Teorema min-max

En álgebra lineal y análisis funcional , el teorema min-max , o teorema variacional , o principio min-max de Courant - Fischer - Weyl , es un resultado que proporciona una caracterización variacional de los autovalores de operadores hermíticos compactos en espacios de Hilbert . Puede considerarse el punto de partida de muchos resultados de naturaleza similar.

Este artículo analiza primero el caso de dimensión finita y sus aplicaciones antes de considerar los operadores compactos en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Para los operadores compactos, la demostración del teorema principal utiliza esencialmente la misma idea que en el caso de dimensión finita.

En el caso de que el operador no sea hermitiano, el teorema proporciona una caracterización equivalente de los valores singulares asociados . El teorema min-max puede extenderse a operadores autoadjuntos acotados inferiormente.

Matrices

Sea $A$ una matriz hermitiana $de n \times n$ . Al igual que con muchos otros resultados variacionales sobre valores propios, se considera el cociente de Rayleigh - Ritz $R$ $A$ $:$ $C$ $n$ $\ {0} →$ $R$ definido por

R_{A}(x)={\frac {(Ax,x)}{(x,x)}}

donde $(\cdot, \cdot)$ denota el producto interno euclidiano en $C n$ .

El cociente de Rayleigh de un vector propio $v$ es su valor propio asociado $\lambda$ porque $R_{A}(v)=(\lambda x,x)/(x,x)=\lambda$ Para una matriz hermitiana A , el rango de las funciones continuas R _A ( x ) es un intervalo compacto [ a , b ] de la recta real. El valor máximo de b y el valor mínimo de a son, respectivamente, el mayor y el menor autovalor de A. El teorema min-max es un refinamiento de este hecho.

Teorema min-max

Dejar ${\textstyle A}$ ser hermitiano en un espacio de producto interno ${\textstyle V}$ con dimensión ${\textstyle n}$ , con el espectro ordenado en orden descendente ${\textstyle \lambda _ {1} \geq ... \geq \lambda _ {n}}$ .

Dejar ${\textstyle v_{1},...,v_{n}}$ sean los vectores propios ortogonales de longitud unitaria correspondientes.

Invierta el orden del espectro, de modo que ${\textstyle \xi _{1}=\lambda _{n},...,\xi _{n}=\lambda _{1}}$ .

(Desigualdad de Poincaré) — Dejemos ${\textstyle M}$ ser un subespacio de ${\textstyle V}$ con dimensión ${\textstyle k}$ , entonces existen vectores unitarios ${\textstyle x,y\in M}$ , de tal manera que

${\textstyle \langle x,Ax\rangle \leq \lambda _ {k}}$ , y ${\textstyle \langle y,Ay\rangle \geq \xi _{k}}$ .

Prueba

La parte 2 es un corolario, utilizando ${\textstyle -A}$ .

${\textstyle M}$ es un ${\textstyle k}$ subespacio dimensional, por lo que si elegimos cualquier lista de ${\textstyle n-k+1}$ vectores, su extensión ${\textstyle N:=span(v_{k},...v_{n})}$ deben intersecarse ${\textstyle M}$ en al menos una sola línea.

Tomar unidad ${\textstyle x\in M\cap N}$ Eso es lo que necesitamos.

{\textstyle x=\sum _{i=k}^{n}a_{i}v_{i}}

, desde

{\textstyle x\in N}

.

Desde

{\textstyle \sum _{i=k}^{n}|a_{i}|^{2}=1}

, encontramos

{\textstyle \langle x,Ax\rangle =\sum _{i=k}^{n}|a_{i}|^{2}\lambda _{i}\leq \lambda _{k}}

.

teorema minimax — ${\begin{aligned}\lambda _{k}&=\max _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=k\end{array}}\min _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle \\&=\min _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=n-k+1\end{array}}\max _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle {\text{. }}\end{aligned}}$

Prueba

La parte 2 es un corolario de la parte 1, mediante el uso de ${\textstyle -A}$ .

Por la desigualdad de Poincaré, ${\textstyle \lambda _{k}}$ es un límite superior hacia el lado derecho.

Al establecer ${\textstyle {\mathcal {M}}=span(v_{1},...v_{k})}$ Se alcanza el límite superior.

Defina la traza parcial ${\textstyle tr_{V}(A)}$ ser el rastro de la proyección de ${\textstyle A}$ a ${\textstyle V}$ Es igual a ${\textstyle \sum _ {i}v_ {i}^{*}Av_ {i}}$ dada una base ortonormal de ${\textstyle V}$ .

Fórmula minimax de Wielandt ( ^[¹^]^:⁴⁴ ) — Sea ${\textstyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ sean números enteros. Defina una bandera parcial para que sea una colección anidada. ${\textstyle V_{1}\subset \cdots \subset V_{k}}$ de subespacios de ${\textstyle \mathbb {C} ^{n}}$ de tal manera que ${\textstyle \operatorname {dim} \left(V_{j}\right)=i_{j}}$ a pesar de ${\textstyle 1\leq j\leq k}$ .

Defina la variedad de Schubert asociada. ${\textstyle X\left(V_{1},\ldots ,V_{k}\right)}$ ser la colección de todos ${\textstyle k}$ subespacios dimensionales ${\textstyle W}$ de tal manera que ${\textstyle \operatorname {dim} \left(W\cap V_{j}\right)\geq j}$ .

$\lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)=\sup _{V_{1},\ldots ,V_{k}}\inf _{W\in X\left(V_{1},\ldots ,V_{k}\right)}tr_{W}(A)$

Prueba

El ${\textstyle \leq }$ caso.

Dejar ${\textstyle V_{j}=span(e_{1},\dots,e_{i_{j}})}$ y cualquier ${\textstyle W\in X\left(V_{1},\ldots ,V_{k}\right)}$ , queda por demostrar que $\lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)\leq tr_{W}(A)$

Para demostrar esto, construimos un conjunto ortonormal de vectores. ${\textstyle v_{1},\dots ,v_{k}}$ de tal manera que ${\textstyle v_{j}\in V_{j}\cap W}$ . Entonces ${\textstyle tr_{W}(A)\geq \sum _{j}\langle v_{j},Av_{j}\rangle \geq \lambda _{i_{j}}(A)}$

Desde ${\textstyle dim(V_{1}\cap W)\geq 1}$ , elegimos cualquier unidad ${\textstyle v_{1}\in V_{1}\cap W}$ . A continuación, dado que ${\textstyle dim(V_{2}\cap W)\geq 2}$ , elegimos cualquier unidad ${\textstyle v_{2}\in (V_{2}\cap W)}$ que es perpendicular a ${\textstyle v_{1}}$ , etcétera.

El ${\textstyle \geq }$ caso.

Para cualquier secuencia de subespacios de este tipo ${\textstyle V_{i}}$ , debemos encontrar algunos ${\textstyle W\in X\left(V_{1},\ldots ,V_{k}\right)}$ de tal manera que $\lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)\geq tr_{W}(A)$

Ahora lo demostramos por inducción.

El ${\textstyle n=1}$ El caso es el teorema de Courant-Fischer. Supongamos ahora ${\textstyle n\geq 2}$ .

Si ${\textstyle i_{1}\geq 2}$ , entonces podemos aplicar la inducción. Sea ${\textstyle E=span(e_{i_{1}},\dots ,e_{n})}$ . Construimos una bandera parcial dentro ${\textstyle E}$ desde la intersección de ${\textstyle E}$ con ${\textstyle V_{1},\dots ,V_{k}}$ .

Comenzamos eligiendo un ${\textstyle (i_{k}-(i_{1}-1))}$ subespacio de dimensión ${\textstyle W_{k}'\subset E\cap V_{i_{k}}}$ , que existe al contar dimensiones. Esto tiene codimensión ${\textstyle (i_{1}-1)}$ dentro ${\textstyle V_{i_{k}}}$ .

Luego bajamos un espacio para elegir un ${\textstyle (i_{k-1}-(i_{1}-1))}$ subespacio de dimensión ${\textstyle W_{k-1}'\subset W_{k}\cap V_{i_{k-1}}}$ . Esto todavía existe. Etc. Ahora desde ${\textstyle dim(E)\leq n-1}$ , aplicamos la hipótesis de inducción, existe alguna ${\textstyle W\in X(W_{1},\dots ,W_{k})}$ de tal manera que $\lambda _{i_{1}-(i_{1}-1)}(A|E)+\cdots +\lambda _{i_{k}-(i_{1}-1)}(A|E)\geq tr_{W}(A)$ Ahora ${\textstyle \lambda _{i_{j}-(i_{1}-1)}(A|E)}$ es el ${\textstyle (i_{j}-(i_{1}-1))}$ -el autovalor de ${\textstyle A}$ proyectado ortogonalmente hacia abajo hasta ${\textstyle E}$ . Por el teorema de entrelazamiento de Cauchy, ${\textstyle \lambda _{i_{j}-(i_{1}-1)}(A|E)\leq \lambda _{i_{j}}(A)}$ . Desde ${\textstyle X(W_{1},\dots ,W_{k})\subset X(V_{1},\dots ,V_{k})}$ Hemos terminado.

Si ${\textstyle i_{1}=1}$ , entonces realizamos una construcción similar. Sea ${\textstyle E=span(e_{2},\dots ,e_{n})}$ . Si ${\textstyle V_{k}\subset E}$ Entonces podemos inducir. De lo contrario, construimos una secuencia de banderas parcial. ${\textstyle W_{2},\dots ,W_{k}}$ Por inducción, existe alguna ${\textstyle W'\in X(W_{2},\dots ,W_{k})\subset X(V_{2},\dots ,V_{k})}$ , de tal manera que $\lambda _{i_{2}-1}(A|E)+\cdots +\lambda _{i_{k}-1}(A|E)\geq tr_{W'}(A)$ de este modo $\lambda _{i_{2}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)\geq tr_{W'}(A)$ Y queda por encontrar algunos ${\textstyle v}$ de tal manera que ${\textstyle W'\oplus v\in X(V_{1},\dots ,V_{k})}$ .

Si ${\textstyle V_{1}\not \subset W'}$ , entonces cualquier ${\textstyle v\in V_{1}\setminus W'}$ funcionaría. De lo contrario, si ${\textstyle V_{2}\not \subset W'}$ , entonces cualquier ${\textstyle v\in V_{2}\setminus W'}$ funcionaría, y así sucesivamente. Si ninguna de estas funciona, entonces significa ${\textstyle V_{k}\subset E}$ , contradicción.

Esto tiene algunos corolarios: ^{[ 1 ]}^{: 44}

traza parcial extremal — $\lambda _{1}(A)+\dots +\lambda _{k}(A)=\sup _{\operatorname {dim} (V)=k}tr_{V}(A)$

$\xi _{1}(A)+\dots +\xi _{k}(A)=\inf _{\operatorname {dim} (V)=k}tr_{V}(A)$

Corolario — La suma ${\textstyle \lambda _{1}(A)+\dots +\lambda _{k}(A)}$ es una función convexa y ${\textstyle \xi _{1}(A)+\dots +\xi _{k}(A)}$ es cóncavo.

(Desigualdad de Schur-Horn) $\xi _{1}(A)+\dots +\xi _{k}(A)\leq a_{i_{1},i_{1}}+\dots +a_{i_{k},i_{k}}\leq \lambda _{1}(A)+\dots +\lambda _{k}(A)$ para cualquier subconjunto de índices.

Equivalentemente, esto indica que el vector diagonal de ${\textstyle A}$ está mayoritariamente determinado por su espectro propio.

Desigualdad de Hölder según la norma Schatten : dado hermitiano ${\textstyle A,B}$ y la pareja de Hölder ${\textstyle 1/p+1/q=1}$ , $|\operatorname {tr} (AB)|\leq \|A\|_{S^{p}}\|B\|_{S^{q}}$

Prueba

WLOG, ${\textstyle B}$ Si está diagonalizado, entonces necesitamos demostrar ${\textstyle |\sum _{i}B_{ii}A_{ii}|\leq \|A\|_{S^{p}}\|(B_{ii})\|_{l^{q}}}$

Según la desigualdad de Hölder estándar, basta con demostrar ${\textstyle \|(A_{ii})\|_{l^{p}}\leq \|A\|_{S^{p}}}$

Por la desigualdad de Schur-Horn, las diagonales de ${\textstyle A}$ están mayoritariamente por el espectro propio de ${\textstyle A}$ y dado que el mapa ${\textstyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\|x\|_{p}}$ Si es simétrica y convexa, es Schur-convexa.

Contraejemplo en el caso no hermitiano

Sea N la matriz nilpotente

{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.

Defina el cociente de Rayleigh. $R_{N}(x)$ Exactamente igual que en el caso hermitiano. Entonces es fácil ver que el único autovalor de N es cero, mientras que el valor máximo del cociente de Rayleigh es $1/2$ $.$ $Es decir$ , el valor máximo del cociente de Rayleigh es mayor que el autovalor máximo $.$

Aplicaciones

Principio de mínimo-máximo para valores singulares

Los valores singulares { σ _k } de una matriz cuadrada M son las raíces cuadradas de los valores propios de M * M (o equivalentemente MM* ). Una consecuencia inmediata de la primera igualdad del teorema min-max es:

\sigma _{k}^{\downarrow }=\max _{S:\dim(S)=k}\min _{x\in S,\|x\|=1}(M^{*}Mx,x)^{\frac {1}{2}}=\max _{S:\dim(S)=k}\min _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.

Similarmente,

\sigma _{k}^{\downarrow }=\min _{S:\dim(S)=n-k+1}\max _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.

Aquí $\sigma _{k}^{\downarrow }$ denota la k ^-ésima entrada en la secuencia decreciente de los valores singulares, de modo que $\sigma _{1}^{\downarrow }\geq \sigma _{2}^{\downarrow }\geq \cdots$ .

teorema de entrelazamiento de Cauchy

Sea $A$ una matriz simétrica n × n . La matriz B m × m , donde m ≤ n , se denomina compresión de $A$ si existe una proyección ortogonal P sobre un subespacio de dimensión m tal que PAP* = B. El teorema de entrelazamiento de Cauchy establece:

Teorema. Si los autovalores de

A

son

α 1 \leq ... \leq α n

, y los de B son

β 1 \leq ... \leq β j \leq ... \leq β m

, entonces para todo

j \leq m

,

\alpha _{j}\leq \beta _{j}\leq \alpha _{n-m+j}.

Esto se puede demostrar utilizando el principio min-max. Sea β _i su vector propio correspondiente b _i y S _j el subespacio j- dimensional $S j = span{b 1, ..., b j},$ entonces

\beta _{j}=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(Bx,x)=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)\geq \min _{S_{j}}\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)=\alpha _{j}.

Según la primera parte de min-max, $α j \leq β j .$ Por otro lado, si definimos $S m - j +1 = span{b j, ..., b m},$ entonces

\beta _{j}=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(Bx,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)\leq \alpha _{n-m+j},

donde la última desigualdad viene dada por la segunda parte de min-max.

Cuando $n - m = 1$ , tenemos $α j \leq β j \leq α j +1$ , de ahí el nombre de teorema de entrelazamiento .

La desigualdad de Lidskii

Desigualdad de Lidskii — Si ${\textstyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ entonces ${\begin{aligned}&\lambda _{i_{1}}(A+B)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A+B)\\&\quad \leq \lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)+\lambda _{1}(B)+\cdots +\lambda _{k}(B)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\lambda _{i_{1}}(A+B)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A+B)\\&\quad \geq \lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)+\xi _{1}(B)+\cdots +\xi _{k}(B)\end{aligned}}$

Prueba

La segunda es la negativa de la primera. La primera es por el algoritmo minimax de Wielandt.

${\begin{aligned}&\lambda _{i_{1}}(A+B)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A+B)\\=&\sup _{V_{1},\dots ,V_{k}}\inf _{W\in X(V_{1},\dots ,V_{k})}(tr_{W}(A)+tr_{W}(B))\\=&\sup _{V_{1},\dots ,V_{k}}(\inf _{W\in X(V_{1},\dots ,V_{k})}tr_{W}(A)+tr_{W}(B))\\\leq &\sup _{V_{1},\dots ,V_{k}}(\inf _{W\in X(V_{1},\dots ,V_{k})}tr_{W}(A)+(\lambda _{1}(B)+\cdots +\lambda _{k}(B)))\\=&\lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)+\lambda _{1}(B)+\cdots +\lambda _{k}(B)\end{aligned}}$

Tenga en cuenta que $\sum _{i}\lambda _{i}(A+B)=tr(A+B)=\sum _{i}\lambda _{i}(A)+\lambda _{i}(B)$ . En otras palabras, $\lambda (A+B)-\lambda (A)\preceq \lambda (B)$ dónde $\preceq$ significa mayorización . Por el teorema de convexidad de Schur, entonces tenemos

Desigualdad de p-Wielandt-Hoffman — ${\textstyle \|\lambda (A+B)-\lambda (A)\|_{\ell ^{p}}\leq \|B\|_{S^{p}}}$ dónde ${\textstyle \|\cdot \|_{S^{p}}}$ representa la norma p-Schatten.

Operadores compactos

Sea $A$ un operador hermitiano compacto en un espacio de Hilbert H. Recordemos que el espectro no nulo de dicho operador consta de autovalores reales con multiplicidades finitas cuyo único punto de acumulación posible es cero. Si $A$ tiene infinitos autovalores positivos, estos se acumulan en cero. En este caso, enumeramos los autovalores positivos de $A$ como

\cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots \leq \lambda _{1},

donde las entradas se repiten con multiplicidad , como en el caso de la matriz. (Para enfatizar que la secuencia es decreciente, podemos escribir $\lambda _{k}=\lambda _{k}^{\downarrow }$ .) Ahora aplicamos el mismo razonamiento que en el caso de la matriz. Si S _k ⊂ H es un subespacio de dimensión k , podemos obtener el siguiente teorema.

Teorema (Min-Max). Sea

A

un operador compacto y autoadjunto en un espacio de Hilbert

H

, cuyos autovalores positivos se enumeran en orden decreciente

... \leq λ k \leq ... \leq λ 1

. Entonces:

{\begin{aligned}\max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow },\\\min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow }.\end{aligned}}

Un par de igualdades similares se cumplen para los valores propios negativos.

Prueba

Sea S' el cierre del segmento lineal. $S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}$ El subespacio S' tiene codimensión k − 1. Por el mismo argumento de conteo de dimensiones que en el caso de la matriz, S' ∩ S _k tiene dimensión positiva. Por lo tanto, existe x ∈ S' ∩ S _k con $\|x\|=1$ . Dado que es un elemento de S' , tal x necesariamente satisface

(Ax,x)\leq \lambda _{k}.

Por lo tanto, para todo S _k

\inf _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}

Pero $A$ es compacto, por lo tanto la función f ( x ) = ( Ax , x ) es débilmente continua. Además, cualquier conjunto acotado en H es débilmente compacto. Esto nos permite reemplazar el ínfimo por el mínimo:

\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.

Entonces

\sup _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.

Porque la igualdad se logra cuando $S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}$ ,

\max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.

Esta es la primera parte del teorema min-max para operadores autoadjuntos compactos.

Análogamente, consideremos ahora un subespacio S _k_{−1 -dimensional} $(k - 1 )$ , cuyo complemento ortogonal se denota por S _k₋₁^⊥ . Si S' = span{ u ₁ ... u _k },

S'\cap S_{k-1}^{\perp }\neq {0}.

Entonces

\exists x\in S_{k-1}^{\perp }\,\|x\|=1,(Ax,x)\geq \lambda _{k}.

Esto implica

\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}

donde se aplicó la compacidad de A. Indexar lo anterior mediante la colección de subespacios k-1- dimensionales da

\inf _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}.

Elija S _{k −1} = span{ u ₁ , ..., u _{k −1} } y deducimos

\min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.

Operadores autoadjuntos

El teorema min-max también se aplica a operadores autoadjuntos (posiblemente no acotados). ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Recordemos que el espectro esencial es el espectro sin autovalores aislados de multiplicidad finita. A veces tenemos algunos autovalores por debajo del espectro esencial, y nos gustaría aproximar los autovalores y las autofunciones.

Teorema (Min-Max). Sea A un conjunto autoadjunto y sea

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

Sean los autovalores de A por debajo del espectro esencial. Entonces

${\displaystyle E_{n}=\min _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}\max\{\langle \psi ,A\psi \rangle$ .

Si solo tenemos N valores propios y, por lo tanto, nos quedamos sin valores propios, entonces dejamos $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ (el fondo del espectro esencial) para n>N , y la afirmación anterior se mantiene después de reemplazar min-max con inf-sup.

Teorema (Max-Min). Sea A un conjunto autoadjunto y sea

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

Sean los autovalores de A por debajo del espectro esencial. Entonces

${\displaystyle E_{n}=\max _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1}}\min\{\langle \psi ,A\psi \rangle$ .

Si solo tenemos N valores propios y, por lo tanto, nos quedamos sin valores propios, entonces dejamos $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ (el fondo del espectro esencial) para n > N , y la afirmación anterior se mantiene después de reemplazar max-min con sup-inf.

Las demostraciones ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} utilizan los siguientes resultados sobre operadores autoadjuntos:

Teorema. Sea A un conjunto autoadjunto. Entonces

(A-E)\geq 0

para

E\in \mathbb {R}

si y solo si

\sigma (A)\subseteq [E,\infty )

. ^{[ 2 ]}^{: 77}

Teorema. Si A es autoadjunto, entonces

$\inf \sigma (A)=\inf _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle$

y

$\sup \sigma (A)=\sup _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle$ . ^{[ 2 ]}^{: 77}

Véase también

Referencias

1 2 Tao, Terence (2012). Temas de teoría de matrices aleatorias . Estudios de posgrado en matemáticas. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-7430-1.
1 2 3 4 G. Teschl, Métodos matemáticos en mecánica cuántica (GSM 99) https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf
1 2 Lieb; Pérdida (2001). Análisis . GSM. Vol. 14 (2.ª ed.). Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2783-9.

Enlaces externos y citas a trabajos relacionados

Fisk, Steve (2005). "Una demostración muy breve del teorema de entrelazamiento de Cauchy para valores propios de matrices hermíticas". arXiv : math/0502408 .
Hwang, Suk-Geun (2004). "Teorema de entrelazamiento de Cauchy para valores propios de matrices hermíticas" . The American Mathematical Monthly . 111 (2): 157– 159. doi : 10.2307/4145217 . JSTOR 4145217 .
Kline, Jeffery (2020). "Matrices hermíticas con borde y sumas de la función de Möbius" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 588 : 224–237 . doi : 10.1016/j.laa.2019.12.004 .
Reed, Michael; Simon, Barry (1978). Métodos de física matemática moderna IV: Análisis de operadores . Academic Press. ISBN 978-0-08-057045-7.
Edmunds, DE; Evans, WD (2018). «11.1 El principio Max-Min para operadores semiacotados y autoadjuntos» . Teoría espectral y operadores diferenciales . Publicaciones científicas de Oxford (2.ª ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-881205-0.

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[lieb-loss-3] 1 2 Lieb; Pérdida (2001). Análisis . GSM. Vol. 14 (2.ª ed.). Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2783-9.

[ 2 ]

[ 3 ]