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Clase de universalidad

En mecánica estadística , una clase de universalidad [ 1 ] es un conjunto de modelos matemáticos que comparten un límite invariante de escala bajo el flujo del grupo de renormal...

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En mecánica estadística , una clase de universalidad [ 1 ] es un conjunto de modelos matemáticos que comparten un límite invariante de escala bajo el flujo del grupo de renormalización . Si bien los modelos dentro de una clase pueden diferir en escalas finitas, su comportamiento se vuelve cada vez más similar a medida que se aproxima a la escala límite. En particular, fenómenos asintóticos como los exponentes críticos son los mismos para todos los modelos de la clase.

Ejemplos bien estudiados incluyen las clases de universalidad del modelo de Ising o la teoría de la percolación en sus respectivos puntos de transición de fase ; ambas son familias de clases, una para cada dimensión de la red. Típicamente, una familia de clases de universalidad tiene una dimensión crítica inferior y superior : por debajo de la dimensión crítica inferior, la clase de universalidad se vuelve degenerada (esta dimensión es 2 para el modelo de Ising, o para la percolación dirigida, pero 1 para la percolación no dirigida), y por encima de la dimensión crítica superiord∗{\displaystyle d^{*}}Los exponentes críticos se estabilizan y pueden calcularse mediante un análogo de la teoría de campo medio (esta dimensión esd∗=4{\displaystyle d^{*}=4}para Ising o para percolación dirigida, y 6 para percolación no dirigida).

Definición de exponentes críticos

Los exponentes críticos caracterizan la variación de ciertas propiedades físicas del sistema a medida que el parámetro de control se acerca al punto crítico. Para las transiciones impulsadas por la temperatura, generalmente se define la temperatura reducida.τ=(T−Tdo)/Tdo{\displaystyle \tau =(T-T_{c})/T_{c}}y para pequeños|τ|{\displaystyle |\tau |}varios observables siguen leyes de potencia deτ{\displaystyle \tau }:

  • El exponenteα{\displaystyle \alpha }es el exponente que relaciona el calor específico C con la temperatura reducida: tenemosdo=τ−α{\displaystyle C=\tau ^{-\alpha }}. El calor específico generalmente será singular en el punto crítico, pero el signo menos en la definición deα{\displaystyle \alpha }permite que siga siendo positivo.
  • El exponenteβ{\displaystyle \beta }relaciona el parámetro de ordenΨ{\displaystyle \Psi }a la temperatura. A diferencia de la mayoría de los exponentes críticos, se supone que es positivo, ya que el parámetro de orden suele ser cero en el punto crítico. Por lo tanto, tenemosΨ=|τ|β{\displaystyle \Psi =|\tau |^{\beta }}.
  • El exponenteγ{\displaystyle \gamma }relaciona la temperatura con la respuesta del sistema a una fuerza impulsora externa o campo fuente. TenemosdΨ/dJ=τ−γ{\displaystyle d\Psi /dJ=\tau ^{-\gamma }}, siendo J la fuerza impulsora.
  • El exponenteδ{\displaystyle \delta }relaciona el parámetro de orden con el campo fuente a la temperatura crítica, donde esta relación se vuelve no lineal. TenemosJ=Ψδ{\displaystyle J=\Psi ^{\delta }}(por esoΨ=J1/δ{\displaystyle \Psi =J^{1/\delta }}), con los mismos significados que antes.
  • El exponenteν{\displaystyle \nu }relaciona el tamaño de las correlaciones (es decir, parches de la fase ordenada) con la temperatura; lejos del punto crítico, estas se caracterizan por una longitud de correlación.ξ{\displaystyle \xi }. Tenemosξ=τ−ν{\displaystyle \xi =\tau ^{-\nu }}.
  • El exponenteη{\displaystyle \eta }mide el tamaño de las correlaciones a la temperatura crítica. Se define de modo que la función de correlación del parámetro de orden se escala comor−d+2−η{\displaystyle r^{-d+2-\eta }}.
  • El exponenteσ{\displaystyle \sigma }, utilizado en la teoría de la percolación , mide el tamaño de los cúmulos más grandes (aproximadamente, los bloques ordenados más grandes) a 'temperaturas' (probabilidades de conexión) por debajo del punto crítico. Por lo tanto,smáximo∼(pagdo−pag)−1/σ{\displaystyle s_{\max }\sim (p_{c}-p)^{-1/\sigma }}.
  • El exponenteτ{\displaystyle \tau }, también de la teoría de la percolación , mide el número de cúmulos de tamaño s lejos desmáximo{\displaystyle s_{\max }}(o el número de clústeres en el punto crítico):nortes∼s−τF(s/smáximo){\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }f(s/s_{\max })}, con elF{\displaystyle f}factor eliminado con probabilidad crítica.

Los exponentes críticos son independientes de los detalles microscópicos del modelo, pero dependen de la dimensionalidad, la simetría y el rango de interacciones (es decir, solo dependen de la clase de universalidad). En casos excepcionales, los exponentes críticos que rigen los comportamientos por debajo y por encima del punto crítico no son los mismos .

Lista de exponentes críticos

Para las simetrías, el grupo enumerado da la simetría del parámetro de orden. El grupoSnorte{\displaystyle \mathrm {S} _ {n}}es el grupo simétrico de n elementos ,O(norte){\displaystyle O(n)}es el grupo ortogonal en n dimensiones,Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}es el grupo cíclico de orden 2 (paridad o simetría de Ising), y 1 es el grupo trivial . El resultado de la teoría de campo medio se indica con (MF). En el modelo bidimensional de Ashkin-Teller, los exponentes en general dependen continuamente de un parámetro a lo largo de la línea crítica. [ 2 ] El modelo esférico puede verse como elnorte→∞{\displaystyle n\to \infty }límite de laO(norte){\displaystyle O(n)}simetría. [ 3 ]

modelo de Ising

Esta sección enumera los exponentes críticos de la transición ferromagnética en el modelo de Ising. En física estadística, el modelo de Ising es el sistema más simple que exhibe una transición de fase continua con un parámetro de orden escalar yZ2{\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}Simetría. Los exponentes críticos de la transición son valores universales y caracterizan las propiedades singulares de las magnitudes físicas. La transición ferromagnética del modelo de Ising establece una importante clase de universalidad, que contiene una variedad de transiciones de fase tan diferentes como el ferromagnetismo cerca del punto de Curie y la opalescencia crítica del líquido cerca de su punto crítico .

Desde el punto de vista de la teoría cuántica de campos , los exponentes críticos pueden expresarse en términos de dimensiones de escala de los operadores locales.σ,ϵ,ϵ′{\displaystyle \sigma ,\epsilon ,\epsilon '}de la teoría de campos conformes que describe la transición de fase [ 12 ] (En la descripción de Ginzburg-Landau , estos son los operadores normalmente llamadosϕ,ϕ2,ϕ4{\displaystyle \phi ,\phi ^{2},\phi ^{4}}Estas expresiones se dan en la última columna de la tabla anterior y se utilizaron para calcular los valores de los exponentes críticos utilizando los valores de las dimensiones del operador de la siguiente tabla:

En d=2, los exponentes críticos del modelo de Ising crítico bidimensional se pueden calcular exactamente utilizando el modelo mínimo.METRO3,4{\displaystyle M_{3,4}}En d=4, se trata de la teoría escalar sin masa libre (también conocida como teoría de campo medio ). Estas dos teorías se resuelven exactamente, y las soluciones exactas proporcionan los valores que se muestran en la tabla.

La teoría d=3 aún no está resuelta exactamente. Los resultados más precisos provienen del bootstrap conforme . [ 6 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] Estos son los valores reportados en las tablas. Los métodos del grupo de renormalización , [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] las simulaciones de Monte-Carlo , [ 23 ] y el regulador de esfera difusa [ 24 ] dan resultados que concuerdan con el bootstrap conforme, pero son varios órdenes de magnitud menos precisos.

Clase de universalidad Berezinskii-Kosterlitz-Thouless

La transición de fase presente en el modelo XY bidimensional y en los superconductores se rige por una clase de universalidad distinta, la transición de Berezinskii-Kosterlitz-Thouless . [ 2 ] La fase desordenada (fase de alta temperatura) contiene vórtices libres, mientras que la fase ordenada (fase de baja temperatura) contiene vórtices ligados. En la transición de fase, la energía libre y todas sus derivadas son continuas, por lo que se trata de una transición de orden infinito en la clasificación de Ehrenfest .

Las cantidades termodinámicas no muestran singularidades de ley de potencias, como sucede en las transiciones de fase de segundo orden. En cambio, por encima del punto crítico(T>Tdo){\displaystyle (T>T_{c})}, la longitud de correlación escala comoξ∼exp⁡(b|T−Tdo|−ν){\displaystyle \xi \sim \exp(b|T-T_{c}|^{-\nu })}, dóndeb{\displaystyle b}es una constante yν=1/2{\displaystyle \nu =1/2}La susceptibilidad es entoncesχ∼ξ2−η(T){\displaystyle \chi \sim \xi ^{2-\eta (T)}}, dóndeη(T){\displaystyle \eta (T)}depende de la temperatura (yη(Tdo)=1/4{\displaystyle \eta (T_{c})=1/4}). El calor específico es finito enTdo{\displaystyle T_{c}}La función de correlación de dos puntos se escala comoGRAMO(r)∼r−η(T){\displaystyle G(r)\sim r^{-\eta (T)}}paraT<Tdo{\displaystyle T<T_{c}}, mientras se comporta comoGRAMO(r)∼exp⁡(−r/ξ){\displaystyle G(r)\sim \exp(-r/\xi )}paraT>Tdo{\displaystyle T>T_{c}}.

Fenómenos de crecimiento

En el crecimiento epitaxial , [ 25 ] [ 26 ] hay un cambio en la rugosidad de las superficies, de atómicamente planas a rugosas. La fluctuación cuadrática media en la altura de la superficie en evolución (que caracteriza la rugosidad) aumenta a medida quew(t)∼tβ{\displaystyle w(t)\sim t^{\beta }}inicialmente, y finalmente se satura en un valor que depende del tamaño.w(L)∼Lα{\displaystyle w(L)\sim L^{\alpha }}.β{\displaystyle \beta }se denomina exponente de crecimiento yα{\displaystyle \alpha }es el exponente de rugosidad. El tiempo de transición entre los dos regímenes depende del tamaño del sistema comotincógnita∼Lz{\displaystyle t_{x}\sim L^{z}}, dóndez{\displaystyle z}es el exponente dinámico que obedece la ley de escalaz=α/β{\displaystyle z=\alfa /\beta }. El modelo de Arcetri (con una dimensión crítica superior)d∗=2{\displaystyle d^{*}=2}) se sitúa entre las ecuaciones de Edwards-Wilkinson y Kardar-Parisi-Zhang de forma análoga al lugar que ocupa el modelo esférico entre la teoría de campo medio y el modelo de Ising.

Para obtener una lista de valores medidos experimentalmente de estos exponentes, se puede consultar [ 27 ] .

Referencias

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Lecturas adicionales

  • Clases de universalidad de Sklogwiki
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