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electrodinámica de Weber

La electrodinámica de Weber es una teoría del electromagnetismo que precedió a la electrodinámica de Maxwell y fue reemplazada por ella a finales del siglo XIX. [ 1 ] La electro...

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La electrodinámica de Weber es una teoría del electromagnetismo que precedió a la electrodinámica de Maxwell y fue reemplazada por ella a finales del siglo XIX. [ 1 ] La electrodinámica de Weber se basa principalmente en las contribuciones de André-Marie Ampère , Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Eduard Weber . En esta teoría, la ley de Coulomb depende de la velocidad y la aceleración. La electrodinámica de Weber solo es aplicable a la electrostática, la magnetostática y la aproximación cuasiestática . No es adecuada para describir ondas electromagnéticas ni para calcular las fuerzas entre partículas cargadas eléctricamente que se mueven muy rápidamente o que se aceleran más que de forma insignificante.

La característica más destacada de la electrodinámica de Weber es que permite describir las fuerzas magnéticas entre corrientes continuas, corrientes alternas de baja frecuencia e imanes permanentes sin la presencia de un campo magnético.

Historia

Hacia 1820, André-Marie Ampère llevó a cabo numerosos experimentos sistemáticos con corrientes continuas. Finalmente, en 1823, desarrolló la ley de fuerza.

que se puede utilizar para calcular la fuerzad2F{\displaystyle d^{2}\mathbf {F} }que un elemento actualI2ds2{\displaystyle I_{2}\,d\mathbf {s} _{2}}ejerce sobre otro elemento corrienteI1ds1{\displaystyle I_{1}\,d\mathbf {s} _{1}}. Aquí,r{\displaystyle \mathbf {r} }es el vector que apunta desde el elemento actualI2ds2{\displaystyle I_{2}\,d\mathbf {s} _{2}}al elemento actualI1ds1{\displaystyle I_{1}\,d\mathbf {s} _{1}}. Un elemento actualIds{\displaystyle I\,d\mathbf {s} }debe interpretarse como un segmento muy corto de la longituds{\displaystyle s}de un conductor con corriente continuaI{\displaystyle I}fluyendo en dirección as{\displaystyle \mathbf {s} }. [ 2 ]

En 1835, Carl Friedrich Gauss se dio cuenta de que la ley de fuerza de Ampère puede interpretarse mediante una generalización menor de la ley de Coulomb . [ 3 ] Postuló que la fuerza eléctrica ejercida por una carga puntualq2{\displaystyle q_{2}}en otro cargo por puntoq1{\displaystyle q_{1}}No depende solo de la distanciar=r1−r2{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}pero también sobre la velocidad relativav=r˙1−r˙2{\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}_{1}-{\dot {\mathbf {r} }}_{2}}:

Es importante destacar que la ley de fuerza de Gauss es una generalización significativa de la ley de fuerza de Ampère, ya que las cargas puntuales en movimiento no representan corrientes continuas. De hecho, hoy en día, la ley de fuerza de Ampère ya no se presenta en su forma original , puesto que existen representaciones equivalentes para corrientes continuas, como la ley de Biot-Savart en combinación con la fuerza de Lorentz . Este es el punto en el que la electrodinámica de Weber y la electrodinámica de Maxwell toman caminos diferentes, porque James Clerk Maxwell decidió basar su teoría en la ley de Biot-Savart, que originalmente también solo era válida para bucles conductores cerrados. [ 4 ]

La contribución de Wilhelm Eduard Weber a la electrodinámica de Weber fue que extendió la fórmula de fuerza de Gauss de tal manera que fue posible proporcionar una fórmula para la energía potencial. [ 5 ] Presentó su fórmula en 1848 que dice:

conr˙{\displaystyle {\dot {r}}}siendo la velocidad radial . Weber también realizó numerosos experimentos y documentó el estado del conocimiento en ese momento en su extensa obra. [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]

La electrodinámica de Weber y la hipótesis de Gauss cayeron gradualmente en el olvido tras la introducción de la corriente de desplazamiento alrededor de 1870, ya que el conjunto completo de ecuaciones de Maxwell permitió describir las ondas electromagnéticas por primera vez.

A partir de 1880, experimentos como el de Michelson-Morley demostraron que las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de la luz independientemente del estado de movimiento del transmisor o receptor en el vacío, lo cual no concuerda con las predicciones de las ecuaciones de Maxwell, ya que estas describen la propagación de ondas en un medio. Para superar este problema, se desarrolló la transformación de Lorentz . Como resultado, se reincorporó, en una forma modificada, la hipótesis de Gauss de que la fuerza eléctrica depende de la velocidad relativa.

Descripción matemática

Fuerza de Weber

En la electrodinámica de Weber, la fuerza electromagnéticaF{\displaystyle \mathbf {F} }que un cargo puntualq2{\displaystyle q_{2}}con trayectoriar2(t){\displaystyle \mathbf {r} _{2}(t)}ejerce sobre otra carga puntualq1{\displaystyle q_{1}}con trayectoriar1(t){\displaystyle \mathbf {r} _{1}(t)}en ese momentot{\displaystyle t}viene dada por la ecuación [ 9 ]

Aquí,r=r1(t)−r2(t){\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}(t)-\mathbf {r} _{2}(t)}es el desplazamiento deq1{\displaystyle q_{1}}relativo aq2{\displaystyle q_{2}}yr=‖r‖{\displaystyle r=\Vert \mathbf {r} \Vert }es la distancia. Tenga en cuenta que

es la velocidad radial y

es la aceleración radial. Si se sustituye esto en la fuerza de Weber ( 4 ), se obtiene conr˙=v{\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v} }yr¨=a{\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {a} }la representación alternativa

Paraa≈0{\displaystyle \mathbf {a} \approx \mathbf {0} }se obtiene la ecuación ( 2 ) tal como la postuló Gauss en 1835.

Que la energía potencial de Weber ( 3 ) es compatible con la fórmula de fuerza ( 4 ) se puede demostrar mediante la ecuación ( 5 ) y la ecuación (6).F=−rr⋅r˙U˙{\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {\mathbf {r} }{\mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}}}\,{\dot {U}}} lo cual se deduce directamente de las leyes del movimiento de Newton . [ 10 ]

Conservación de la energía, el momento lineal y el momento angular.

En la electrodinámica de Weber, la energía, el momento lineal y el momento angular son magnitudes conservadas . La conservación del momento lineal se debe a que la fuerza de Weber cumple con la tercera ley de Newton : si se intercambian la fuente y el receptor de la fuerza, solo cambia su signo. La conservación del momento angular es consecuencia de que la fuerza de Weber es una fuerza central .

La conservación de la energía en un sistema aislado que consta de solo dos partículas es fácil de demostrar. La ecuación ( 5 ) dar⋅r˙=rr˙{\displaystyle \mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}=r\,{\dot {r}}}Esto conduce a F⋅r˙=q1q24πε0r˙r2(1−r˙22do2+rr¨do2).{\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}\left(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {r{\ddot {r}}}{c^{2}}}\right).} La derivada del potencial de Weber ( 3 ) con respecto al tiempo es U˙=q1q24πε0(−r˙r2+r˙32r2do2−r˙r¨rdo2)=−q1q24πε0r˙r2(1−r˙22do2+rr¨do2).{\displaystyle {\dot {U}}={\frac {q_{1}\,q_{2}}{4\,\pi \,\varepsilon _{0}}}\left(-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}+{\frac {{\dot {r}}^{3}}{2r^{2}c^{2}}}-{\frac {{\dot {r}}{\ddot {r}}}{rc^{2}}}\right)=-{\frac {q_{1}\,q_{2}}{4\,\pi \,\varepsilon _{0}}}{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}\left(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {r{\ddot {r}}}{c^{2}}}\right).} Una comparación de las dos ecuaciones muestra queU˙{\displaystyle {\dot {U}}}igual−F⋅r˙{\displaystyle -\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}}Aplicando la segunda ley de Newton se obtieneU˙=−metror¨⋅r˙{\displaystyle {\dot {U}}=-m\,{\ddot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}}Excepto por el signo, el lado derecho corresponde a la derivada temporal de la energía cinética . Esto significa que cada cambio en la energía potencial se compensa exactamente con un cambio en la energía cinética. Por consiguiente, la energía total, es decir, la suma de la energía potencial y la energía cinética, debe ser una magnitud conservada.

Comparación con la electrodinámica de Maxwell

fuerza de Lorentz

La electrodinámica de Maxwell y la electrodinámica de Weber son equivalentes para corrientes continuas y velocidades no relativistas, ya que las corrientes continuas solo pueden fluir en circuitos conductores cerrados. Como Maxwell ya demostró hace unos 150 años, bajo estas condiciones, la ley de fuerza de Ampère puede representarse en varias variantes. [ 4 ]

La electrodinámica de Maxwell sigue un enfoque de dos etapas, primero asignando un campo magnético.B{\displaystyle \mathbf {B} }a cada elemento actual y, en segundo lugar, definiendo que la fuerzaF{\displaystyle \mathbf {F} }en un cargo de pruebaq{\displaystyle q}moviéndose a la velocidadv{\displaystyle \mathbf {v} }se puede calcular utilizando la expresiónqv×B{\displaystyle q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} }En la época de Maxwell, la velocidadv{\displaystyle \mathbf {v} }Se interpretó como la velocidad de la carga de prueba con respecto al medio en el que se propaga el campo magnético. En la electrodinámica de Maxwell, la fuerza de Lorentz es una ley física que no puede atribuirse a una causa o mecanismo específico.

Por otro lado, la electrodinámica de Weber no define un campo magnético ni una fuerza de Lorentz, sino que interpreta la fuerza de una corriente sobre una carga de prueba.q{\displaystyle q}Se postula que un conductor por el que circula corriente contiene cargas puntuales negativas y positivas que se mueven a velocidades relativas ligeramente diferentes con respecto a la carga de prueba. Esto, a su vez, produce pequeñas deformaciones en la fuerza, de modo que, dependiendo de la velocidad de la carga de prueba, persisten fuerzas residuales. En resumen, estas fuerzas corresponden exactamente a la fuerza de Lorentz.

Esto significa que la electrodinámica de Weber explica la fuerza de Lorentz mediante el principio de relatividad, aunque solo para velocidades relativas mucho menores que la velocidad de la luz. Por lo tanto, la hipótesis de Gauss de 1835 ya representa una interpretación temprana del magnetismo como un efecto relativista. Esta interpretación no está incluida en la electrodinámica de Maxwell.

Ondas electromagnéticas

Para corrientes alternas y cargas puntuales, las diferentes representaciones de la ley de fuerza de Ampère no son equivalentes. Maxwell conocía la electrodinámica de Weber y la mencionó positivamente. [ 11 ] Sin embargo, decidió construir su teoría sobre la ley de Biot-Savart generalizándola a casos donde los bucles conductores contienen discontinuidades. La importancia de la corriente de desplazamiento se hace evidente al estudiar el campo de la fuerza electromagnética que un electrón acelerado generaría sobre una carga de prueba en reposo. Las figuras muestran el campo de un electrón que se acelera al 75 por ciento de la velocidad de la luz en 3 nanosegundos.

Campo de la fuerza electromagnética de una carga puntual negativa acelerada desde la perspectiva de una carga de prueba positiva en reposo en la electrodinámica de Weber.
Campo de la fuerza electromagnética de una carga puntual negativa acelerada desde la perspectiva de una carga de prueba positiva en reposo en la electrodinámica de Maxwell.

En el caso de la fuerza de Weber, se observa que el campo inicialmente radial se aplana en la dirección del movimiento. Este efecto se asocia actualmente con la contracción de Lorentz . Algo similar se aprecia en el campo calculado mediante las ecuaciones de Maxwell. Además, se observa un frente de onda. También es notable que, en la región del frente de onda, la fuerza deja de ser central. Este efecto se conoce como bremsstrahlung .

Por lo tanto, los fenómenos de ondas electromagnéticas no están incluidos en la electrodinámica de Weber. Por esta razón, la electrodinámica de Weber solo es aplicable en aplicaciones donde todas las cargas involucradas se mueven de manera lenta y uniforme.

La tercera ley de Newton en la electrodinámica de Maxwell y Weber.

En la electrodinámica de Maxwell , la tercera ley de Newton no se cumple para las partículas. En cambio, las partículas ejercen fuerzas sobre los campos electromagnéticos, y los campos ejercen fuerzas sobre las partículas, pero las partículas no ejercen fuerzas directamente sobre otras partículas. Por lo tanto, dos partículas cercanas no siempre experimentan fuerzas iguales y opuestas. En relación con esto, la electrodinámica de Maxwell predice que las leyes de conservación del momento lineal y del momento angular solo son válidas si se tienen en cuenta el momento lineal de las partículas y el momento lineal de los campos electromagnéticos circundantes. El momento lineal total de todas las partículas no se conserva necesariamente, ya que las partículas pueden transferir parte de su momento lineal a los campos electromagnéticos o viceversa. [ 12 ] El conocido fenómeno de la presión de radiación demuestra que las ondas electromagnéticas son capaces de "empujar" la materia. Véase el tensor de tensiones de Maxwell y el vector de Poynting para más detalles.

La ley de fuerza de Weber es bastante diferente: todas las partículas, independientemente de su tamaño y masa, siguen exactamente la tercera ley de Newton . Por lo tanto, la electrodinámica de Weber, a diferencia de la electrodinámica de Maxwell, conserva el momento lineal y el momento angular de las partículas.

Energía potencial para cargas puntuales en la electrodinámica de Maxwell.

En las ecuaciones de Maxwell la fuerzaF{\displaystyle \mathbf {F} }La fuerza sobre una carga proveniente de cargas cercanas se puede calcular combinando las ecuaciones de Jefimenko con la ley de fuerza de Lorentz . La energía potencial correspondiente es aproximadamente: [ 9 ]

UMETROaincógnita≈q1q24πϵ0r(1−v1⋅v22do2−(v1⋅r)(v2⋅r)2r2do2),{\displaystyle U_{\rm {Max}}\approx {\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\left(1-{\frac {\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }{2c^{2}}}-{\frac {(\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {r} )(\mathbf {v_{2}} \cdot \mathbf {r} )}{2r^{2}c^{2}}}\right),} dóndev1{\displaystyle \mathbf {v} _{1}}yv2{\displaystyle \mathbf {v} _{2}}son las velocidades deq1{\displaystyle q_{1}}yq2{\displaystyle q_{2}}, respectivamente, y donde los efectos relativistas y de retardo se omiten por simplicidad; véase el lagrangiano de Darwin .

Utilizando estas expresiones, se puede derivar la forma regular de la ley de Ampère y la ley de Faraday . Es importante destacar que la electrodinámica de Weber no predice una expresión como la ley de Biot-Savart , y comprobar las diferencias entre la ley de Ampère y la ley de Biot-Savart es una forma de poner a prueba la electrodinámica de Weber. [ 13 ]

Pruebas experimentales

Limitaciones

Según el conocimiento actual, la electrodinámica de Weber es una teoría incompleta. La expresión de la energía potencial ( 3 ) sugiere que es la primera parte de una serie de Taylor, es decir, una aproximación que solo es suficientemente correcta para velocidades pequeñas y aceleraciones muy bajas. Sin embargo, resulta problemático que la electrodinámica de Weber y la electrodinámica de Maxwell no sean equivalentes ni siquiera en estas circunstancias. [ 9 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]

Dado que la electrodinámica de Weber es una aproximación válida únicamente para bajas velocidades y aceleraciones, una comparación experimental con la electrodinámica de Maxwell solo es razonable si se cumplen estas condiciones y requisitos. En muchos experimentos que refutan la electrodinámica de Weber, estas condiciones no se cumplen. Curiosamente, los experimentos que respetan las limitaciones de la electrodinámica de Weber suelen mostrar una mejor concordancia entre la electrodinámica de Weber y los resultados de las mediciones que la electrodinámica de Maxwell. [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]

Experimentos que no respaldan la electrodinámica de Weber

Pruebas dependientes de la velocidad

El término dependiente de la velocidad en la fuerza de Weber podría causar que un gas que escapa de un recipiente se cargue eléctricamente. Sin embargo, debido a que los electrones utilizados para establecer estos límites están ligados por la ley de Coulomb , los efectos de renormalización pueden cancelar las correcciones dependientes de la velocidad. Otras búsquedas han hecho girar solenoides que transportan corriente , han observado metales mientras se enfrían y han utilizado superconductores para obtener una gran velocidad de deriva. [ 20 ] Ninguna de estas búsquedas ha observado ninguna discrepancia con la ley de Coulomb. Observar la carga de haces de partículas proporciona límites más débiles, pero pone a prueba las correcciones dependientes de la velocidad a las ecuaciones de Maxwell para partículas con velocidades más altas. [ 21 ] [ 22 ]

Pruebas dependientes de la aceleración

Hermann von Helmholtz observó que la electrodinámica de Weber predice que las cargas en ciertas configuraciones pueden comportarse como si tuvieran masa inercial negativa . Sin embargo, algunos científicos han cuestionado el argumento de Helmholtz. [ 23 ] Esto se puede comprobar midiendo la frecuencia de oscilación de una lámpara de neón dentro de un conductor esférico polarizado a un alto voltaje. No se han observado desviaciones significativas de la teoría de Maxwell. [ 15 ]

Relación con la electrodinámica cuántica

La electrodinámica cuántica (QED) es quizás la teoría más rigurosamente probada en física, con predicciones altamente no triviales verificadas con una precisión mejor que 10 partes por mil millones: véase Pruebas de precisión de QED . Dado que las ecuaciones de Maxwell pueden derivarse como el límite clásico de las ecuaciones de QED, [ 24 ] se deduce que si QED es correcta (como creen ampliamente los físicos convencionales), entonces las ecuaciones de Maxwell y la ley de la fuerza de Lorentz también lo son.

Referencias

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  2. ↑ Assis, André Koch Torres; Chaib, JPM C; Ampère, André-Marie (2015). Electrodinámica de Ampère: análisis del significado y evolución de la fuerza entre elementos de corriente de Ampère, junto con una traducción completa de su obra maestra: Teoría de los fenómenos electrodinámicos, deducida de forma única de la experiencia (PDF) . Montreal: Apeiron. p. 29. ISBN  978-1-987980-03-5.
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  5. ^ W. Weber (1893). Werke de Wilhelm Weber (Banda 3). Galvanismo y electrodinámica. Erster Teil . Königliche Gesellschaft zu Göttingen. págs. 244 y 245. 
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  7. ↑ Wilhelm Weber (2021). Andre Koch Torres Assis (ed.). Obras principales de Wilhelm Weber en electrodinámica traducidas al inglés. Volumen II: La fuerza fundamental de Weber y la unificación de las leyes de Coulomb, Ampere y Faraday (PDF) . Apeiron Montreal.
  8. ↑ Wilhelm Weber (2021). Andre Koch Torres Assis (ed.). Obras principales de Wilhelm Weber en electrodinámica traducidas al inglés. Volumen III: Medición de la constante de Weber c, diamagnetismo, la ecuación del telégrafo y la propagación de ondas eléctricas a velocidad de la luz (PDF) . Apeiron Montreal.
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  24. ↑ Peskin, M.; Schroeder, D. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos. Westview Press. ISBN 0-201-50397-2. Sección 4.1.

Lecturas adicionales

  • André Koch Torres Assis: Electrodinámica de Weber. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht 1994, ISBN 0-7923-3137-0.