Función de Walsh

Dejar${\displaystyle \mathbb {D} =\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ser el grupo compacto Cantor dotado de la medida Haar y dejar${\displaystyle {\hat {\mathbb {D} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ser su grupo discreto de caracteres . Elementos de${\displaystyle {\hat {\mathbb {D} }}}$se identifican fácilmente con las funciones de Walsh. Por supuesto, los caracteres se definen en${\displaystyle \mathbb {D} }$Si bien las funciones de Walsh se definen en el intervalo unitario, dado que existe un isomorfismo módulo cero entre estos espacios de medida , las funciones medibles en ellos se identifican mediante isometría .

Entonces, la teoría básica de la representación sugiere la siguiente generalización amplia del concepto de sistema de Walsh .

Para un espacio de Banach arbitrario${\displaystyle (X,||\cdot ||)}$dejar${\displaystyle \{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }\subset \operatorname {Aut} X}$sea ​​una acción fiel fuertemente continua y uniformemente limitada de${\displaystyle \mathbb {D} }$en X. Por cada${\displaystyle \gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}}$, consideremos su espacio propio${\displaystyle X_{\gamma }=\{x\in X:R_{t}x=\gamma (t)x\}}$Entonces X es el espacio lineal cerrado generado por los autoespacios:${\displaystyle X={\overline {\operatorname {Span} }}(X_{\gamma },\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }})}$Supongamos que cada espacio propio es unidimensional y elijamos un elemento.${\displaystyle w_{\gamma }\in X_{\gamma }}$de tal manera que${\displaystyle \|w_{\gamma }\|=1}$Entonces el sistema${\displaystyle \{w_{\gamma }\}_{\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}}}$o el mismo sistema en la numeración de Walsh-Paley de los caracteres${\displaystyle \{w_{k}\}_{k\in {\mathbb {N} }_{0}}}$se denomina sistema de Walsh generalizado asociado con la acción${\displaystyle \{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }}$. El sistema clásico de Walsh se convierte en un caso especial, a saber, para

${\displaystyle R_{t}:x=\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}2^{-j}\mapsto \sum _{j=1}^{\infty }(x_{j}\oplus t_{j})2^{-j}}$

dónde${\displaystyle \oplus }$es suma módulo 2.

A principios de la década de 1990, Serge Ferleger y Fyodor Sukochev demostraron que en una amplia clase de espacios de Banach (los llamados espacios UMD ^{[ 4 ]} ) los sistemas de Walsh generalizados tienen muchas propiedades similares a las clásicas: forman una base de Schauder ^{[ 5 ]} y una descomposición uniforme de dimensión finita ^{[ 6 ]} en el espacio, y tienen la propiedad de convergencia incondicional aleatoria. ^{[ 7 ]} Un ejemplo importante de sistema de Walsh generalizado es el sistema de Walsh de fermiones en espacios L ^p no conmutativos asociados con un factor de tipo II hiperfinito .

El sistema de Walsh fermiónico es un análogo no conmutativo, o "cuántico", del sistema de Walsh clásico. A diferencia de este último, consta de operadores, no de funciones. Sin embargo, ambos sistemas comparten muchas propiedades importantes; por ejemplo, ambos forman una base ortonormal en el espacio de Hilbert correspondiente, o una base de Schauder en los espacios simétricos correspondientes. Los elementos del sistema de Walsh fermiónico se denominan operadores de Walsh .

El término Fermión en el nombre del sistema se explica por el hecho de que el espacio del operador envolvente, el llamado factor hiperfinito de tipo II${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, puede considerarse como el espacio de observables del sistema de un número infinito numerable de espines distintos${\displaystyle 1/2}$fermiones . Cada operador de Rademacher actúa sobre una única coordenada fermiónica particular, y allí es una matriz de Pauli . Puede identificarse con la componente de espín de medición observable de ese fermión a lo largo de uno de los ejes.${\displaystyle \{x,y,z\}}$en el espacio de espín. Por lo tanto, un operador de Walsh mide el espín de un subconjunto de fermiones, cada uno a lo largo de su propio eje.

Corregir una secuencia${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},...)}$de enteros con${\displaystyle \alpha _{k}\geq 2,k=1,2,\dots }$y dejar${\displaystyle \mathbb {G} =\mathbb {G} _{\alpha }=\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /\alpha _{k}\mathbb {Z} }$dotado de la topología del producto y la medida de Haar normalizada. Definir${\displaystyle A_{0}=1}$y${\displaystyle A_{k}=\alpha _{1}\alpha _{2}\dots \alpha _{k-1}}$. Cada${\displaystyle x\in \mathbb {G} }$puede asociarse con el número real

${\displaystyle \left|x\right|=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x_{k}}{A_{k}}}\in \left[0,1\right].}$

Esta correspondencia es un isomorfismo de módulo cero entre${\displaystyle \mathbb {G} }$y el intervalo unitario. También define una norma que genera la topología de${\displaystyle \mathbb {G} }$. Para${\displaystyle k=1,2,\dots }$, dejar${\displaystyle \rho _{k}:\mathbb {G} \to \mathbb {C} }$dónde

${\displaystyle \rho _{k}(x)=\exp \left(i{\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right)=\cos \left({\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right).}$

El conjunto${\displaystyle \{\rho _{k}\}}$Se denomina sistema de Rademacher generalizado . El sistema de Vilenkin es el grupo${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /\alpha _{k}\mathbb {Z} }$de caracteres ( de valor complejo ) de${\displaystyle \mathbb {G} }$, que son todos productos finitos de${\displaystyle \{\rho _{k}\}}$Para cada entero no negativo${\displaystyle n}$Hay una secuencia única${\displaystyle n_{0},n_{1},\dots }$de tal manera que${\displaystyle 0\leq n_{k}<\alpha _{k+1},k=0,1,2,\dots }$y

${\displaystyle n=\sum _{k=0}^{\infty }n_{k}A_{k}.}$

Entonces${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}={\chi _{n}|n=0,1,\dots }}$dónde

${\displaystyle \chi _{n}=\sum _{k=0}^{\infty }\rho _{k+1}^{n_{k}}.}$

En particular, si${\displaystyle \alpha _{k}=2,k=1,2...}$, entonces${\displaystyle \mathbb {G} }$es el grupo Cantor y${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}=\left\{\chi _{n}|n=0,1,\dots \right\}}$es el sistema Walsh-Paley (de valores reales).

El sistema Vilenkin es un sistema ortonormal completo en${\displaystyle \mathbb {G} }$y constituye una base Schauder en${\displaystyle L^{p}(\mathbb {G} ,\mathbb {C} )}$,${\displaystyle 1<p<\infty }$. ^{[ 8 ]}

Se desarrollaron extensiones de fase no lineal de la transformada discreta de Walsh- Hadamard . Se demostró que las funciones base de fase no lineal con propiedades de correlación cruzada mejoradas superan significativamente a los códigos Walsh tradicionales en comunicaciones de acceso múltiple por división de código (CDMA). ^{[ 9 ]}