Operación Wilson

En la teoría topológica de grafos , las operaciones de Wilson son un grupo de seis transformaciones sobre incrustaciones de grafos . Se generan mediante dos involuciones sobre incrustaciones, la dualidad de superficie y la dualidad de Petrie , y tienen la estructura de grupo del grupo simétrico sobre tres elementos. Reciben su nombre de Stephen E. Wilson, quien las publicó para mapas regulares en 1979; ^{[ 1 ]} Lins (1982) las extendió a todas las incrustaciones de grafos celulares (incrustaciones cuyas caras son discos topológicos) . ^{[ 2 ]}

Las operaciones son: identidad, dualidad, dualidad de Petrie, dual de Petrie de dual, dual de Petrie dual y dual de Petrie dual de dual o equivalentemente Petrie dual de dual de Petrie dual. Juntas constituyen el grupo S3 .

Estas operaciones se caracterizan algebraicamente como los únicos automorfismos externos de ciertas representaciones teóricas de grupos de grafos embebidos. ^{[ 3 ]} Mediante su acción sobre dibujos infantiles , pueden utilizarse para estudiar el grupo de Galois absoluto de los números racionales . ^{[ 4 ]}

También se pueden definir operaciones correspondientes en las aristas de un grafo incrustado, el dual parcial y el dual parcial de Petrie, de modo que realizar la misma operación en todas las aristas simultáneamente es equivalente a tomar el dual de superficie o el dual de Petrie. Estas operaciones generan un grupo más grande, el grupo de cintas , que actúa sobre los grafos incrustados. Como grupo abstracto, es isomorfo a${\displaystyle S_{3}^{m}}$, el${\displaystyle m}$Producto multiplicado de copias del grupo simétrico de tres elementos. ^{[ 5 ]}