Integral de Riemann-Stieltjes

En matemáticas , la integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la integral de Riemann , nombrada en honor a Bernhard Riemann y Thomas Joannes Stieltjes . La definición de esta integral fue publicada por primera vez en 1894 por Stieltjes. ^{[ 1 ]} Sirve como un precursor instructivo y útil de la integral de Lebesgue , y una herramienta invaluable para unificar formas equivalentes de teoremas estadísticos que se aplican a la probabilidad discreta y continua.

La integral de Riemann-Stieltjes de una función de valor real${\displaystyle f}$de una variable real en el intervalo${\displaystyle [a,b]}$con respecto a otra función real a real${\displaystyle g}$se denota por

${\displaystyle \int _{x=a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x).}$

Su definición utiliza una secuencia de particiones.${\displaystyle P}$del intervalo${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}.}$

La integral, entonces, se define como el límite, cuando la malla (la longitud del subintervalo más largo) de las particiones se aproxima${\displaystyle 0}$, de la suma aproximada

${\displaystyle S(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}f(c_{i})\left[g(x_{i})-g(x_{i-1})\right]}$

dónde${\displaystyle c_{i}}$está en el${\displaystyle i}$-ésimo subintervalo${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$Las dos funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$se denominan respectivamente integrando e integrador . Típicamente${\displaystyle g}$Se considera monótona (o al menos de variación acotada ) y semicontinua por la derecha (aunque esto último es esencialmente una convención). Específicamente no requerimos${\displaystyle g}$ser continua, lo que permite integrales que tienen términos de masa puntual.

El "límite" se entiende aquí como un número A (el valor de la integral de Riemann-Stieltjes) tal que para cada ε  >  0, existe δ  >  0 tal que para cada partición P con malla( P )  < δ , y para cada elección de puntos c _i en [ x _{i −1} , x _i ],  

${\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\varepsilon .\,}$

La integral de Riemann-Stieltjes admite integración por partes en la forma

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} f(x)}$$

y la existencia de cualquiera de las integrales implica la existencia de la otra. ^{[ 2 ]}

Por otro lado, un resultado clásico ^{[ 3 ]} muestra que la integral está bien definida si f es α - Hölder continua y g es β - Hölder continua con α + β > 1  .

Si${\displaystyle f}$está delimitado por${\displaystyle [a,b]}$,${\displaystyle g}$diferenciable, monótonamente creciente y${\displaystyle g'}$Si es integrable de Riemann, entonces la integral de Riemann-Stieltjes está relacionada con la integral de Riemann mediante $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x}$$

Para una función escalón $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq s\\1&{\text{if }}x>s\\\end{cases}}}$$ dónde${\displaystyle a<s<b}$, si${\displaystyle f}$es continuo en${\displaystyle s}$, entonces $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=f(s)}$$

Si g es la función de distribución de probabilidad acumulada de una variable aleatoria X que tiene una función de densidad de probabilidad con respecto a la medida de Lebesgue , y f es cualquier función para la cual el valor esperado es${\displaystyle \operatorname {E} \left[\,\left|f(X)\right|\,\right]}$es finito, entonces la función de densidad de probabilidad de X es la derivada de g y tenemos

${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x.}$

Pero esta fórmula no funciona si X no tiene una función de densidad de probabilidad con respecto a la medida de Lebesgue. En particular, no funciona si la distribución de X es discreta (es decir, toda la probabilidad se explica por masas puntuales), e incluso si la función de distribución acumulativa g es continua, no funciona si g no es absolutamente continua (nuevamente, la función de Cantor puede servir como ejemplo de este fallo). Pero la identidad

${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} g(x)}$

se cumple si g es cualquier función de distribución de probabilidad acumulada en la recta real, sin importar cuán irregular sea su comportamiento. En particular, sin importar cuán irregular sea el comportamiento de la función de distribución acumulada g de una variable aleatoria X , si el momento E( X ⁿ ) existe, entonces es igual a

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} g(x).}$

La integral de Riemann-Stieltjes aparece en la formulación original del teorema de F. Riesz , que representa el espacio dual del espacio de Banach C [ a , b ] de funciones continuas en un intervalo [ a , b ] como integrales de Riemann-Stieltjes frente a funciones de variación acotada . Posteriormente, dicho teorema fue reformulado en términos de medidas.

La integral de Riemann-Stieltjes también aparece en la formulación del teorema espectral para operadores autoadjuntos (o, más generalmente, normales) (no compactos) en un espacio de Hilbert. En este teorema, la integral se considera con respecto a una familia espectral de proyecciones. ^{[ 4 ]}

El mejor teorema de existencia simple establece que si f es continua y g es de variación acotada en [ a , b ], entonces la integral existe. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} Debido a la fórmula de integración por partes, la integral también existe si la condición sobre f y g se invierte, es decir, si f es de variación acotada y g es continua.

Una función g es de variación acotada si y solo si es la diferencia entre dos funciones monótonas (acotadas). Si g no es de variación acotada, entonces habrá funciones continuas que no se pueden integrar con respecto a g . En general, la integral no está bien definida si f y g comparten algún punto de discontinuidad , pero también existen otros casos.

Un gráfico 3D, con x , f(x) y g(x) a lo largo de ejes ortogonales, conduce a una interpretación geométrica de la integral de Riemann-Stieltjes. ^{[ 8 ]}

Si el plano g(x)-x es horizontal y la dirección f(x) apunta hacia arriba, la superficie a considerar es como una valla curva. La valla sigue la curva descrita por g(x) , y su altura viene dada por f(x) . La valla es la sección de la hoja g(x) (es decir, la curva g(x) extendida a lo largo del eje f(x) ) que se encuentra entre el plano g(x)-x y la hoja f(x) . La integral de Riemann-Stieltjes es el área de la proyección de esta valla sobre el plano f(x)-g(x) , en efecto, su "sombra". La pendiente de g(x) pondera el área de la proyección. Los valores de x para los que g(x) tiene la pendiente más pronunciada, g'(x), corresponden a regiones de la valla con mayor proyección y, por lo tanto, tienen mayor peso en la integral.

Cuando g es una función escalón $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq s\\1&{\text{if }}x>s\\\end{cases}}}$$

La cerca tiene una "puerta" rectangular de ancho 1 y altura igual a f(s) . Por lo tanto, la puerta y su proyección tienen un área igual a f(s) , el valor de la integral de Riemann-Stieltjes.

Una generalización importante es la integral de Lebesgue-Stieltjes , que generaliza la integral de Riemann-Stieltjes de forma análoga a como la integral de Lebesgue generaliza la integral de Riemann. Si se permiten integrales de Riemann-Stieltjes impropias , entonces la integral de Lebesgue no es estrictamente más general que la integral de Riemann-Stieltjes.

La integral de Riemann-Stieltjes también se generaliza al caso en que el integrando ƒ o el integrador g toman valores en un espacio de Banach . Si g : [ a , b ] → X toma valores en el espacio de Banach X , entonces es natural suponer que es de variación fuertemente acotada , lo que significa que 

${\displaystyle \sup \sum _{i}{\|g(t_{i-1})-g(t_{i})\|}_{X}<\infty }$

el supremo siendo tomado sobre todas las particiones finitas

${\displaystyle a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{n}=b}$

del intervalo [ a , b ]. Esta generalización juega un papel en el estudio de semigrupos , a través de la transformada de Laplace-Stieltjes .

La integral de Itô extiende la integral de Riemann-Stietjes para abarcar integrandos e integradores que son procesos estocásticos en lugar de funciones simples; véase también cálculo estocástico .

• Bullock, Gregory L. (mayo de 1988). "Una interpretación geométrica de la integral de Riemann-Stieltjes". The American Mathematical Monthly . 95 (5). Mathematical Association of America: 448– 455. doi : 10.1080/00029890.1988.11972030 . JSTOR 2322483 . 
• Graves, Lawrence (1946). La teoría de las funciones de variables reales . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. McGraw-Hill.vía HathiTrust
• Hildebrandt, TH (1938). "Definiciones de integrales de Stieltjes del tipo Riemann". The American Mathematical Monthly . 45 (5): 265– 278. doi : 10.1080/00029890.1938.11990804 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2302540. MR 1524276 .   
• Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1974). Análisis funcional y semigrupos . Providence, RI: American Mathematical Society . MR 0423094 . 
• Johnsonbaugh, Richard F .; Pfaffenberger, William Elmer (2010). Fundamentos del análisis matemático . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47766-4.
• Kolmogorov, Andrey ; Fomin, Sergei V. (1975) [1970]. Introducción al análisis real . Traducido por Silverman, Richard A. (  Edición revisada en inglés). Dover Press. ISBN 0-486-61226-0.
• McShane, EJ (1952). "Ordenamientos parciales y límite de Moore-Smith" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 59 (1): 1– 11. doi : 10.2307/2307181 . JSTOR 2307181. Recuperado el 2 de noviembre de 2010 . 
• Pollard, Henry (1920). "La integral de Stieltjes y sus generalizaciones". The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 49 .
• Riesz, F.; Sz. Nagy, B. (1990). Análisis funcional . Dover Publications. ISBN 0-486-66289-6.
• Rudin, Walter (1964). Principios de análisis matemático (Segunda  edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill.
• Shilov, GE; Gurevich, BL (1978). Integral, medida y derivada: un enfoque unificado . Traducido por Silverman, Richard A. Dover Publications. Bibcode : 1966imdu.book.....S . ISBN 0-486-63519-8.
• Stieltjes, Thomas Jan (1894). "Continúa la investigación sobre las fracciones" . Ana. fac. Ciencia. Tolosa . VIII : 1– 122. SEÑOR 1344720 . 
• Stroock, Daniel W. (1998). Una introducción concisa a la teoría de la integración (3.ª  ed.). Birkhauser. ISBN 0-8176-4073-8.
• Young, LC (1936). "Una desigualdad del tipo Hölder, relacionada con la integración de Stieltjes" . Acta Mathematica . 67 (1): 251– 282. doi : 10.1007/bf02401743 .