Valor absoluto

Para cualquier número real${\displaystyle x}$, el valor absoluto o módulo de${\displaystyle x}$se denota por${\displaystyle |x|}$, con una barra vertical a cada lado de la cantidad, y se define como ^{[ 12 ]}$${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\text{si }}x\geq 0\\-x,&{\text{si }}x<0.\end{cases}}}$$

El valor absoluto de${\displaystyle x}$es, por lo tanto, siempre un número positivo o cero , pero nunca negativo . Cuando${\displaystyle x}$en sí mismo es negativo (${\displaystyle x<0}$), entonces su valor absoluto es necesariamente positivo (${\displaystyle |x|=-x>0}$). ^{[ 13 ]}

Desde el punto de vista de la geometría analítica , el valor absoluto de un número real es la distancia de ese número al cero a lo largo de la recta numérica real y, de forma más general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales (su diferencia absoluta ) es la distancia entre ellos. ^{[ 13 ]} La noción de función de distancia abstracta en matemáticas puede considerarse una generalización del valor absoluto de la diferencia. ^{[ 14 ]} Véase §  Distancia más adelante.

Dado que el símbolo de raíz cuadrada representa la única raíz cuadrada positiva , cuando se aplica a un número positivo, se deduce que ^{[ 15 ]}$${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}.}$$ Esto es equivalente a la definición anterior y puede utilizarse como una definición alternativa del valor absoluto de los números reales. ^{[ 16 ]}

El valor absoluto tiene las siguientes cuatro propiedades fundamentales (${\textstyle a}$,${\textstyle b}$son números reales), que se utilizan para generalizar esta noción a otros dominios: ^{[ 17 ]}

La no negatividad, la positividad definida y la multiplicatividad son fácilmente evidentes a partir de la definición. Para ver que la subaditividad se cumple, primero observe que${\displaystyle |a+b|=s(a+b)}$dónde${\displaystyle s=\pm 1}$, con su signo elegido para hacer el resultado positivo. Ahora, desde${\displaystyle -1\cdot x\leq |x|}$y${\displaystyle +1\cdot x\leq |x|}$, se deduce que, cualquiera de${\displaystyle \pm 1}$es el valor de${\displaystyle s}$, uno tiene${\displaystyle s\cdot x\leq |x|}$para todos los reales${\displaystyle x}$. Como consecuencia,${\displaystyle |a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|}$, según se desee.

A continuación se detallan algunas propiedades útiles adicionales. Estas son consecuencias directas de la definición o se deducen de las cuatro propiedades fundamentales mencionadas anteriormente.

Otras dos propiedades útiles relativas a las desigualdades son: ^{[ 19 ]}

Estas relaciones pueden utilizarse para resolver desigualdades que involucran valores absolutos. Por ejemplo:

El valor absoluto, como "distancia desde cero", se utiliza para definir la diferencia absoluta entre números reales arbitrarios, la métrica estándar para los números reales.

Dado que los números complejos no están ordenados , la definición dada al principio para el valor absoluto real no se puede aplicar directamente a los números complejos. Sin embargo, la interpretación geométrica del valor absoluto de un número real como su distancia a 0 se puede generalizar. El valor absoluto de un número complejo se define por la distancia euclidiana de su punto correspondiente en el plano complejo al origen . Esto se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras : para cualquier número complejo $${\displaystyle z=x+iy,}$$ dónde${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son números reales, el valor absoluto o módulo de${\displaystyle z}$se denota${\displaystyle |z|}$y se define por ^{[ 20 ]}$${\displaystyle |z|={\sqrt {\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$$ la adición pitagórica de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$, dónde${\displaystyle \operatorname {Re} (z)=x}$y${\displaystyle \operatorname {Estoy} (z)=y}$denotan las partes real e imaginaria de${\displaystyle z}$, respectivamente. Cuando la parte imaginaria${\displaystyle y}$es cero, esto coincide con la definición del valor absoluto del número real.${\displaystyle x}$. ^{[ 20 ]}

Cuando un número complejo${\displaystyle z}$se expresa en su forma polar como${\displaystyle z=re^{i\theta},}$su valor absoluto es${\displaystyle |z|=r.}$

Dado que el producto de cualquier número complejo${\displaystyle z}$y su conjugado complejo${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$, con el mismo valor absoluto, es siempre el número real no negativo.${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)}$, el valor absoluto de un número complejo${\displaystyle z}$es la raíz cuadrada de ${\displaystyle z\cdot {\overline {z}},}$que por lo tanto se denomina el cuadrado absoluto o módulo al cuadrado de${\displaystyle z}$: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.}$$ Esto generaliza la definición alternativa para los números reales:${\textstyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}}$.

El valor absoluto complejo comparte las cuatro propiedades fundamentales dadas anteriormente para el valor absoluto real. La identidad${\displaystyle |z|^{n}=|z^{n}|}$es un caso especial de multiplicatividad que a menudo resulta útil por sí mismo. ^{[ 20 ]}

La función de valor absoluto de un número real devuelve su valor independientemente de su signo, mientras que la función de signo (o signum) devuelve el signo de un número independientemente de su valor. Las siguientes ecuaciones muestran la relación entre estas dos funciones:

${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn}(x),}$

o

${\displaystyle |x|\operatorname {sgn}(x)=x,}$

y para x ≠ 0 ,

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.}$

Dejar${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$Entonces, se cumple la siguiente relación con las funciones mínimo y máximo :

${\displaystyle |ts|=-2\min(s,t)+s+t}$

y

${\displaystyle |ts|=2\max(s,t)-st.}$

Las fórmulas se pueden derivar considerando cada caso.${\displaystyle s>t}$y${\displaystyle t>s}$por separado.

De la última fórmula se puede derivar también${\displaystyle |t|=\max(t,-t)}$.

La función de valor absoluto real tiene una derivada para cada x ≠ 0 , dada por una función escalón igual a la función signo excepto en x = 0 donde la función de valor absoluto no es diferenciable : ^{[ 23 ] [ 24 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\left|x\right|}{dx}}&={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0\end{cases}}\\[7mu]&=\operatorname {sgn} x\quad {\text{para }}x\neq 0.\end{aligned}}}$$

La función de valor absoluto real es un ejemplo de una función continua que alcanza un mínimo global donde no existe la derivada.

El subgradiente de | x | en x = 0 es el intervalo [ −1, 1 ] . ^{[ 25 ]}   

La función de valor absoluto complejo es continua en todas partes, pero no es diferenciable en ningún punto porque viola las ecuaciones de Cauchy-Riemann . ^{[ 23 ]}

La segunda derivada de | x | con respecto a x es cero en todas partes excepto en cero, donde no existe. Como función generalizada , la segunda derivada puede tomarse como dos veces la función delta de Dirac .  

La antiderivada ( integral indefinida ) de la función de valor absoluto real es

${\displaystyle \int \left|x\right|dx={\frac {x\left|x\right|}{2}}+C,}$

donde C es una constante de integración arbitraria . Esto no es una antiderivada compleja porque las antiderivadas complejas solo pueden existir para funciones diferenciables complejas ( holomorfas ), lo cual no es el caso de la función de valor absoluto complejo.

Las siguientes tres fórmulas son casos especiales de la regla de la cadena :

${\displaystyle {{\text{d}}^{n} \over {\text{d}}x^{n}}f(|x|)=(\operatorname {sgn} x)^{n}f^{(n)}(|x|)\quad {\text{for }}x\neq 0\,,}$

si el valor absoluto está dentro de una función, y

${\displaystyle {{\text{d}}^{n} \over {\text{d}}x^{n}}|f(x)|=\operatorname {sgn}(f(x))f^{(n)}(x)\quad {\text{for }}f(x)\neq 0\,,}$

Si otra función está dentro del valor absoluto. Combinando ambas, el resultado es:

${\displaystyle {{\text{d}}^{n} \over {\text{d}}x^{n}}|f(|x|)|=(\operatorname {sgn} x)^{n}\operatorname {sgn}(f(|x|))f^{(n)}(|x|)\quad {\text{for }}x\neq 0,f(|x|)\neq 0\,.}$

A partir de estas fórmulas y utilizando la integración por partes , también se pueden obtener antiderivadas:

${\displaystyle \int {f(|x|){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(x)F(|x|)\quad {\text{for }}x\neq 0\,,}$

${\displaystyle \int {|f(x)|{\text{d}}x}=\int {{|f(x)| \over f(x)}f(x){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(f(x))F(x)\quad {\text{for }}f(x)\neq 0\,,}$

${\displaystyle \int {|f(|x|)|{\text{d}}x}=\int {{|f(|x|)| \over f(|x|)}f(|x|){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(x)\operatorname {sgn}(f(|x|))F(|x|)\quad {\text{for }}x\neq 0,f(|x|)\neq 0\,,}$

suponiendo que la derivada de la función signo es 0.

Utilizando las reglas de cadena y producto , la regla de potencia para expresiones del tipo${\displaystyle x^{n}|x|^{m}}$se puede escribir como:

${\displaystyle {{\text{d}} \over {\text{d}}x}x^{n}|x|^{m}=(n+m)x^{n-1}|x|^{m}\,.}$

Esto es cierto incluso para${\displaystyle n=0}$:

${\displaystyle {{\text{d}} \over {\text{d}}x}|x|^{m}=mx^{-1}|x|^{m}\,.}$

La definición de valor absoluto dada anteriormente para los números reales puede extenderse a cualquier anillo ordenado . Es decir, si a es un elemento de un anillo ordenado R , entonces el valor absoluto de a , denotado por | a | , se define como:    $${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.}$$ donde − a es el inverso aditivo de a , 0 es la identidad aditiva , y < y ≥ tienen el significado habitual con respecto al orden en el anillo. ^{[ 26 ]} 

Las cuatro propiedades fundamentales del valor absoluto para los números reales pueden utilizarse para generalizar la noción de valor absoluto a un campo arbitrario, como sigue.

Una función de valor real v en un cuerpo F se denomina valor absoluto (también módulo , magnitud , valor o valuación ) ^{[ 27 ] [ c ]} si satisface los siguientes cuatro axiomas:  

Donde 0 denota la identidad aditiva de F. De la positividad definida y la multiplicatividad se deduce que v ( 1 ) = 1 , donde 1 denota la identidad multiplicativa de F . Los valores absolutos reales y complejos definidos anteriormente son ejemplos de valores absolutos para un cuerpo arbitrario.  

Si v es un valor absoluto en F , entonces la función d en F × F , definida por d ( a , b ) = v ( a − b ) , es una métrica y las siguientes son equivalentes:  

• d satisface la desigualdad ultramétrica${\displaystyle d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))}$para todo x , y , z en F. 
• ${\textstyle \left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}}$está acotado en R.​ 
• ${\displaystyle v\left({\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} \right)\leq 1\ }$por cada${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.
• ${\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\ }$a pesar de${\displaystyle a\in F}$.
• ${\displaystyle v(a+b)\leq \max\{v(a),v(b)\}\ }$a pesar de${\displaystyle a,b\in F}$.

Se dice que un valor absoluto que satisface cualquiera (y por lo tanto todas) de las condiciones anteriores no es arquimediano ; de lo contrario, se dice que es arquimediano . ^{[ 28 ]}

Nuevamente, las propiedades fundamentales del valor absoluto para los números reales pueden utilizarse, con una ligera modificación, para generalizar la noción a un espacio vectorial arbitrario.

Una función de valor real en un espacio vectorial V sobre un cuerpo F , representada como ‖ · ‖ , se llama valor absoluto , pero más comúnmente norma , si satisface los siguientes axiomas:    

Para todo a en F , y v , u en V ,   

La norma de un vector también se denomina longitud o magnitud .

En el caso del espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, la función definida por

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

es una norma llamada norma euclidiana. Cuando los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$se consideran como el espacio vectorial unidimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$, el valor absoluto es una norma , y ​​es la p -norma (ver espacio L ^p ) para cualquier p . De hecho, el valor absoluto es la "única" norma en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$, en el sentido de que, para cada norma ‖ · ‖   en${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$, ‖ x ‖ = ‖ 1 ‖ ⋅ | x | .

El valor absoluto complejo es un caso especial de la norma en un espacio con producto interno , que es idéntico a la norma euclidiana cuando el plano complejo se identifica con el plano euclidiano. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Cada álgebra de composición A tiene una involución x → x * llamada su conjugación . El producto en A de un elemento x y su conjugado x * se escribe N ( x ) = xx * y se llama norma de x .

Las cifras reales${\displaystyle \mathbb {R} }$números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$y cuaterniones${\displaystyle \mathbb {H} }$Todas son álgebras de composición con normas dadas por formas cuadráticas definidas . El valor absoluto en estas álgebras de división viene dado por la raíz cuadrada de la norma del álgebra de composición.

En general, la norma de un álgebra de composición puede ser una forma cuadrática que no es definida y tiene vectores nulos . Sin embargo, como en el caso de las álgebras de división, cuando un elemento x tiene una norma distinta de cero, entonces x tiene un inverso multiplicativo dado por x */ N ( x ).