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Antiderivada (análisis complejo)

En análisis complejo , una rama de las matemáticas , la antiderivada , o primitiva , de una función g con valores complejos es una función cuya derivada compleja es g . Más prec...

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En análisis complejo , una rama de las matemáticas , la antiderivada , o primitiva , de una función g con valores complejos es una función cuya derivada compleja es g . Más precisamente, dado un conjunto abiertoU{\displaystyle U}en el plano complejo y una funcióngramo:U→do,{\displaystyle g:U\to \mathbb {C} ,}el antiderivado degramo{\displaystyle g}es una funciónF:U→do{\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }que satisfacedFdz=gramo{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} z}}=g}.

Como tal, este concepto es la versión de variable compleja de la antiderivada de una función de valor real .

Unicidad

La derivada de una función constante es la función cero. Por lo tanto, cualquier función constante es una antiderivada de la función cero. SiU{\displaystyle U}es un conjunto conexo , entonces las funciones constantes son las únicas antiderivadas de la función cero. De lo contrario, una función es una antiderivada de la función cero si y solo si es constante en cada componente conexa deU{\displaystyle U}(esas constantes no tienen por qué ser iguales).

Esta observación implica que si una funcióngramo:U→do{\displaystyle g:U\to \mathbb {C} }tiene una antiderivada, entonces esa antiderivada es única salvo la adición de una función que es constante en cada componente conexa deU{\displaystyle U}.

Existencia

Según la fórmula integral de Cauchy , que muestra que una función diferenciable es de hecho infinitamente diferenciable, una funciónF{\displaystyle f}debe ser diferenciable si tiene una antiderivadaF{\displaystyle F}, porque siF′=F{\displaystyle F'=f}entoncesF{\displaystyle F}es diferenciable y por lo tantoF″=F′{\displaystyle F''=f'}existe.

Se puede caracterizar la existencia de antiderivadas mediante integrales de trayectoria en el plano complejo, de forma muy similar al caso de las funciones de una variable real. Quizás no sea sorprendente que g tenga una antiderivada f si y solo si, para cada trayectoria γ de a a b , la integral de trayectoria

∫γgramo(ζ)dζ=F(b)−F(a).{\displaystyle \int _{\gamma }g(\zeta )\,\mathrm {d} \zeta =f(b)-f(a).}

De forma equivalente,

∮γgramo(ζ)dζ=0,{\displaystyle \oint _{\gamma }g(\zeta )\,{\rm {\mathrm {d} \zeta =0,}}}

para cualquier camino cerrado γ.

Sin embargo, a pesar de esta similitud formal, poseer una antiderivada compleja es una condición mucho más restrictiva que su contraparte real. Si bien es posible que una función real discontinua tenga una antiderivada, las antiderivadas pueden no existir incluso para funciones holomorfas de una variable compleja. Por ejemplo, consideremos la función recíproca, g ( z ) = 1/ z que es holomorfa en el plano perforado C \{0}. Un cálculo directo muestra que la integral de g a lo largo de cualquier círculo que encierre el origen es distinta de cero. Por lo tanto, g no cumple la condición citada anteriormente. Esto es similar a la existencia de funciones potenciales para campos vectoriales conservativos , en el sentido de que el teorema de Green solo puede garantizar la independencia de la trayectoria cuando la función en cuestión está definida en una región simplemente conexa , como en el caso del teorema integral de Cauchy .

De hecho, la holomorfía se caracteriza por tener una antiderivada localmente ; es decir, g es holomorfa si para cada z en su dominio, existe un entorno U de z tal que g tiene una antiderivada en U. Además, la holomorfía es una condición necesaria para que una función tenga una antiderivada, ya que la derivada de cualquier función holomorfa es holomorfa.

Varias versiones del teorema integral de Cauchy , un resultado fundamental de la teoría de funciones de Cauchy, que hace un uso intensivo de integrales de trayectoria, dan condiciones suficientes bajo las cuales, para una g holomorfa ,

∮γgramo(ζ)dζ{\displaystyle \oint _ {\gamma }g(\zeta )\,\mathrm {\mathrm {d} } \zeta }

desaparece para cualquier camino cerrado γ (que puede ser, por ejemplo, que el dominio de g sea simplemente conexo o estrella-convexo).

Necesidad

Primero demostramos que si f es una antiderivada de g en U , entonces g tiene la propiedad de integral de trayectoria dada anteriormente. Dada cualquier trayectoria C 1 por partes γ : [ a , b ] → U , se puede expresar la integral de trayectoria de g sobre γ como 

∫γgramo(z)dz=∫abgramo(γ(t))γ′(t)dt=∫abF′(γ(t))γ′(t)dt.{\displaystyle \int _{\gamma }g(z)\,\mathrm {d} z=\int _{a}^{b}g(\gamma (t))\gamma '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}f'(\gamma (t))\gamma '(t)\,\mathrm {d} t.}

Por la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo se tiene entonces

∫γgramo(z)dz=∫abddtF(γ(t))dt=F(γ(b))−F(γ(a)).{\displaystyle \int _{\gamma }g(z)\,\mathrm {d} z=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f\left(\gamma (t)\right)\,\mathrm {d} t=f\left(\gamma (b)\right)-f\left(\gamma (a)\right).}

Por lo tanto, la integral de g sobre γ no depende de la trayectoria real γ, sino solo de sus puntos extremos, que es lo que queríamos demostrar.

Suficiencia

A continuación, demostraremos que si g es holomorfa y la integral de g sobre cualquier trayectoria depende únicamente de los extremos, entonces g tiene una antiderivada. Lo haremos hallando explícitamente una antiderivada.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el dominio U de g es conexo, ya que de lo contrario se puede demostrar la existencia de una antiderivada en cada componente conexa. Con esta suposición, fijemos un punto z 0 en U y para cualquier z en U definamos la función

F(z)=∫γgramo(ζ)dζ{\displaystyle f(z)=\int _{\gamma }\!g(\zeta )\,\mathrm {d} \zeta }

donde γ es cualquier camino que une z₀ con z₀ . Dicho camino existe ya que se supone que U es un conjunto abierto y conexo. La función f está bien definida porque la integral depende únicamente de los extremos de γ.

Que esta f es una antiderivada de g se puede argumentar de la misma manera que en el caso real. Tenemos, para un z dado en U , que debe existir un disco centrado en z y contenido completamente dentro de U. Entonces, para cada w distinto de z dentro de este disco

|F(w)−F(z)w−z−gramo(z)|=|∫zwgramo(ζ)dζw−z−∫zwgramo(z)dζw−z|≤∫zw|gramo(ζ)−gramo(z)||w−z|dζ≤sorberζ∈[w,z]|gramo(ζ)−gramo(z)|,{\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {f(w)-f(z)}{wz}}-g(z)\right|&=\left|\int _{z}^{w}{\frac {g(\zeta )\,\mathrm {d} \zeta }{wz}}-\int _{z}^{w}{\frac {g(z)\,\mathrm {d} \zeta }{wz}}\right|\\&\leq \int _{z}^{w}{\frac {|g(\zeta )-g(z)|}{|wz|}}\,\mathrm {d} \zeta \\&\leq \sup _{\zeta \in [w,z]}|g(\zeta )-g(z)|,\end{aligned}}}

donde [ z , w ] denota el segmento de línea entre z y w . Por continuidad de g , la expresión final tiende a cero cuando w se acerca a z . En otras palabras, f′ = g .

Referencias

  • Ian Stewart, David O. Tall (10 de marzo de 1983). Análisis complejo . Cambridge University Press. ISBN 0-521-28763-4.
  • Alan D Solomon (1 de enero de 1994). Los fundamentos de las variables complejas I. Research & Education Assoc. ISBN 0-87891-661-X.