Criterio de valoración

En matemáticas , específicamente en geometría algebraica , los criterios de valoración son un conjunto de resultados que permiten decidir si un morfismo de variedades algebraicas , o más generalmente esquemas , es universalmente cerrado , separado o propio .

Recordemos que un anillo de valuación A es un dominio, por lo que si K es el cuerpo de fracciones de A , entonces Spec K es el punto genérico de Spec A.

Sean X e Y esquemas, y sea f  : X → Y un morfismo de esquemas. Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

1. f está separada (respectivamente, es universalmente cerrada, respectivamente, es propia)
2. f es cuasi-separado (resp. cuasi-compacto , resp. de tipo finito y cuasi-separado) y para cada anillo de valuación A , si Y' = Spec A y X' denota el punto genérico de Y' , entonces para cada morfismo Y' → Y y cada morfismo X' → X que eleva el punto genérico, entonces existe como máximo una (resp. al menos una, resp. exactamente una) elevación Y ' → X.

La condición de elevación es equivalente a especificar que el morfismo natural

${\displaystyle {\text{Hom}}_{Y}(Y',X)\to {\text{Hom}}_{Y}(\operatorname {Spec} K,X)}$

es inyectiva (resp. sobreyectiva, resp. biyectiva).

Además, en el caso especial en que Y es (localmente) noetheriano , basta con comprobar el caso en que A es un anillo de valuación discreta .

• Grothendieck, Alejandro ; Jean Dieudonné (1961). "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la colaboración de Jean Dieudonné)  : II. Étude globale élémentaire de quelques classs de morfismos" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 : 5– 222. doi : 10.1007/bf02699291 . Archivado desde el original el 12 de enero de 2017 . Consultado el 12 de agosto de 2008 .