álgebra de von Neumann M no necesariamente se comportan bien bajo la suma o la composición. Sin embargo, en presencia de una traza normal semifinita fiel τ y la acción estándar de Gelfand-Naimark-Segal de M sobre H  = L ² ( M , τ ), Edward Nelson demostró que los operadores asociados medibles forman un *-álgebra con propiedades interesantes: se trata de operadores tales que τ ( I − E ([0, N ])) < ∞ para N suficientemente grande. Esta álgebra de operadores no acotados es completa para una topología natural, generalizando la noción de convergencia en medida . Contiene todos los espacios L ^p no conmutativos definidos por la traza y fue introducida para facilitar su estudio.      

Esta teoría se puede aplicar cuando el álgebra de von Neumann M es de tipo I o tipo II . Cuando M  = B ( H ) actúa sobre el espacio de Hilbert L ² ( H ) de operadores de Hilbert-Schmidt , da lugar a la conocida teoría de espacios L ^p no conmutativos L ^p ( H ) debida a Schatten y von Neumann . 

Cuando M es además un álgebra de von Neumann finita , por ejemplo un factor de tipo II ₁ , entonces cada operador afiliado es automáticamente medible, por lo que los operadores afiliados forman un *-álgebra , como se observó originalmente en el primer artículo de Murray y von Neumann. En este caso, M es un anillo regular de von Neumann : pues en la clausura de su imagen |A| tiene un inverso medible B y entonces T  = BV ^* define un operador medible con ATA = A. Por supuesto, en el caso clásico cuando X es un espacio de probabilidad y M = L ^∞ ( X ), simplemente recuperamos el *-álgebra de funciones medibles en X .     

Sin embargo, si M es de tipo III , la teoría adopta una forma bastante diferente. En efecto, en este caso, gracias a la teoría de Tomita-Takesaki , se sabe que los espacios L ^p no conmutativos ya no se realizan mediante operadores asociados al álgebra de von Neumann. Como demostró Connes , estos espacios solo pueden realizarse como operadores no acotados utilizando una cierta potencia positiva del operador modular de referencia. En lugar de caracterizarse por la simple relación de afiliación UAU ^*  = A , existe una relación de bimodulo más compleja que involucra la continuación analítica del grupo de automorfismos modulares. 

• A. Connes, Geometría no conmutativa , ISBN 0-12-185860-X
• J. Dixmier , Álgebras de Von Neumann , ISBN 0-444-86308-7[Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann, Gauthier-Villars (1957 y 1969)]
• W. Lück, L ² -Invariantes: Teoría y aplicaciones a la geometría y la teoría K , (Capítulo 8: el álgebra de operadores afiliados) ISBN 3-540-43566-2
• FJ Murray y J. von Neumann, Anillos de operadores , Annals of Mathematics 37 (1936), 116 – 229 (Capítulo XVI).
• E. Nelson, Notas sobre integración no conmutativa , J. Funct. Anal. 15 (1974), 103 – 116.
• M. Takesaki, Teoría de las álgebras de operadores I, II, III , ISBN 3-540-42248-XISBN 3-540-42914-XISBN 3-540-42913-1