Semiespacio (geometría)

En geometría , un semiplano es cualquiera de las dos partes en que un plano divide el espacio euclidiano tridimensional . ^{[ 1 ]} Si el espacio es bidimensional , entonces un semiplano se llama semiplano ( abierto o cerrado). ^{[ 2 ] [ 3 ]} Un semiplano en un espacio unidimensional se llama semirrecta ^{[ 4 ]} o rayo .

En términos más generales, un semiplano es cualquiera de las dos partes en las que un hiperplano divide un espacio n- dimensional . Es decir, los puntos que no son incidentes al hiperplano se dividen en dos conjuntos convexos (es decir, semiplanos), de tal manera que cualquier subespacio que conecte un punto de un conjunto con un punto del otro debe intersecar el hiperplano. ^{[ 5 ]}

Un semiplano puede ser abierto o cerrado . Un semiplano abierto es cualquiera de los dos conjuntos abiertos que resultan de la resta de un hiperplano al espacio afín. Un semiplano cerrado es la unión de un semiplano abierto y el hiperplano que lo define.

El semiespacio superior abierto (cerrado) es el semiespacio de todos${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$de tal manera que${\displaystyle x_{n}\geq 0}$(${\displaystyle x_{n}>0}$). El semiespacio inferior abierto (cerrado) se define de manera similar, requiriendo que${\displaystyle x_{n}}$ser negativo (no positivo).

Un semiplano puede especificarse mediante una desigualdad lineal, derivada de la ecuación lineal que especifica el hiperplano que lo define. Una desigualdad lineal estricta especifica un semiplano abierto: $${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b.}$$ Una definición no estricta especifica un semi-espacio cerrado: $${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\geq b.}$$ Aquí se supone que no todos los números reales a ₁ , a ₂ , ..., a _n son cero.

Un semiplano es un conjunto convexo .

• Hemisferio (geometría)
• Línea (geometría)
• Polígono de Nef , construcción de poliedros mediante semiplanos.
• Modelo de semiplano de Poincaré
• Cuadrante (geometría sólida)
• Semiespacio superior de Siegel

• "Semiplano" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Medio espacio" . MathWorld .