8-simplex

En geometría , un 8- símplex es un politopo regular de 8 lados autodual . Tiene 9 vértices , 36 aristas , 84 caras triangulares , 126 celdas tetraédricas , 126 4-caras de 5-celdas , 84 5-símplex de 5-caras, 36 6-símplex de 6-caras y 9 7-símplex de 7-caras. Su ángulo diedro es cos ⁻¹ (1/8), o aproximadamente 82,82°.

También se le puede llamar enneazetton o ennea-8-topo , ya que es un politopo de nueve facetas en ocho dimensiones. El nombre enneazetton deriva de ennea, que significa nueve facetas en griego , y -zetta, que significa tener facetas de siete dimensiones, con el sufijo -on . Jonathan Bowers le da el acrónimo ene . ^{[ 1 ]}

Esta matriz de configuración representa el 8-símplex. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas, 4-caras, 5-caras, 6-caras y 7-caras. Los números de la diagonal indican cuántos elementos de cada tipo aparecen en todo el 8-símplex. Los números de la diagonal indican cuántos elementos de la columna aparecen en o en el elemento de la fila. La matriz de este símplex autodual es idéntica a su rotación de 180 grados. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}9&8&28&56&70&56&28&8\\2&36&7&21&35&35&21&7\\3&3&84&6&15&20&15&6\\4&6&4&126&5&10&10&5\\5&10&10&5&126&4&6&4\\6&15&20&15&6&84&3&3\\7&21&35&35&21&7&36&2\\8&28&56&70&56&28&8&9\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un eneazetton regular centrado en el origen con longitud de arista  2 son:

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ -{\sqrt {7/4}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(-4/3,\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

De forma más sencilla, los vértices del 8-símplex se pueden posicionar en el espacio 9 como permutaciones de (0,0,0,0,0,0,0,0,1). Esta construcción se basa en facetas del 9-ortoplex .

Otra construcción centrada en el origen utiliza (1,1,1,1,1,1,1,1)/3 y permutaciones de (1,1,1,1,1,1,1,-11)/12 para una longitud de arista de √2.

Este politopo es una faceta en las teselaciones uniformes: 2 ₅₁ y 5 ₂₁ con sus respectivos diagramas de Coxeter-Dynkin :

,

Este politopo es uno de los 135 politopos uniformes de 8 miembros con simetría A _{8 .}

• Coxeter, HSM :
  • — (1973). «Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n dimensiones ( n ≥ 5)». Politopos regulares (3.ª  ed.). Dover. págs. 294–295 . ISBN  0-486-61480-8.
  • Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C.; Weiss, Asia Ivić, eds. (1995). Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter . Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Artículo 22) — (1940). "Polítopos regulares y semi-regulares I" . Math. Zeit . 46 : 380–407 . doi : 10.1007/BF01181449 . S2CID 186237114 . 
    • (Artículo 23) — (1985). "Polítopos regulares y semi-regulares II" . Math. Zeit . 188 (4): 559– 591. doi : 10.1007/BF01161657 . S2CID 120429557 . 
    • (Artículo 24) — (1988). "Polítopos regulares y semi-regulares III" . Math. Zeit . 200 : 3–45 . doi : 10.1007/BF01161745 . S2CID 186237142 . 
• Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). "26. Hemicubos: 1 _n1 ". Las simetrías de las cosas . pág.  409. ISBN 978-1-56881-220-5.
• Johnson, Norman (1991). "Polítopos uniformes" (Manuscrito). Norman Johnson (matemático).
  • Johnson, NW (1966). La teoría de los politopos uniformes y los panales (tesis doctoral). Universidad de Toronto. OCLC 258527038 . 
• Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 8D (polyzetta) con acrónimos" .(x3o3o3o3o3o3o3o – ene)

• Glosario de hiperespacio , George Olshevsky.
• Politopos de diversas dimensiones
• Glosario multidimensional