Tensor de velocidad de deformación

En mecánica de medios continuos , el tensor de velocidad de deformación o tensor de tasa de deformación es una magnitud física que describe la tasa de cambio de la deformación (es decir, la deformación relativa ) de un material en la vecindad de un punto determinado, en un momento dado. Puede definirse como la derivada del tensor de deformación con respecto al tiempo, o como la componente simétrica de la matriz jacobiana (derivada con respecto a la posición) de la velocidad del flujo . En mecánica de fluidos, también puede describirse como el gradiente de velocidad , una medida de cómo cambia la velocidad de un fluido entre diferentes puntos dentro del fluido. ^{[ 1 ]} Aunque el término puede referirse a un perfil de velocidad (variación de la velocidad a través de capas de flujo en una tubería), ^{[ 2 ]} a menudo se usa para referirse al gradiente de la velocidad de un flujo con respecto a sus coordenadas . ^{[ 3 ]} El concepto tiene implicaciones en diversas áreas de la física y la ingeniería , incluyendo la magnetohidrodinámica , la minería y el tratamiento de aguas. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

El tensor de velocidad de deformación es un concepto puramente cinemático que describe el movimiento macroscópico del material. Por lo tanto, no depende de la naturaleza del material ni de las fuerzas y tensiones que puedan actuar sobre él; y se aplica a cualquier medio continuo , ya sea sólido , líquido o gaseoso .

On the other hand, for any fluid except superfluids, any gradual change in its deformation (i.e. a non-zero strain rate tensor) gives rise to viscous forces in its interior, due to friction between adjacent fluid elements, that tend to oppose that change. At any point in the fluid, these stresses can be described by a viscous stress tensor that is, almost always, completely determined by the strain rate tensor and by certain intrinsic properties of the fluid at that point. Viscous stress also occur in solids, in addition to the elastic stress observed in static deformation; when it is too large to be ignored, the material is said to be viscoelastic.

By performing dimensional analysis, the dimensions of velocity gradient can be determined. The dimensions of velocity are ${\displaystyle {\mathsf {L^{1}T^{-1}}}}$, and the dimensions of distance are ${\displaystyle {\mathsf {L^{1}}}}$. Since the velocity gradient can be expressed as ${\displaystyle {\frac {\Delta {\text{velocidad}}}{\Delta {\text{distancia}}}}}$. Therefore, the velocity gradient has the same dimensions as this ratio, i.e., ${\displaystyle {\mathsf {T^{-1}}}}$.

In 3 dimensions, the gradient ${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$ of the velocity ${\displaystyle \mathbf {v} }$ is a second-order tensor which can be expressed as the matrix${\displaystyle \mathbf {L} }$: $${\displaystyle \mathbf {L} =\nabla \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}&{{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\ }\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \mathbf {L} }$ can be decomposed into the sum of a symmetric matrix${\displaystyle {\textbf {E}}}$ and a skew-symmetric matrix${\displaystyle {\textbf {W}}}$ as follows $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {L} +\mathbf {L} ^{\textsf {T}}\right)\\\mathbf {W} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {L} -\mathbf {L} ^{\textsf {T}}\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\textbf {E}}}$ is called the strain rate tensor and describes the rate of stretching and shearing. ${\displaystyle {\textbf {W}}}$ is called the spin tensor and describes the rate of rotation.^[7]

Sir Isaac Newton proposed that shear stress is directly proportional to the velocity gradient:^[8]$${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}.}$$

The constant of proportionality, ${\displaystyle \mu }$, is called the dynamic viscosity.

Consider a material body, solid or fluid, that is flowing and/or moving in space. Let v be the velocity field within the body; that is, a smooth function from R³ × R such that v(p, t) is the macroscopic velocity of the material that is passing through the point p at time t.

The velocity v(p + r, t) at a point displaced from p by a small vector r can be written as a Taylor series: $${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+(\nabla \mathbf {v} )(\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+{\text{términos de orden superior}},}$$ donde ∇ v es el gradiente del campo de velocidad, entendido como un mapeo lineal que transforma un vector de desplazamiento r en el cambio correspondiente en la velocidad.

Campo total v ( p + r ) .

Parte constante v ( p ) .

Parte lineal (∇ v )( p , t )( r ) .

Residuo no lineal.

El campo de velocidad v ( p + r , t ) de un flujo arbitrario alrededor de un punto p (punto rojo), en un instante t , y los términos de su aproximación de Taylor de primer orden alrededor de p . Se supone que la tercera componente de la velocidad (que sale de la pantalla) es cero en todas partes.

En un sistema de referencia arbitrario , ∇v está relacionado con la matriz jacobiana del campo, es decir , en 3 dimensiones es la matriz de 3  × 3. $${\displaystyle \left(\nabla \mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}\partial _{1}v_{1}&\partial _{2}v_{1}&\partial _{3}v_{1}\\\partial _{1}v_{2}&\partial _{2}v_{2}&\partial _{3}v_{2}\\\partial _{1}v_{3}&\partial _{2}v_{3}&\partial _{3}v_{3}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} .}$$ donde v _i es la componente de v paralela al eje i y ∂ _j f denota la derivada parcial de una función f con respecto a la coordenada espacial x _j . Nótese que J es una función de p y t .

En este sistema de coordenadas, la aproximación de Taylor para la velocidad cerca de p es $${\displaystyle v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}J_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)r_{j};}$$ o simplemente $${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {J} (\mathbf {p} ,t)\mathbf {r} }$$

si v y r se consideran matrices de 3  ×  1.

Partes simétricas y antisimétricas

La parte simétrica E ( p , t )( r ) (tasa de deformación) del término lineal del flujo de ejemplo.

La parte antisimétrica R ( p , t )( r ) (rotación) del término lineal.

Cualquier matriz puede descomponerse en la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica . Aplicando esto a la matriz jacobiana con componentes simétricas y antisimétricas E y R respectivamente: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} +\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)&\mathbf {R} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} -\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)\\E_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}+\partial _{i}v_{j}\right)&R_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}-\partial _{i}v_{j}\right)\end{aligned}}}$$

Esta descomposición es independiente del sistema de coordenadas y, por lo tanto, tiene significado físico. Entonces, el campo de velocidad puede aproximarse como $${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)\approx \mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ),}$$ eso es, $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}E_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}+\sum _{j}R_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}\\&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)-\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}\end{aligned}}}$$

El término antisimétrico R representa una rotación de tipo rígido del fluido alrededor del punto p . Su velocidad angular${\displaystyle {\vec {\omega }}}$es $${\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\partial _{2}v_{3}-\partial _{3}v_{2}\\\partial _{3}v_{1}-\partial _{1}v_{3}\\\partial _{1}v_{2}-\partial _{2}v_{1}\end{bmatrix}}.}$$

El producto ∇ × v se denomina vorticidad del campo vectorial. Una rotación rígida no altera las posiciones relativas de los elementos del fluido, por lo que el término antisimétrico R del gradiente de velocidad no contribuye a la tasa de cambio de la deformación. Por consiguiente, la tasa de deformación real se describe mediante el término simétrico E , que es el tensor de tasa de deformación .

Velocidad de cizallamiento y velocidad de compresión

La parte esférica S ( p , t )( r ) (tasa de expansión o compresión uniforme) del tensor de velocidad de deformación E ( p , t )( r ) .

La parte desviadora D ( p , t )( r ) (velocidad de corte) del tensor de velocidad de deformación E ( p , t )( r ) .

El término simétrico E (el tensor de tasa de deformación) se puede descomponer aún más como la suma de un escalar por el tensor unitario, que representa una expansión o contracción isotrópica gradual; y un tensor simétrico sin traza que representa una deformación de corte gradual, sin cambio de volumen: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )=\mathbf {S} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {D} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ).}$$

Eso es, $${\displaystyle E_{ij}=\underbrace {{\frac {1}{3}}\left(\sum _{k}\partial _{k}v_{k}\right)\delta _{ij}} _{{\text{rate-of-expansion tensor }}S_{ij}}+\underbrace {\overbrace {{\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}v_{j}+\partial _{j}v_{i}\right)} ^{E_{ij}}-S_{ij}} _{{\text{rate-of-shear tensor }}D_{ij}},}$$

Aquí δ es el tensor identidad , de modo que δ _ij es 1 si i = j y 0 si i ≠ j . Esta descomposición es independiente de la elección del sistema de coordenadas y, por lo tanto, tiene significado físico.

La traza del tensor de tasa de expansión es la divergencia del campo de velocidad: $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\partial _{1}v_{1}+\partial _{2}v_{2}+\partial _{3}v_{3};}$$ que es la tasa a la que aumenta el volumen de una cantidad fija de fluido en ese punto.

El tensor de velocidad de corte se representa mediante una matriz simétrica de 3  ×  3 y describe un flujo que combina procesos de compresión y expansión a lo largo de tres ejes ortogonales, de manera que no se produce variación de volumen. Este tipo de flujo se da, por ejemplo, cuando se estira una tira de goma al tirar de sus extremos, o cuando la miel cae de una cuchara formando un chorro continuo y uniforme.

Para un flujo bidimensional, la divergencia de v tiene solo dos términos y cuantifica el cambio de área en lugar del de volumen. En ese caso, el factor 1/3 en el término de tasa de expansión debe reemplazarse por 1/2 .

El estudio de los gradientes de velocidad es útil para analizar materiales dependientes de la trayectoria y en el estudio posterior de tensiones y deformaciones; por ejemplo, la deformación plástica de metales . ^{[ 3 ]} El gradiente de velocidad cerca de la pared de los reactivos no quemados que fluyen desde un tubo es un parámetro clave para caracterizar la estabilidad de la llama. ^{[ 5 ] : 1–3} El gradiente de velocidad de un plasma puede definir las condiciones para las soluciones de ecuaciones fundamentales en magnetohidrodinámica. ^{[ 4 ]}

• Tensor de estrés (desambiguación)
• Teoría de deformación finita §  Derivada temporal del gradiente de deformación , el gradiente de velocidad espacial y material de la mecánica de medios continuos