Disipación cuántica

En 1981, Amir Caldeira y Anthony J. Leggett propusieron un modelo simple para estudiar en detalle cómo surge la disipación desde un punto de vista cuántico. ^{[ 2 ]} Describe una partícula cuántica en una dimensión acoplada a un baño. El hamiltoniano es el siguiente:

${\displaystyle H={\frac {P^{2}}{2M}}+V(X)+\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}m_{i}\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)-X\sum _{i}{C_{i}q_{i}}+X^{2}\sum _{i}{\frac {C_{i}^{2}}{2m_{i}\omega _{i}^{2}}}}$,

Los dos primeros términos corresponden al hamiltoniano de una partícula cuántica de masa${\displaystyle M}$y el impulso${\displaystyle P}$, en un potencial${\displaystyle V}$en posición${\displaystyle X}$. El tercer término describe el baño como una suma infinita de osciladores armónicos con masas${\displaystyle m_{i}}$y el impulso${\displaystyle p_{i}}$, en posiciones${\displaystyle q_{i}}$.${\displaystyle \omega _{i}}$son las frecuencias de los osciladores armónicos. El siguiente término describe la forma en que el sistema y el baño están acoplados. En el modelo de Caldeira-Leggett, el baño está acoplado a la posición de la partícula.${\displaystyle C_{i}}$son coeficientes que dependen de los detalles del acoplamiento. El último término es un término de contra-reacción que debe incluirse para asegurar que la disipación sea homogénea en todo el espacio. Dado que el baño se acopla a la posición, si no se incluye este término, el modelo no es invariante traslacionalmente , en el sentido de que el acoplamiento es diferente dondequiera que se encuentre la partícula cuántica. Esto da lugar a una renormalización no física del potencial, que puede demostrarse que se suprime empleando potenciales reales. ^{[ 3 ]}

Para proporcionar una buena descripción del mecanismo de disipación, una magnitud relevante es la función espectral del baño, definida de la siguiente manera:

${\displaystyle J(\omega )={\frac {\pi }{2}}\sum _{i}{\frac {C_{i}^{2}}{m_{i}\omega _{i}}}\delta (\omega -\omega _{i})}$

La función espectral del baño proporciona una restricción en la elección de los coeficientes.${\displaystyle C_{i}}$Cuando esta función tiene la forma${\displaystyle J(\omega )=\eta \omega }$, se puede demostrar que el tipo clásico de disipación correspondiente es óhmico . Una forma más genérica es ${\displaystyle J(\omega )\propto \omega ^{s}}$. En este caso, si${\displaystyle s>1}$La disipación se denomina "superóhmica", mientras que si${\displaystyle s<1}$es subóhmico. Un ejemplo de un baño superóhmico es el campo electromagnético bajo ciertas circunstancias.

Como se mencionó, la idea principal en el campo de la disipación cuántica es explicar cómo se puede describir la disipación clásica desde un punto de vista de la mecánica cuántica. Para obtener el límite clásico del modelo de Caldeira-Leggett, el baño debe integrarse (o trazarse ), lo que puede entenderse como tomar el promedio sobre todas las posibles realizaciones del baño y estudiar la dinámica efectiva del sistema cuántico. Como segundo paso, el límite${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$Se deben tomar ciertos pasos para recuperar la mecánica clásica . Para proceder matemáticamente con esos pasos técnicos, se suele emplear la descripción de la integral de trayectoria de la mecánica cuántica . Las ecuaciones de movimiento clásicas resultantes son:

${\displaystyle M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X(t)=-{\frac {\partial V(X)}{\partial X}}-\int _{0}^{T}dt'\alpha (t-t')(X(t)-X(t'))}$

dónde:

${\displaystyle \alpha (t-t')={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }J(\omega )e^{-\omega |t-t'|}d\omega }$

es un núcleo que caracteriza la fuerza efectiva que afecta el movimiento de la partícula en presencia de disipación. Para los llamados baños markovianos , que no conservan memoria de la interacción con el sistema, y ​​para la disipación óhmica , las ecuaciones de movimiento se simplifican a las ecuaciones clásicas de movimiento de una partícula con fricción:

${\displaystyle M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X(t)=-{\frac {\partial V(X)}{\partial X}}-\eta {\frac {dX(t)}{dt}}}$

Por lo tanto, se puede observar cómo el modelo de Caldeira-Leggett cumple el objetivo de obtener la disipación clásica a partir del marco de la mecánica cuántica. El modelo de Caldeira-Leggett se ha utilizado para estudiar problemas de disipación cuántica desde su introducción en 1981, y también se ha utilizado ampliamente en el campo de la decoherencia cuántica .

El modelo de Caldeira-Leggett también se ha extendido para incluir campos externos dependientes del tiempo, como en el caso de sistemas impulsados. En presencia de campos externos dependientes del tiempo, si estos actúan solo sobre el sistema, pero no sobre el baño térmico, solo se ve afectada la dinámica proyectada del sistema, la cual contiene un término de fuerza externa adicional. Por lo tanto, el hamiltoniano total del sistema viene dado por:

${\displaystyle H_{T}=H_{\rm {S}}+H_{\rm {B}}+H_{\rm {SB}}+H_{ext,{\rm {S}}}}$

dónde${\displaystyle H_{\rm {S}}}$,${\displaystyle H_{\rm {B}}}$y${\displaystyle H_{\rm {SB}}}$son los hamiltonianos del sistema, del baño y de su acoplamiento mutuo, respectivamente, mientras que ${\displaystyle H_{ext,S}}$denota la contribución del campo externo que actúa solo sobre el sistema, pero no sobre el baño térmico. Si, en cambio, el campo externo dependiente del tiempo actúa tanto sobre el sistema como sobre el baño térmico (entorno), el hamiltoniano total es:

${\displaystyle H_{T}=H_{\rm {S}}+H_{\rm {B}}+H_{\rm {SB}}+H_{ext,{\rm {SB}}}}$

dónde${\displaystyle H_{ext,SB}}$denota la contribución del campo externo que actúa tanto sobre el sistema como sobre el baño. Esta situación también ha sido analizada. ^{[ 4 ]} Se demostró que, en esta situación, la forma del teorema de fluctuación-disipación se modifica con respecto al caso en que el baño no está impulsado. En particular, la relación de fluctuación-disipación tiene un término adicional, que depende de la correlación temporal del campo externo. Como resultado, la dinámica es intrínsecamente no markoviana incluso si el sistema y el baño son completamente markovianos cuando el campo externo está desactivado. ^{[ 4 ]}

El sistema disipativo de dos niveles es una realización particular del modelo de Caldeira-Leggett que merece especial atención debido a su interés en el campo de la computación cuántica . El objetivo del modelo es estudiar los efectos de la disipación en la dinámica de una partícula que puede saltar entre dos posiciones diferentes en lugar de un grado de libertad continuo. Este espacio de Hilbert reducido permite describir el problema en términos de operadores de espín 1/2 . Esto se conoce a veces en la literatura como el modelo espín - bosón, y está estrechamente relacionado con el modelo de Jaynes-Cummings .

El hamiltoniano para el sistema disipativo de dos niveles es el siguiente:

${\displaystyle H=\Delta {\frac {\sigma _{x}}{2}}+\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}m_{i}\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)+{\frac {\sigma _{z}}{2}}\sum _{i}{C_{i}q_{i}}}$,

dónde${\displaystyle \sigma _{x}}$y${\displaystyle \sigma _{z}}$son las matrices de Pauli y${\displaystyle \Delta }$es la amplitud de salto entre las dos posiciones posibles. Nótese que en este modelo el término de contra-salto ya no es necesario, ya que el acoplamiento a${\displaystyle S_{z}}$proporciona una disipación ya homogénea.

Este modelo tiene numerosas aplicaciones. En disipación cuántica, se utiliza como un modelo sencillo para estudiar la dinámica de una partícula disipativa confinada en un potencial de doble pozo . En el contexto de la computación cuántica, representa un cúbit acoplado a un entorno, lo que puede producir decoherencia . En el estudio de sólidos amorfos , constituye la base de la teoría estándar para describir sus propiedades termodinámicas.

El sistema disipativo de dos niveles representa también un paradigma en el estudio de las transiciones de fase cuánticas . Para un valor crítico del acoplamiento al baño, muestra una transición de fase desde un régimen en el que la partícula está deslocalizada entre las dos posiciones a otro en el que está localizada en una sola de ellas. La transición es del tipo Kosterlitz-Thouless , como se puede observar al derivar las ecuaciones de flujo del grupo de renormalización para el término de salto.

Un enfoque diferente para describir la disipación de energía es considerar hamiltonianos dependientes del tiempo. Contrariamente a un malentendido común, la dinámica unitaria resultante puede describir la disipación de energía, ya que ciertos grados de libertad pierden energía y otros la ganan. ^{[ 5 ]} Sin embargo, el estado mecánico cuántico del sistema permanece puro , por lo que dicho enfoque no puede describir la desfasación a menos que se elija un subsistema y se analice la matriz de densidad reducida de este sistema cuántico abierto. ^{[ 6 ]} La desfasación conduce a la decoherencia cuántica o disipación de información y suele ser importante al describir sistemas cuánticos abiertos . Sin embargo, este enfoque se utiliza típicamente, por ejemplo, en la descripción de experimentos ópticos. Allí, un pulso de luz (descrito por un hamiltoniano semiclasico dependiente del tiempo) puede cambiar la energía en el sistema por absorción o emisión estimulada.