Intercambio de volatilidad

En finanzas , un swap de volatilidad es un contrato a plazo sobre la volatilidad futura realizada de un activo subyacente determinado. Los swaps de volatilidad permiten a los inversores negociar la volatilidad de un activo directamente, de forma similar a como negociarían un índice de precios. Su pago al vencimiento es igual a

${\displaystyle (\sigma _{\text{realizado}}-K_{\text{vol}})N_{\text{vol}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \sigma _{\text{realizado}}}$es la volatilidad realizada anualizada,
• ${\displaystyle K_{\text{vol}}}$es el golpe de volatilidad, y
• ${\displaystyle N_{\text{vol}}}$es una cantidad teórica previamente acordada.

es decir, el titular de un swap de volatilidad recibe${\displaystyle N_{\text{vol}}}$por cada punto en el que la volatilidad realizada anualizada del subyacente${\displaystyle \sigma _{\text{realizado}}}$superó el precio de entrega de${\displaystyle K_{\text{vol}}}$y, a la inversa, paga${\displaystyle N_{\text{vol}}}$Por cada punto, la volatilidad realizada es inferior al precio de ejercicio. ^{[ 1 ]}

El activo subyacente suele ser un instrumento financiero con un mercado de opciones activo o líquido , como divisas , índices bursátiles o acciones individuales. A diferencia de una inversión en opciones, cuya exposición a la volatilidad está contaminada por su dependencia del precio, estos swaps ofrecen una exposición pura a la volatilidad. Esto solo se aplica a los swaps de volatilidad con inicio a plazo . Sin embargo, una vez que el swap tiene sus activos fijos, su valor de mercado también depende del precio actual del activo. Estos instrumentos pueden utilizarse para especular sobre los niveles de volatilidad futuros, para negociar el diferencial entre la volatilidad realizada y la implícita, o para cubrir la exposición a la volatilidad de otras posiciones o negocios.

Los swaps de volatilidad se cotizan y negocian con mayor frecuencia que los swaps de varianza , muy similares pero más simples , que pueden replicarse con una combinación lineal de opciones y una posición dinámica en futuros. La diferencia entre ambos es la convexidad: el pago de un swap de varianza es lineal con la varianza pero convexo con la volatilidad. ^{[ 1 ]} Esto significa que, inevitablemente, una replicación estática (una estrategia de compra y mantenimiento) de un swap de volatilidad es imposible. Sin embargo, utilizando el swap de varianza (${\displaystyle \Sigma _{T}^{2}}$) como instrumento de cobertura y con el objetivo de proteger la volatilidad (${\displaystyle \Sigma _{T}}$), la volatilidad puede escribirse como una función de la varianza:

${\displaystyle \Sigma _{T}=a\Sigma _{T}^{2}+b}$

y${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$elegido para minimizar la desviación cuadrática esperada de los dos lados:

${\displaystyle {\text{min}}E[(\Sigma _{T}-a\Sigma _{T}^{2}-b)^{2}]}$

Entonces, si la probabilidad de volatilidades realizadas negativas es insignificante, se podría suponer que las volatilidades futuras son normales con media${\displaystyle {\bar {\Sigma }}}$y desviación estándar${\displaystyle \sigma _{\Sigma }}$:

${\displaystyle \Sigma _{T}\sim N({\bar {\Sigma }},\sigma _{\Sigma })}$

Entonces, los coeficientes de cobertura son:

${\displaystyle a={\frac {1}{2{\bar {\Sigma }}+{\frac {\sigma _{\Sigma }^{2}}{\bar {\Sigma }}}}}}$

${\displaystyle b={\frac {\bar {\Sigma }}{2+{\frac {\sigma _{\Sigma }^{2}}{{\bar {\Sigma }}^{2}}}}}}$

La definición de la volatilidad realizada anualizada depende del punto de vista de los operadores sobre la observación del precio subyacente, que puede ser discreta o continua en el tiempo. Para la primera, con la construcción análoga a la del swap de varianza , si hay${\displaystyle n+1}$puntos de muestreo de los precios subyacentes observados, dice,${\displaystyle S_{t_{0}},S_{t_{1}},...,S_{t_{n}}}$ dónde${\displaystyle 0\leq t_{i-1}<t_{i}\leq T}$ para${\displaystyle i=1}$a${\displaystyle n}$. Definir${\displaystyle R_{i}=\ln(S_{t_{i}}/S_{t_{i-1}}),}$los rendimientos del logaritmo natural. Luego, la volatilidad realizada anualizada de muestreo discreto se define por

• ${\displaystyle \sigma _{\text{realizado}}:={\sqrt {{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}},}$

que básicamente es la raíz cuadrada de la varianza realizada anualizada . Aquí,${\displaystyle A}$denota un factor anualizado que comúnmente se selecciona como el número de precios observados en un año, es decir${\displaystyle A=252}$si el precio se monitorea diariamente o${\displaystyle A=52}$si se hace semanalmente.${\displaystyle T}$es la fecha de vencimiento del swap de volatilidad definido por${\displaystyle n/A}$.

La versión continua de la volatilidad anualizada realizada se define mediante la raíz cuadrada de la variación cuadrática del logaritmo del rendimiento del precio subyacente:

• ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realizado}}:={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}},}$

dónde${\displaystyle \sigma (s)}$es la volatilidad instantánea del activo subyacente. Una vez que el número de observaciones de precios aumenta hasta el infinito, se puede encontrar que${\displaystyle \sigma _{\text{realizado}}}$converge en probabilidad a${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realizado}}}$^{[ 2 ]} es decir

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}},}$

representando la interconexión y la coherencia entre ambos enfoques.

En general, para un activo subyacente específico, el objetivo principal de la valoración de swaps es encontrar un precio de ejercicio justo, ya que no existe ningún coste para formalizar el contrato. Uno de los enfoques más populares para lograr esta equidad es el método de valoración Martingala , que consiste en calcular el valor actual esperado de un instrumento derivado dado con respecto a una medida de probabilidad neutral al riesgo (o medida Martingala). La elección de dicha medida depende del modelo utilizado para describir la evolución del precio.

Matemáticamente hablando, si suponemos que el proceso de precios${\displaystyle S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}}$sigue el modelo Black-Scholes bajo la medida de martingala${\displaystyle \mathbb {Q} }$, entonces resuelve la siguiente EDE:

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)dt+\sigma (t)dW_{t},\;\;S_{0}>0}$

dónde:

• ${\displaystyle T}$representa la fecha de vencimiento del contrato de permuta,
• ${\displaystyle r(t)\in \mathbb {R} }$es la tasa de interés libre de riesgo (dependiente del tiempo),
• ${\displaystyle \sigma (t)>0}$es la volatilidad de precios (dependiente del tiempo), y
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}}$es un movimiento browniano bajo el espacio de probabilidad filtrado${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )}$dónde${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}}$es la filtración natural de${\displaystyle W}$.

Dado que sabemos que${\displaystyle (\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}})\times N_{\text{vol}}}$es el pago del swap de volatilidad al vencimiento en el caso de muestreo discreto (que se cambia a${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}}$para el caso continuo), entonces su valor esperado en el tiempo${\displaystyle t_{0}}$, denotado por${\displaystyle V_{t_{0}}}$es

${\displaystyle V_{t_{0}}=e^{\int _{t_{0}}^{T}r(s)ds}\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]\times N_{\text{vol}},}$

lo cual da

${\displaystyle K_{\text{vol}}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realised}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]}$

debido al precio cero del swap, definiendo el valor de un precio de ejercicio de volatilidad justa. La solución se puede descubrir de varias maneras. Por ejemplo, obtenemos la fórmula de precios en forma cerrada una vez que la función de distribución de probabilidad de${\displaystyle \sigma }_{\text{realized}}$o${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}}$se conoce, o se puede calcular numéricamente mediante el método de Monte Carlo . Alternativamente, bajo ciertas restricciones, se puede utilizar el valor de las opciones europeas para aproximar la solución. ^{[ 3 ]}

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