Tensor de tensión viscosa

Las tensiones mecánicas internas en un medio continuo generalmente están relacionadas con la deformación del material a partir de un estado de reposo (sin tensión). Estas tensiones suelen incluir un componente elástico ("estático") , que está relacionado con la magnitud actual de la deformación y actúa para devolver el material a su estado de reposo; y un componente viscoso , que depende de la velocidad a la que cambia la deformación con el tiempo y se opone a dicho cambio.

Al igual que las tensiones totales y elásticas, la tensión viscosa alrededor de un punto determinado del material, en cualquier momento, puede modelarse mediante un tensor de tensiones, una relación lineal entre el vector de dirección normal de un plano ideal que pasa por el punto y la densidad de tensión local en ese plano en ese punto.

En cualquier sistema de coordenadas elegido con ejes numerados 1, 2, 3, este tensor de tensión viscosa se puede representar como una matriz  de 3 ×  3 de números reales:

${\displaystyle \varepsilon (P,t)={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,.}$

Tenga en cuenta que estos números suelen cambiar con el punto

${\displaystyle P=(x_{P},y_{P},z_{P})\,.}$

y tiempo t .

Consideremos un elemento de superficie plana infinitesimal centrado en el punto p , representado por un vector dA cuya longitud es el área del elemento y cuya dirección es perpendicular a él. Sea dF la fuerza infinitesimal debida a la tensión viscosa que se aplica a través de ese elemento de superficie al material del lado opuesto a dA . Las componentes de dF a lo largo de cada eje de coordenadas vienen dadas por:

${\displaystyle dF_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}\,dA_{j}\,.}$

En cualquier material, el tensor de tensión total σ es la suma del tensor de tensión viscosa ε , el tensor de tensión elástica τ y la presión hidrostática p . En un material perfectamente fluido, que por definición no puede tener tensión cortante estática, el tensor de tensión elástica es cero:

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\varepsilon _{ij}\,,}$

donde δ _ij es el tensor identidad , de modo que δ _ij es 1 si i = j y 0 si i ≠ j .

Si bien las tensiones viscosas se generan por fenómenos físicos que dependen en gran medida de la naturaleza del medio, el tensor de tensión viscosa ε es solo una descripción de las fuerzas momentáneas locales entre porciones adyacentes del material, y no una propiedad del material.

Ignorando el par de torsión sobre un elemento debido al flujo (par de torsión "extrínseco"), el par de torsión "intrínseco" viscoso por unidad de volumen sobre un elemento de fluido se escribe (como un tensor antisimétrico ) como

${\displaystyle \tau _{ij}=\varepsilon _{ij}-\varepsilon _{ji}}$

y representa la tasa de cambio de la densidad de momento angular intrínseco con el tiempo. Si las partículas tienen grados de libertad rotacionales, esto implicará un momento angular intrínseco y si este momento angular puede cambiar por colisiones, es posible que este momento angular intrínseco pueda cambiar en el tiempo, resultando en un torque intrínseco que no es cero, lo que implicará que el tensor de tensión viscosa tendrá un componente antisimétrico con un coeficiente de viscosidad rotacional correspondiente . ^{[ 1 ]} Si las partículas del fluido tienen un momento angular despreciable o si su momento angular no está acoplado apreciablemente al momento angular externo, o si el tiempo de equilibrio entre los grados de libertad externos e internos es prácticamente cero, el torque será cero y el tensor de tensión viscosa será simétrico. Las fuerzas externas pueden resultar en un componente asimétrico en el tensor de tensión (por ejemplo, fluidos ferromagnéticos que pueden sufrir torque por campos magnéticos externos ).

En un flujo suave, la velocidad a la que cambia la deformación local del medio con el tiempo (la tasa de deformación) se puede aproximar mediante un tensor de tasa de deformación E ( p , t ) , que generalmente es una función del punto p y del tiempo t . Con respecto a cualquier sistema de coordenadas, se puede expresar mediante una matriz de 3  × 3. 

El tensor de velocidad de deformación E ( p , t ) se puede definir como la derivada del tensor de deformación e ( p , t ) con respecto al tiempo, o, equivalentemente, como la parte simétrica del gradiente (derivada con respecto al espacio) del vector de velocidad de flujo v ( p , t ) :

${\displaystyle E={\frac {\partial e}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left((\nabla v)+(\nabla v)^{\textsf {T}}\right)\,,}$

donde ∇ v denota el gradiente de velocidad. En coordenadas cartesianas, ∇ v es la matriz jacobiana ,

${\displaystyle (\nabla v)_{ij}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle E_{ij}={\frac {\partial e_{ij}}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right)\,.}$

En cualquier caso, el tensor de velocidad de deformación E ( p , t ) expresa la tasa a la que cambia la velocidad media en el medio al alejarse del punto p , salvo los cambios debidos a la rotación del medio alrededor de p como un cuerpo rígido, que no modifican las distancias relativas de las partículas y solo contribuyen a la parte rotacional de la tensión viscosa mediante la rotación de las partículas individuales. (Estos cambios comprenden la vorticidad del flujo, que es el rotacional (rotacional) ∇ × v de la velocidad; que también es la parte antisimétrica del gradiente de velocidad ∇ v ).

El tensor de tensión viscosa es solo una aproximación lineal de las tensiones alrededor de un punto p , y no tiene en cuenta los términos de orden superior de su serie de Taylor . Sin embargo, en casi todas las situaciones prácticas, estos términos pueden ignorarse, ya que se vuelven despreciables en las escalas donde se genera la tensión viscosa y afecta el movimiento del medio. Lo mismo puede decirse del tensor de velocidad de deformación E como representación del patrón de velocidad alrededor de p .

Así, los modelos lineales representados por los tensores E y ε son casi siempre suficientes para describir la tensión viscosa y la tasa de deformación alrededor de un punto, con el fin de modelar su dinámica . En particular, la tasa de deformación local E ( p , t ) es la única propiedad del flujo de velocidad que afecta directamente a la tensión viscosa ε ( p , t ) en un punto dado.

Por otro lado, la relación entre E y ε puede ser bastante compleja y depende en gran medida de la composición, el estado físico y la estructura microscópica del material. Además, suele ser altamente no lineal y puede depender de las deformaciones y tensiones que haya experimentado previamente el material en las proximidades del punto en cuestión.

Se dice que un medio es newtoniano si la tensión viscosa ε ( p , t ) es una función lineal de la tasa de deformación E ( p , t ) , y esta función no depende de las tensiones ni del movimiento del fluido alrededor de p . Ningún fluido real es perfectamente newtoniano, pero se puede suponer que muchos fluidos importantes, incluidos los gases y el agua, lo son, siempre que las tensiones de flujo y las tasas de deformación no sean demasiado elevadas.

En general, una relación lineal entre dos tensores de segundo orden es un tensor de cuarto orden. En un medio newtoniano, específicamente, la tensión viscosa y la velocidad de deformación están relacionadas por el tensor de viscosidad μ :

${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\sum _{kl}2{\boldsymbol {\mu }}_{ijkl}E_{kl}\,.}$

El coeficiente de viscosidad μ es una propiedad de un material newtoniano que, por definición, no depende de v ni de σ .

El tensor de velocidad de deformación E ( p , t ) es simétrico por definición, por lo que solo tiene seis elementos linealmente independientes. Por lo tanto, el tensor de viscosidad μ tiene solo 6  ×  9 =  54 grados de libertad en lugar de 81. En la mayoría de los fluidos, el tensor de tensión viscosa también es simétrico, lo que reduce aún más el número de parámetros de viscosidad a 6  ×  6 =  36.

En un medio newtoniano isótropo (es decir, cuyas propiedades son las mismas en todas las direcciones), cada parte del tensor de tensiones está relacionada con una parte correspondiente del tensor de velocidad de deformación.

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{\text{v}}(p,t)&=2\mu ^{\text{v}}E^{\text{v}}(p,t)\,,\\\varepsilon ^{\text{s}}(p,t)&=2\mu ^{\text{s}}E^{\text{s}}(p,t)\,,\end{aligned}}}$

donde E ^v y E ^s son las partes escalar isotrópica y de traza cero del tensor de velocidad de deformación E , y μ ^v y μ ^s son dos números reales. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, en este caso el tensor de viscosidad μ tiene solo dos parámetros independientes.

La parte de traza cero E ^s de E es un tensor simétrico de 3  ×  3 que describe la velocidad a la que el medio se deforma por cizallamiento, sin tener en cuenta los cambios de volumen. Por lo tanto, la parte de traza cero ε ^s de ε es la conocida tensión de cizallamiento viscosa asociada a la deformación progresiva por cizallamiento . Se trata de la tensión viscosa que se produce en un fluido que se mueve a través de un tubo de sección transversal uniforme ( flujo de Poiseuille ) o entre dos placas paralelas móviles ( flujo de Couette ), y que se opone a dichos movimientos.

La parte E ^v de E actúa como un multiplicador escalar (como ε ^v ), la tasa de expansión promedio del medio alrededor del punto en cuestión. (Se representa en cualquier sistema de coordenadas mediante una matriz diagonal de 3 × 3 con  valores  iguales en la diagonal). Numéricamente es igual a 1/3 de la divergencia de la velocidad .

${\displaystyle \nabla \cdot v=\sum _{k}{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{k}}}\,,}$

lo cual, a su vez, es la tasa relativa de cambio de volumen del fluido debido al flujo.

Por lo tanto, la parte escalar εv de ε representa una tensión que puede observarse cuando el material se comprime o expande a la misma velocidad en todas las direcciones. Se manifiesta como una presión adicional ^que aparece únicamente durante la compresión, pero (a diferencia de la presión hidrostática real) es proporcional a la velocidad de cambio de la compresión, no a la magnitud de la misma, y ​​desaparece en cuanto el volumen deja de variar.

Esta parte de la tensión viscosa, generalmente denominada viscosidad volumétrica, suele ser importante en los materiales viscoelásticos y es responsable de la atenuación de las ondas de presión en el medio. La viscosidad volumétrica puede despreciarse cuando el material se considera incompresible (por ejemplo, al modelar el flujo de agua en un canal).

El coeficiente μ ^v , a menudo denotado por η , se llama coeficiente de viscosidad volumétrica (o "segunda viscosidad"); mientras que μ ^s es el coeficiente de viscosidad común (de cizallamiento).