Desigualdad de convolución de Young

En análisis real , el siguiente resultado se denomina desigualdad de convolución de Young: ^{[ 2 ]}

Suponer${\displaystyle f}$está en el espacio Lebesgue${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}$y${\displaystyle g}$está en${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} ^{d})}$y

$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$$

con${\displaystyle 1\leq p,q,r\leq \infty .}$Entonces

$${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$$

Aquí la estrella denota convolución ,${\displaystyle L^{p}}$es el espacio de Lebesgue y

$${\displaystyle \|f\|_{p}={\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|^{p}\,dx{\Bigr )}^{1/p}}$$

denota lo habitual${\displaystyle L^{p}}$norma.

De forma equivalente, si${\displaystyle p,q,r\geq 1}$y${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$entonces

$${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(xy)h(y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right|\leq \left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}}$$

La desigualdad de convolución de Young tiene una generalización natural en la que reemplazamos${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$por un${\displaystyle \sigma }$-grupo unimodular compacto${\displaystyle G.}$Si dejamos${\displaystyle \mu }$sea ​​una medida de Haar bi-invariante en${\displaystyle G}$y dejamos${\displaystyle f,g:G\to \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$sean funciones integrables, entonces definimos${\displaystyle f*g}$por

$${\displaystyle f*g(x)=\int _ {G}f(y)g(y^{-1}x)\,\mathrm {d} \mu (y).}$$

Entonces, en este caso, la desigualdad de Young establece que para${\displaystyle f\in L^{p}(G,\mu )}$y${\displaystyle g\in L^{q}(G,\mu )}$y${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$de tal manera que

$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$$

tenemos un límite

$${\displaystyle \lVert f*g\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}.}$$

De forma equivalente, si${\displaystyle p,q,r\geq 1}$y${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$entonces

$${\displaystyle \left|\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right|\leq \left(\int _{G}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{G}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{G}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}.}$$

Desde${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$es de hecho un grupo abeliano localmente compacto (y por lo tanto unimodular) con la medida de Lebesgue la medida de Haar deseada, esto es de hecho una generalización.

Esta generalización puede ser refinada.${\displaystyle G}$y${\displaystyle \mu }$ser como antes y asumir${\displaystyle 1<p,q,r<\infty }$satisfacer${\textstyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}+1.}$Entonces existe una constante${\displaystyle C}$de tal manera que para cualquier${\displaystyle f\in L^{p}(G,\mu )}$y cualquier función medible${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$que pertenece a los débiles${\displaystyle L^{q}}$espacio${\displaystyle L^{q,w}(G,\mu ),}$lo cual por definición significa que el siguiente supremo

$${\displaystyle \|g\|_{q,w}^{q}~:=~\sup _{t>0}\,t^{q}\mu (|g|>t)}$$

es finito, tenemos${\displaystyle f*g\in L^{r}(G,\mu )}$y ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle \|f*g\|_{r}~\leq ~C\,\|f\|_{p}\,\|g\|_{q,w}.}$$

La desigualdad de Young tiene una demostración elemental con la constante no óptima 1. ^{[ 4 ]}

Suponemos que las funciones${\displaystyle f,g,h:G\to \mathbb {R} }$son no negativos e integrables, donde${\displaystyle G}$es un${\displaystyle \sigma }$-grupo unimodular compacto dotado de un bi-invariante${\displaystyle \sigma }$-medida de Haar finita${\displaystyle \mu .}$Utilizamos el hecho de que${\displaystyle \mu (S)=\mu (S^{-1})}$para cualquier medible${\displaystyle S\subseteq G.}$ Desde${\textstyle p(2-{\tfrac {1}{q}}-{\tfrac {1}{r}})=q(2-{\tfrac {1}{p}}-{\tfrac {1}{r}})=r(2-{\tfrac {1}{p}}-{\tfrac {1}{q}})=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\\={}&\int _{G}\int _{G}\left(f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}\right)^{1-{\frac {1}{r}}}\left(f(x)^{p}h(y)^{r}\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\left(g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}\right)^{1-{\frac {1}{p}}}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\end{aligned}}}$$

Por la desigualdad de Hölder para tres funciones deducimos que

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\\&\leq \left(\int _{G}\int _{G}f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{r}}}\left(\int _{G}\int _{G}f(x)^{p}h(y)^{r}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\left(\int _{G}\int _{G}g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{p}}}.\end{aligned}}}$$

La conclusión se deduce entonces de la invariancia por la izquierda de la medida de Haar, del hecho de que las integrales se conservan mediante la inversión del dominio y del teorema de Fubini .

La desigualdad de Young también puede demostrarse mediante interpolación; consulte el artículo sobre la interpolación de Riesz-Thorin para ver una demostración.