tensor de tensiones de Maxwell

El tensor de tensiones de Maxwell (llamado así en honor a James Clerk Maxwell ) es un tensor simétrico de segundo orden en tres dimensiones que se utiliza en el electromagnetismo clásico para representar la interacción entre las fuerzas electromagnéticas y el momento mecánico . En situaciones sencillas, como una carga puntual que se mueve libremente en un campo magnético homogéneo, es fácil calcular las fuerzas que actúan sobre la carga a partir de la ley de Lorentz . Cuando la situación se complica, este procedimiento habitual puede volverse impracticable, con ecuaciones que abarcan múltiples líneas. Por lo tanto, resulta conveniente agrupar muchos de estos términos en el tensor de tensiones de Maxwell y utilizar la aritmética tensorial para encontrar la solución al problema en cuestión.

En la formulación relativista del electromagnetismo, los nueve componentes del tensor de tensiones de Maxwell aparecen, negados, como componentes del tensor de energía-tensión electromagnético , que es el componente electromagnético del tensor de energía-tensión total . Este último describe la densidad y el flujo de energía y momento en el espacio-tiempo .

Como se describe a continuación, la fuerza electromagnética se escribe en términos de${\displaystyle \mathbf {E} }$y${\displaystyle \mathbf {B} }$. Utilizando el cálculo vectorial y las ecuaciones de Maxwell , se busca la simetría en los términos que contienen${\displaystyle \mathbf {E} }$y${\displaystyle \mathbf {B} }$y la introducción del tensor de tensiones de Maxwell simplifica el resultado.

en la relación anterior para la conservación del momento,${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$es la densidad de flujo de momento y juega un papel similar a${\displaystyle \mathbf {S} }$en el teorema de Poynting .

La derivación anterior supone un conocimiento completo de ambos.${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle \mathbf {J} }$(tanto cargas y corrientes libres como confinadas). Para el caso de materiales no lineales (como el hierro magnético con una curva B–H), debe utilizarse el tensor de tensiones de Maxwell no lineal. ^{[ 1 ]}

En física , el tensor de tensiones de Maxwell es el tensor de tensiones de un campo electromagnético . Como se derivó anteriormente, viene dado por:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}$,

dónde${\displaystyle \epsilon _{0}}$es la constante eléctrica ,${\displaystyle \mu _{0}}$la constante magnética ,${\displaystyle \mathbf {E} }$el campo eléctrico ,${\displaystyle \mathbf {B} }$el campo magnético y${\displaystyle \delta _{ij}}$es la delta de Kronecker . En el sistema gaussiano , viene dada por:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right)}$,

dónde${\displaystyle \mathbf {H} }$es el campo magnetizante .

Una forma alternativa de expresar este tensor es:

${\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]}$

dónde${\displaystyle \otimes }$es el producto diádico , y el último tensor es el diádico unitario:

${\displaystyle \mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} }$

El elemento${\displaystyle ij}$del tensor de esfuerzos de Maxwell tiene unidades de momento por unidad de área por unidad de tiempo y da el flujo de momento paralelo a la${\displaystyle i}$el eje que cruza una superficie normal a la${\displaystyle j}$eje (en dirección negativa) por unidad de tiempo.

Estas unidades también pueden verse como unidades de fuerza por unidad de área (presión negativa), y la${\displaystyle ij}$El elemento del tensor también puede interpretarse como la fuerza paralela a la${\displaystyle i}$El eje th sufrió una superficie normal al${\displaystyle j}$eje por unidad de área. De hecho, los elementos diagonales proporcionan la tensión (fuerza de tracción) que actúa sobre un elemento de área diferencial normal al eje correspondiente. A diferencia de las fuerzas debidas a la presión de un gas ideal, un elemento de área en el campo electromagnético también experimenta una fuerza en una dirección que no es normal al elemento. Esta fuerza cortante viene dada por los elementos fuera de la diagonal del tensor de tensiones.

Si el campo es solo magnético (lo cual es cierto en gran medida en los motores, por ejemplo), algunos de los términos desaparecen y la ecuación en unidades del SI se convierte en:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\,.}$

En electrostática no están presentes los efectos del magnetismo. En este caso, el campo magnético desaparece, es decir${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} }$y obtenemos el tensor de tensiones electrostático de Maxwell . Se da en forma de componentes por

${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij}}$

y en forma simbólica por

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} }$

dónde${\displaystyle \mathbf {I} }$es el tensor identidad apropiado${\displaystyle {\big (}}$generalmente${\displaystyle 3\times 3{\big )}}$.

Los valores propios del tensor de tensiones de Maxwell vienen dados por:

${\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}}$

Estos autovalores se obtienen aplicando iterativamente el lema del determinante de matrices , junto con la fórmula de Sherman-Morrison .

Observando que la matriz de la ecuación característica,${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } }$, se puede escribir como

${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$

dónde

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)}$

nosotros establecimos

${\displaystyle \mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}$

Aplicando el lema del determinante de matrices una vez, obtenemos

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \right)}}$

Al aplicarlo de nuevo se obtiene,

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}}$

Del último multiplicando del lado derecho, vemos inmediatamente que${\displaystyle \lambda =-V}$es uno de los valores propios.

Para hallar la inversa de${\displaystyle \mathbf {U} }$, utilizamos la fórmula de Sherman-Morrison:

${\displaystyle \mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }}}$

Factorizar un${\displaystyle \left(-\lambda -V\right)}$En el determinante, nos queda encontrar los ceros de la función racional:

${\displaystyle \left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}$

Por lo tanto, una vez que resolvamos

${\displaystyle -\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0}$

obtenemos los otros dos autovalores.

• Tensor de energía-tensión electromagnética
• Densidad de energía de los campos eléctricos y magnéticos
• Presión magnética
• Tensión magnética
• vector de Poynting
• cálculo de Ricci

• David J. Griffiths , "Introducción a la electrodinámica", págs.  351-352, Benjamin Cummings Inc., 2008.
• John David Jackson, "Electrodinámica clásica, 3.ª ed.", John Wiley & Sons, Inc., 1999
• Richard Becker, "Campos electromagnéticos e interacciones", Dover Publications Inc., 1964