Computación cuántica adiabática

La computación cuántica adiabática ( AQC ) es una forma de computación cuántica que se basa en el teorema adiabático para realizar cálculos ^{[ 1 ]} y está estrechamente relacionada con el recocido cuántico . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Primero, se encuentra un hamiltoniano (potencialmente complejo) cuyo estado fundamental describe la solución al problema de interés. A continuación, se prepara un sistema con un hamiltoniano simple y se inicializa al estado fundamental. Finalmente, el hamiltoniano simple evoluciona adiabáticamente hacia el hamiltoniano complejo deseado. Según el teorema adiabático, el sistema permanece en el estado fundamental, por lo que, al final, el estado del sistema describe la solución al problema. Se ha demostrado que la computación cuántica adiabática es polinómicamente equivalente a la computación cuántica convencional en el modelo de circuitos. ^{[ 6 ]}

La complejidad temporal de un algoritmo adiabático es el tiempo necesario para completar la evolución adiabática, que depende de la brecha en los autovalores de energía ( brecha espectral ) del hamiltoniano. Específicamente, si el sistema se va a mantener en el estado fundamental, la brecha de energía entre el estado fundamental y el primer estado excitado de${\displaystyle H(t)}$proporciona un límite superior a la velocidad a la que el hamiltoniano puede evolucionar en el tiempo${\displaystyle t}$[ ^{7 ]} Cuando la brecha espectral es pequeña, el hamiltoniano debe evolucionar lentamente. El tiempo de ejecución de todo el algoritmo puede estar acotado por ^:

${\displaystyle T=O\left({\frac {1}{g_{min}^{2}}}\right)}$

dónde${\displaystyle g_{min}}$es la brecha espectral mínima para${\displaystyle H(t)}$.

AQC es un método posible para sortear el problema de la relajación de energía . Dado que el sistema cuántico se encuentra en el estado fundamental, la interferencia con el mundo exterior no puede provocar que pase a un estado de menor energía. Si la energía del mundo exterior (es decir, la "temperatura del baño") se mantiene por debajo de la brecha energética entre el estado fundamental y el siguiente estado de energía superior, el sistema tiene una probabilidad proporcionalmente menor de pasar a un estado de mayor energía. Por lo tanto, el sistema puede permanecer en un único autoestado del sistema durante el tiempo que sea necesario.

Los resultados de universalidad en el modelo adiabático están ligados a la complejidad cuántica y a los problemas QMA -difíciles. El hamiltoniano k-local es QMA-completo para k ≥ 2. ^{[ 8 ]} Se conocen resultados de QMA-dificultad para modelos de red físicamente realistas de cúbits como ^{[ 9 ]}

${\displaystyle H=\sum _{i}h_{i}Z_{i}+\sum _{i<j}J^{ij}Z_{i}Z_{j}+\sum _{i<j}K^{ij}X_{i}X_{j}}$

dónde${\displaystyle Z,X}$representan las matrices de Pauli${\displaystyle \sigma _{z},\sigma _{x}}$Estos modelos se utilizan para la computación cuántica adiabática universal . Los hamiltonianos para el problema QMA-completo también pueden restringirse para actuar sobre una cuadrícula bidimensional de cúbits ^{[ 10 ]} o una línea de partículas cuánticas con 12 estados por partícula ^{[ 11 ]} . Si se encontrara que estos modelos son físicamente realizables , también podrían utilizarse para formar los bloques de construcción de una computadora cuántica adiabática universal.

En la práctica, surgen problemas durante un cálculo. A medida que el hamiltoniano se modifica gradualmente, las partes interesantes (el comportamiento cuántico en contraposición al clásico) ocurren cuando varios cúbits se aproximan a un punto de inflexión. Es precisamente en este punto cuando el estado fundamental (un conjunto de orientaciones de los cúbits) se acerca mucho a un primer estado de energía (una disposición diferente de orientaciones). Añadir una pequeña cantidad de energía (proveniente del baño externo o como resultado de un cambio gradual del hamiltoniano) podría sacar al sistema del estado fundamental y arruinar el cálculo. Intentar realizar el cálculo más rápidamente aumenta la energía externa; aumentar el número de cúbits reduce la brecha de energía en los puntos de inflexión.

La computación cuántica adiabática resuelve problemas de satisfacibilidad y otros problemas de búsqueda combinatoria, en particular aquellos problemas que pueden formularse como el estado fundamental de un modelo de Ising o un problema QUBO .

Los problemas de satisfacibilidad buscan un estado que satisfaga ${\displaystyle C_{1}\wedge C_{2}\wedge \cdots \wedge C_{M}}$Esta expresión contiene la satisfacibilidad de M cláusulas, para las cuales la cláusula${\displaystyle C_{i}}$tiene el valor Verdadero o Falso, y puede involucrar n bits. Cada bit es una variable.${\displaystyle x_{j}\in \{0,1\}}$de tal manera que${\displaystyle C_{i}}$es una función de valor booleano de${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$. QAA resuelve este tipo de problema utilizando evolución adiabática cuántica. Comienza con un hamiltoniano inicial.${\displaystyle H_{B}}$:

${\displaystyle H_{B}=H_{B_{1}}+H_{B_{2}}+\dots +H_{B_{M}}}$

dónde${\displaystyle H_{B_{i}}}$muestra el hamiltoniano correspondiente a la cláusula${\displaystyle C_{i}}$. Por lo general, la elección de${\displaystyle H_{B_{i}}}$no dependerá de diferentes cláusulas, por lo que solo importa el número total de veces que cada bit está involucrado en todas las cláusulas. A continuación, pasa por una evolución adiabática, que termina en el hamiltoniano del problema.${\displaystyle H_{P}}$:

${\displaystyle H_{P}=\sum \limits _{C}^{}H_{P,C}}$

dónde${\displaystyle H_{P,C}}$es el hamiltoniano satisfactorio de la cláusula C.

Tiene valores propios:

${\displaystyle h_{C}(z_{1C},z_{2C}\dots z_{nC})={\begin{cases}0&{\mbox{cláusula }}C{\mbox{ satisfecha}}\\1&{\mbox{cláusula }}C{\mbox{ violada}}\end{cases}}}$

Para una trayectoria simple de evolución adiabática con tiempo de ejecución T, considere:

${\displaystyle H(t)=(1-t/T)H_{B}+(t/T)H_{P}}$

y dejar${\displaystyle s=t/T}$Esto da como resultado:

${\displaystyle {\tilde {H}}(s)=(1-s)H_{B}+sH_{P}}$, que es el hamiltoniano de evolución adiabática del algoritmo.

De acuerdo con el teorema adiabático, partimos del estado fundamental del hamiltoniano.${\displaystyle H_{B}}$Al principio, se procede a través de un proceso adiabático y se termina en el estado fundamental del hamiltoniano del problema.${\displaystyle H_{P}}$.

Luego, mide la componente z de cada uno de los n espines en el estado final. Esto producirá una cadena.${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots,z_{n}}$lo cual es muy probable que sea el resultado del problema de satisfacibilidad. El tiempo de ejecución T debe ser suficientemente largo para asegurar la corrección del resultado. Según el teorema adiabático, T es aproximadamente${\displaystyle \varepsilon /g_{\mathrm {min} }^{2}}$, dónde ${\displaystyle g_{\mathrm {min} }=\min _{0\leq s\leq 1}(E_{1}(s)-E_{0}(s))}$es la brecha de energía mínima entre el estado fundamental y el primer estado excitado. ^{[ 12 ]}

La computación cuántica adiabática es equivalente en potencia a la computación cuántica estándar basada en compuertas que implementa operaciones unitarias arbitrarias. Sin embargo, el desafío de mapeo en dispositivos cuánticos basados ​​en compuertas difiere sustancialmente del de los recocedores cuánticos , ya que las variables lógicas se mapean solo a cúbits individuales y no a cadenas. ^{[ 13 ]}

El D-Wave One es un dispositivo fabricado por la empresa canadiense D-Wave Systems , que afirma que utiliza recocido cuántico para resolver problemas de optimización. ^{[ 14 ] [ 15 ]} El 25 de mayo de 2011, Lockheed-Martin compró un D-Wave One por aproximadamente 10 millones de dólares estadounidenses. ^{[ 15 ]} En mayo de 2013, Google compró un D-Wave Two de 512 cúbits . ^{[ 16 ]}

La cuestión de si los procesadores D-Wave ofrecen una mayor velocidad que un procesador clásico sigue sin respuesta. Las pruebas realizadas por investigadores del Laboratorio de Inteligencia Artificial Cuántica ( NASA ), la USC , la ETH Zúrich y Google muestran que, a fecha de 2015, no existe evidencia de una ventaja cuántica. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}