Carga débil

Esta relación solo se aplica directamente a quarks y leptones ( partículas fundamentales ), ya que el isospín débil no está claramente definido para partículas compuestas , como protones y neutrones, en parte debido a que el isospín débil no se conserva. Se puede establecer el isospín débil del protón en ⁠ + + 1 / 2 ⁠ y del neutrón en ⁠ − + 1 / 2 ⁠ , ^{[ 11 ] [ 12 ]} para obtener un valor aproximado para la carga débil. De forma equivalente, se pueden sumar las cargas débiles de los quarks constituyentes para obtener el mismo resultado.

Por lo tanto, la carga débil calculada para el neutrón es

$${\displaystyle Q_{\mathsf {w}}=2\,T_{3}-4\,Q_{\epsilon }\,\sin ^{2}\theta _{\mathsf {w}}=2\cdot \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)=-1~\approx ~-0.99~.}$$

La carga débil para el protón calculada utilizando la fórmula anterior y un ángulo de mezcla débil de 29° es

$${\displaystyle Q_{\mathsf {w}}=2\,T_{3}-4\,Q_{\epsilon }\,\sin ^{2}\theta _{\mathsf {w}}~=~2\;{\tfrac {1}{2}}-4\,\sin ^{2}29^{\circ }~\approx ~1-0.94016~=~0.05983\approx 0.06\approx 0.07~,}$$

un valor muy pequeño, similar a la carga débil total casi nula de los leptones cargados (véase la tabla anterior).

^{Sin embargo ,} surgen correcciones al realizar el cálculo teórico completo para los nucleones. Específicamente, al evaluar diagramas de Feynman más allá del nivel de árbol (es decir, diagramas que contienen bucles), el ángulo de mezcla débil se vuelve dependiente de la escala de momento debido a la variación de las constantes de acoplamiento [ ^{10 ]} y debido al hecho de que los nucleones son partículas compuestas.

Porque la hipercarga débil Y _w viene dada por

$${\displaystyle Y_{\mathsf {w}}=2\,(Q_{\epsilon }-T_{3})~}$$

la hipercarga débil Y _w , la carga débil Q _w y la carga eléctrica${\displaystyle \,Q\equiv Q_{\epsilon }\,}$están relacionados por

$${\displaystyle Q_{\mathsf {w}}+Y_{\mathsf {w}}=2\,Q_{\epsilon }\left(1-2\ \sin ^{2}\theta _{\mathsf {w}}\right)=2\,Q_{\epsilon }\,\cos \left(2\,\theta _{\mathsf {w}}\right)\ ,}$$ o equivalentemente $${\displaystyle Q_{\mathsf {w}}+Y_{\mathsf {w}}=Q_{\epsilon }+Q_{\epsilon }\left(1-4\ \sin ^{2}\theta _{\mathsf {w}}\right)\approx Q_{\epsilon }+0\ ,}$$

dónde${\displaystyle ~Y_{\mathsf {w}}~}$es la hipercarga débil para fermiones levógiros y antifermiones dextrógiros , por lo tanto

$${\displaystyle Q_{\mathsf {w}}+Y_{\mathsf {w}}\approx Q_{\epsilon }~,}$$

En el caso típico, cuando el ángulo de mezcla débil es de aproximadamente 30°.

El acoplamiento del Modelo Estándar de fermiones al bosón Z y al fotón viene dado por: ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }~=~-{\bar {\Psi }}_{\boldsymbol {\mathsf {L}}}\,\left[\left(Q_{\epsilon }\,-\,T_{3}\right)\,{\frac {e}{\;\cos \theta _{\mathsf {w}}}}\,B_{\mu }~+~T_{3}\,{\frac {e}{\;\sin \theta _{\mathsf {w}}\,}}W_{\mu }^{3}\;\right]\,{\bar {\sigma }}^{\mu }\,\Psi _{\boldsymbol {\mathsf {L}}}~-~{\bar {\Psi }}_{\boldsymbol {\mathsf {R}}}\,\left[\,Q_{\epsilon }{\frac {e}{\;\cos \theta _{\mathsf {w}}\;}}\,B_{\mu }\,\right]\,\sigma ^{\mu }\,\Psi _{\boldsymbol {\mathsf {R}}}~,}$$

dónde

• ${\displaystyle ~\Psi _{\mathsf {L}}~}$y${\displaystyle ~\Psi _{\boldsymbol {\mathsf {R}}}~}$son un campo fermiónico zurdo y diestro respectivamente,
• ${\displaystyle ~B_{\mu }~}$es el campo del bosón B ,${\displaystyle ~W_{\mu }^{3}~}$es el campo de bosones W ₃ , y
• ${\displaystyle ~e={\sqrt {4\pi \alpha }}~}$es la carga elemental expresada en unidades de Planck racionalizadas ,

y la expansión utiliza como vectores base las matrices de Pauli (en su mayoría implícitas) de la ecuación de Weyl :

$${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\Bigl (}\,I\,,\;~~\sigma ^{1}\,,\;~~\sigma ^{2}\,,\;~~\sigma ^{3}\,{\Bigr )}~}$$

y

$${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\Bigl (}\,I\,,\;-\sigma ^{1}\,,\;-\sigma ^{2}\,,\;-\sigma ^{3}\,{\Bigr )}~}$$

Los campos para los bosones B y W ₃ están relacionados con el  campo del bosón Z.${\displaystyle Z_{\mu },}$y campo electromagnético${\displaystyle A_{\mu }}$(fotones) por

$${\displaystyle ~B_{\mu }=\left(\,\cos \theta _{\mathsf {w}}\,\right)\,A_{\mu }-\left(\,\sin \theta _{\mathsf {w}}\,\right)Z_{\mu }~}$$

y

$${\displaystyle W_{\mu }^{3}=\left(\,\cos \theta _{\mathsf {w}}\,\right)Z_{\mu }~+~\left(\,\sin \theta _{\mathsf {w}}\,\right)\,A_{\mu }~.}$$

Al combinar estas relaciones con la ecuación anterior y separar por${\displaystyle Z_{\mu }}$y${\displaystyle ~A_{\mu }~,}$se obtiene:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }~=~-{\bar {\Psi }}_{\boldsymbol {\mathsf {L}}}\left[\;\left(\,Q_{\epsilon }\,-\,T_{3}\,\right){\frac {e}{\;\cos \theta _{\mathsf {w}}\;}}\left(\;\cos \theta _{\mathsf {w}}\,A_{\mu }-\sin \theta _{\mathsf {w}}\,Z_{\mu }\;\right)\,+\,T_{3}{\frac {e}{\;\sin \theta _{\mathsf {w}}\;}}\left(\;\cos \theta _{\mathsf {w}}Z_{\mu }\,+\,\sin \theta _{\mathsf {w}}\,A_{\mu }\;\right)\right]{\bar {\sigma }}^{\mu }\Psi _{\boldsymbol {\mathsf {L}}}\\-{\bar {\Psi }}_{\boldsymbol {\mathsf {R}}}{\biggl [}Q_{\epsilon }\,{\frac {e}{\;\cos \theta _{\mathsf {w}}\;}}\left(\,\cos \theta _{\mathsf {w}}\,A_{\mu }\,-\,\sin \theta _{\mathsf {w}}\,Z_{\mu }\,\right)\;{\biggr ]}\sigma ^{\mu }\Psi _{\boldsymbol {\mathsf {R}}}\\\\~=~-~e\,{\bar {\Psi }}_{\boldsymbol {\mathsf {L}}}\left[\;Q_{\epsilon }\,A_{\mu }\,+\,\left(\;T_{3}\,-\,Q_{\epsilon }\sin ^{2}\theta _{\mathsf {w}}\;\right){\frac {1}{\;\cos \theta _{\mathsf {w}}\sin \theta _{\mathsf {w}}\;}}\;Z_{\mu }\;\right]{\bar {\sigma }}^{\mu }\Psi _{\boldsymbol {\mathsf {L}}}\\~-~e\,{\bar {\Psi }}_{\boldsymbol {\mathsf {R}}}\left[\;Q_{\epsilon }\,A_{\mu }\,-\,Q_{\epsilon }\sin ^{2}\theta _{\mathsf {w}}\;{\frac {1}{\;\cos \theta _{\mathsf {w}}\,\sin \theta _{\mathsf {w}}\;}}\;Z_{\mu }\;\right]\sigma ^{\mu }\Psi _{\boldsymbol {\mathsf {R}}}~.\end{aligned}}}$$

El${\displaystyle Q_{\epsilon }\,A_{\mu }}$El término presente tanto para fermiones levógiros como dextrógiros representa la interacción electromagnética habitual . Los términos que involucran al bosón Z dependen de la quiralidad del fermión, por lo que existen dos intensidades de acoplamiento diferentes:

$${\displaystyle ~Q_{\boldsymbol {\mathsf {L}}}=T_{3}-Q_{\epsilon }\sin ^{2}\theta _{\mathsf {w}}\quad }$$ y $${\displaystyle \quad Q_{\boldsymbol {\mathsf {R}}}=-Q_{\epsilon }\sin ^{2}\theta _{\mathsf {w}}~.}$$

Sin embargo, es más conveniente tratar a los fermiones como una sola partícula en lugar de tratar por separado a los fermiones levógiros y dextrógiros. Para esta derivación se elige la base de Weyl : ^{[ 14 ]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}\equiv {\begin{pmatrix}\Psi _{\boldsymbol {\mathsf {L}}}\\\Psi _{\boldsymbol {\mathsf {R}}}\end{pmatrix}}~,\qquad \gamma ^{\mu }\equiv {\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\bar {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}}\quad {\text{ for }}~\mu =0,1,2,3~;}$$${\displaystyle \qquad \gamma ^{5}\equiv {\begin{pmatrix}-I&0\\~~0&I\end{pmatrix}}~.}$

Por lo tanto, la expresión anterior se puede escribir de forma bastante compacta como:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=-e\ {\boldsymbol {\bar {\Psi }}}\ \gamma ^{\mu }\ \left[\ Q_{\epsilon }\ A_{\mu }\;+\;{\frac {\left(\ Q_{\mathsf {w}}-2\ T_{3}\ \gamma ^{5}\ \right)}{\ 2\ \sin \left(\ 2\ \theta _{\mathsf {w}}\ \right)\ }}\;Z_{\mu }\ \right]\ {\boldsymbol {\Psi }}~,}$$

dónde

$${\displaystyle Q_{\mathsf {w}}\;\equiv \;2\,\left(\,Q_{\boldsymbol {\mathsf {L}}}+Q_{\boldsymbol {\mathsf {R}}}\,\right)\;=\;2\,T_{3}-4\,Q_{\epsilon }\sin ^{2}\theta _{\mathsf {w}}~.}$$