Distribución normal envuelta

En teoría de probabilidad y estadística direccional , una distribución normal envuelta es una distribución de probabilidad envuelta que resulta de la "envoltura" de la distribución normal alrededor del círculo unitario . Encuentra aplicación en la teoría del movimiento browniano y es una solución a la ecuación del calor para condiciones de contorno periódicas . Se aproxima mucho a la distribución de von Mises , que, debido a su simplicidad matemática y manejabilidad, es la distribución más comúnmente utilizada en estadística direccional. ^[1]

La función de densidad de probabilidad de la distribución normal envuelta es ^[2]

${\displaystyle f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu +2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right],}$

donde μ y σ son la media y la desviación estándar de la distribución desdoblada, respectivamente. Expresando la función de densidad anterior en términos de la función característica de la distribución normal se obtiene: ^[2]

${\displaystyle f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\sigma ^{2}n^{2}/2+in(\theta -\mu )}={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right),}$

¿Dónde está la función theta de Jacobi , dada por ${\displaystyle \vartheta (\theta,\tau)}$

${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}{\text{ donde }}w\equiv e^{i\pi \theta }}$y${\displaystyle q\equiv e^{i\pi \tau}.}$

La distribución normal envuelta también puede expresarse en términos del producto triple de Jacobi : ^[3]

${\displaystyle f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})(1+q^{n-1/2}z)(1+q^{n-1/2}/z).}$

donde y${\displaystyle z=e^{i(\theta -\mu )}\,}$${\displaystyle q=e^{-\sigma ^{2}}.}$

En términos de la variable circular, los momentos circulares de la distribución normal envuelta son la función característica de la distribución normal evaluada en argumentos enteros: ${\displaystyle z=e^{i\theta}}$

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )\,d\theta =e^{in\mu -n^{2}\sigma ^{2}/2}.}$

donde es un intervalo de longitud . El primer momento es entonces el valor medio de z , también conocido como resultante media o vector resultante medio: ${\displaystyle \Gamma \,}$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \langle z\rangle =e^{i\mu -\sigma ^{2}/2}}$

El ángulo medio es

${\displaystyle \theta _{\mu }=\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\mu }$

y la longitud de la resultante media es

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |=e^{-\sigma ^{2}/2}}$

La desviación estándar circular, que es una medida útil de dispersión para la distribución normal envuelta y su pariente cercano, la distribución de von Mises , viene dada por:

${\displaystyle s=\ln(R^{-2})^{1/2}=\sigma }$

Se puede utilizar una serie de N mediciones z _n  =  e ^{iθ _n} extraídas de una distribución normal envuelta para estimar ciertos parámetros de la distribución. El promedio de la serie z se define como  

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

y su valor esperado será solo el primer momento:

${\displaystyle \langle {\overline {z}}\rangle =e^{i\mu -\sigma ^{2}/2}.\,}$

En otras palabras, z es un estimador insesgado del primer momento. Si suponemos que la media μ se encuentra en el intervalo [− π ,  π ), entonces Arg  z será un estimador (sesgado) de la media  μ .

Considerando z _n como un conjunto de vectores en el plano complejo, la estadística R ² es el cuadrado de la longitud del vector promedio:

${\displaystyle {\overline {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}\,}$

y su valor esperado es:

${\displaystyle \left\langle {\overline {R}}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}\,e^{-\sigma ^{2}}\,}$

En otras palabras, la estadística

${\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\overline {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)}$

será un estimador insesgado de e ^{− σ 2} , y ln(1/ R _e ² ) será un estimador (sesgado) de  σ ²

La entropía de información de la distribución normal envuelta se define como: ^[2]

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )\,\ln(f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma ))\,d\theta }$

donde es cualquier intervalo de longitud . Definiendo y , la representación del producto triple de Jacobi para la normal envuelta es: ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle z=e^{i(\theta -\mu )}}$${\displaystyle q=e^{-\sigma ^{2}}}$

${\displaystyle f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {\phi (q)}{2\pi }}\prod _{m=1}^{\infty }(1+q^{m-1/2}z)(1+q^{m-1/2}z^{-1})}$

donde es la función de Euler . El logaritmo de la densidad de la distribución normal envuelta se puede escribir: ${\displaystyle \phi (q)\,}$

${\displaystyle \ln(f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma ))=\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+\sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z)+\sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z^{-1})}$

Usando la expansión de la serie para el logaritmo:

${\displaystyle \ln(1+x)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,x^{k}}$

Las sumas logarítmicas pueden escribirse como:

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z^{\pm 1})=-\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,q^{mk-k/2}z^{\pm k}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,{\frac {q^{k/2}}{1-q^{k}}}\,z^{\pm k}}$

de modo que el logaritmo de densidad de la distribución normal envuelta se puede escribir como:

${\displaystyle \ln(f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma ))=\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\frac {q^{k/2}}{1-q^{k}}}\,(z^{k}+z^{-k})}$

que es esencialmente una serie de Fourier en . Utilizando la representación de función característica para la distribución normal envuelta en el lado izquierdo de la integral: ${\displaystyle \theta \,}$

${\displaystyle f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}/2}\,z^{n}}$

La entropía se puede escribir:

${\displaystyle H=-\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\frac {q^{(n^{2}+k)/2}}{1-q^{k}}}\left(z^{n+k}+z^{n-k}\right)\right)\,d\theta }$

que puede integrarse para obtener:

${\displaystyle H=-\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,{\frac {q^{(k^{2}+k)/2}}{1-q^{k}}}}$

• Distribución envuelta
• Peine de Dirac
• Distribución de Cauchy envuelta
• Distribución de von Mises

• Borradaile, Graham (2003). Estadísticas de datos de ciencias de la Tierra. Springer. ISBN 978-3-540-43603-4. Consultado el 31 de diciembre de 2009 .
• Fisher, NI (1996). Análisis estadístico de datos circulares. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56890-6. Recuperado el 9 de febrero de 2010 .
• Breitenberger, Ernst (1963). "Análogos de la distribución normal en el círculo y la esfera". Biometrika . 50 (1/2): 81–88. doi :10.2307/2333749. JSTOR  2333749.

• Matemáticas y estadísticas de valores circulares con C++11, una infraestructura C++11 para matemáticas y estadísticas de valores circulares (ángulos, hora del día, etc.)