Modelo crítico de Ising bidimensional

El modelo crítico de Ising bidimensional es el límite crítico del modelo de Ising en dos dimensiones. Es una teoría de campos conformes bidimensional cuya álgebra de simetría es el álgebra de Virasoro con la carga central . Las funciones de correlación de los operadores de espín y energía se describen mediante el modelo mínimo . Si bien el modelo mínimo se ha resuelto exactamente (véase exponentes críticos de Ising ), la solución no abarca otras observables, como las conectividades de los cúmulos. ${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle (4,3)}$

La tabla de Kac del modelo mínimo es: ${\displaystyle (4,3)}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}2&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{16}}&0\\1&0&{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &1&2&3\end{array}}}$

Esto significa que el espacio de estados es generado por tres estados primarios , que corresponden a tres campos u operadores primarios: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}\hline {\text{Índices de la tabla Kac}}&{\text{Dimensión}}&{\text{Campo primario}}&{\text{Nombre}}\\\hline (1,1){\text{ o }}(3,2)&0&\mathbf {1} &{\text{Identidad}}\\(2,1){\text{ o }}(2,2)&{\frac {1}{16}}&\sigma &{\text{Espín}}\\(1,2){\text{ o }}(3,1)&{\frac {1}{2}}&\epsilon &{\text{Energía}}\\\hline \end{array}}}$

La descomposición del espacio de estados en representaciones irreducibles del producto de las álgebras de Virasoro que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha es

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {R}}_{0}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{0}\oplus {\mathcal {R}}_{\frac {1}{16}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{\frac {1}{16}}\oplus {\mathcal {R}}_{\frac {1}{2}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{\frac {1}{2}}}$

donde es la representación irreducible de mayor peso del álgebra de Virasoro con la dimensión conforme . En particular, el modelo de Ising es diagonal y unitario. ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\Delta}}$${\displaystyle \Delta }$

Los caracteres de las tres representaciones del álgebra de Virasoro que aparecen en el espacio de estados son ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{0}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+1)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+7)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {\eta (q)}}}}\left({\sqrt {\theta _{3}(0|q)}}+{\sqrt {\theta _{4}(0|q)}}\right)\\\chi _{\frac {1}{16}}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+2)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+10)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\eta (q)}}}{\sqrt {\theta _{2}(0|q)}}\\\chi _{\frac {1}{2}}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+5)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+11)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {\eta (q)}}}}\left({\sqrt {\theta _{3}(0|q)}}-{\sqrt {\theta _{4}(0|q)}}\right)\end{aligned}}}$

donde es la función eta de Dedekind , y son funciones theta del nomo , por ejemplo . La matriz S modular , es decir, la matriz tal que , es ^{[ 1 ].}${\displaystyle \eta (q)}$${\displaystyle \theta _{i}(0|q)}$${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$${\displaystyle \theta _{3}(0|q)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }q^{\frac {n^{2}}{2}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \chi _{i}(-{\tfrac {1}{\tau }})=\sum _{j}{\mathcal {S}}_{ij}\chi _{j}(\tau )}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\left({\begin{array}{ccc}1&1&{\sqrt {2}}\\1&1&-{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0\end{array}}\right)}$

donde los campos están ordenados como . La función de partición invariante modular es${\displaystyle 1,\epsilon ,\sigma }$

${\displaystyle Z(q)=\left|\chi _{0}(q)\right|^{2}+\left|\chi _{\frac {1}{16}}(q)\right|^{2}+\left|\chi _{\frac {1}{2}}(q)\right|^{2}={\frac {|\theta _{2}(0|q)|+|\theta _{3}(0|q)|+|\theta _{4}(0|q)|}{2|\eta (q)|}}}$

Las reglas de fusión del modelo son

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} \times \mathbf {1} &=\mathbf {1} \\\mathbf {1} \times \sigma &=\sigma \\\mathbf {1} \times \epsilon &=\epsilon \\\sigma \times \sigma &=\mathbf {1} +\epsilon \\\sigma \times \epsilon &=\sigma \\\epsilon \times \epsilon &=\mathbf {1} \end{aligned}}}$

Las reglas de fusión son invariantes bajo la simetría . Las constantes de estructura de tres puntos son ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \sigma \to -\sigma }$

${\displaystyle C_{\mathbf {1} \mathbf {1} \mathbf {1} }=C_{\mathbf {1} \epsilon \epsilon }=C_{\mathbf {1} \sigma \sigma }=1\quad ,\quad C_{\sigma \sigma \epsilon }={\frac {1}{2}}}$

Conociendo las reglas de fusión y las constantes de estructura de tres puntos, es posible escribir expansiones de productos de operadores, por ejemplo

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (z)\sigma (0)&=|z|^{2\Delta _{\mathbf {1} }-4\Delta _{\sigma }}C_{\mathbf {1} \sigma \sigma }{\Big (}\mathbf {1} (0)+O(z){\Big )}+|z|^{2\Delta _{\epsilon }-4\Delta _{\sigma }}C_{\sigma \sigma \epsilon }{\Big (}\epsilon (0)+O(z){\Big )}\\&=|z|^{-{\frac {1}{4}}}{\Big (}\mathbf {1} (0)+O(z){\Big )}+{\frac {1}{2}}|z|^{\frac {3}{4}}{\Big (}\epsilon (0)+O(z){\Big )}\end{aligned}}}$

donde son las dimensiones conformes de los campos primarios, y los términos omitidos son contribuciones de campos descendientes . ${\displaystyle \Delta _{\mathbf {1} },\Delta _{\sigma },\Delta _{\epsilon }}$${\displaystyle O(z)}$

Cualquier función de uno, dos o tres puntos de campos primarios está determinada por la simetría conforme salvo una constante multiplicativa. Esta constante se fija en uno para las funciones de uno y dos puntos mediante la elección de normalizaciones de campo. Las únicas cantidades dinámicas no triviales son las constantes de estructura de tres puntos, que se dieron anteriormente en el contexto de las expansiones de productos de operadores.

${\displaystyle \left\langle \mathbf {1} (z_{1})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\right\rangle =0\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\right\rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {1} (z_{1})\mathbf {1} (z_{2})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\right\rangle =|z_{12}|^{-{\frac {1}{4}}}\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\epsilon (z_{2})\right\rangle =|z_{12}|^{-2}}$

con . ${\displaystyle z_{ij}=z_{i}-z_{j}}$

${\displaystyle \langle \mathbf {1} \sigma \rangle =\langle \mathbf {1} \epsilon \rangle =\langle \sigma \epsilon \rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {1} (z_{1})\mathbf {1} (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle =|z_{12}|^{-{\frac {1}{4}}}\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\epsilon (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle =|z_{12}|^{-2}}$

${\displaystyle \left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\epsilon (z_{3})\right\rangle ={\frac {1}{2}}|z_{12}|^{\frac {3}{4}}|z_{13}|^{-1}|z_{23}|^{-1}}$

${\displaystyle \langle \mathbf {1} \mathbf {1} \sigma \rangle =\langle \mathbf {1} \mathbf {1} \epsilon \rangle =\langle \mathbf {1} \sigma \epsilon \rangle =\langle \sigma \epsilon \epsilon \rangle =\langle \sigma \sigma \sigma \rangle =\langle \epsilon \epsilon \epsilon \rangle =0}$

Las tres funciones de cuatro puntos no triviales son del tipo . Para una función de cuatro puntos , sean y los bloques conformes de Virasoro de canal s y t , que corresponden respectivamente a las contribuciones de (y sus descendientes) en la expansión del producto de operadores , y de (y sus descendientes) en la expansión del producto de operadores . Sea la razón cruzada . ${\displaystyle \langle \sigma ^{4}\rangle ,\langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle ,\langle \epsilon ^{4}\rangle }$${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}V_{i}(z_{i})\right\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}^{(s)}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}^{(t)}}$${\displaystyle V_{j}(z_{2})}$${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})}$${\displaystyle V_{j}(z_{4})}$${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{4}(z_{4})}$${\displaystyle x={\frac {z_{12}z_{34}}{z_{13}z_{24}}}}$

En el caso de , las reglas de fusión permiten solo un campo primario en todos los canales, a saber, el campo identidad. ^{[ 2 ]}${\displaystyle \langle \epsilon ^{4}\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \epsilon ^{4}\rangle =\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}\right|^{2}=\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}\right|^{2}\\&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}={\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}=\left[\prod _{1\leq i<j\leq 4}z_{ij}^{-{\frac {1}{3}}}\right]{\frac {1-x+x^{2}}{x^{\frac {2}{3}}(1-x)^{\frac {2}{3}}}}\ {\underset {(z_{i})=(x,0,\infty ,1)}{=}}\ {\frac {1}{x(1-x)}}-1\end{aligned}}}$

En el caso de , las reglas de fusión permiten solo el campo identidad en el canal s y el campo de espín en el canal t. ^{[ 2 ]}${\displaystyle \langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle =\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}\right|^{2}=C_{\sigma \sigma \epsilon }^{2}\left|{\mathcal {F}}_{\sigma }^{(t)}\right|^{2}={\frac {1}{4}}\left|{\mathcal {F}}_{\sigma }^{(t)}\right|^{2}\\&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}={\frac {1}{2}}{\mathcal {F}}_{\sigma }^{(t)}=\left[z_{12}^{\frac {1}{4}}z_{34}^{-{\frac {5}{8}}}\left(z_{13}z_{24}z_{14}z_{23}\right)^{-{\frac {3}{16}}}\right]{\frac {1-{\frac {x}{2}}}{x^{\frac {3}{8}}(1-x)^{\frac {5}{16}}}}\ {\underset {(z_{i})=(x,0,\infty ,1)}{=}}\ {\frac {1-{\frac {x}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{2}}}}\end{aligned}}}$

En el caso de , las reglas de fusión permiten dos campos primarios en todos los canales: el campo identidad y el campo de energía. ^{[ 2 ]} En este caso escribimos los bloques conformes solo en el caso: el caso general se obtiene insertando el prefactor , e identificando con la razón cruzada. ${\displaystyle \langle \sigma ^{4}\rangle }$${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})=(x,0,\infty ,1)}$${\displaystyle x^{\frac {1}{24}}(1-x)^{\frac {1}{24}}\prod _{1\leq i<j\leq 4}z_{ij}^{-{\frac {1}{24}}}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \sigma ^{4}\rangle &=\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}\right|^{2}+{\frac {1}{4}}\left|{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}\right|^{2}=\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}\right|^{2}+{\frac {1}{4}}\left|{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(t)}\right|^{2}\\&={\frac {|1+{\sqrt {x}}|+|1-{\sqrt {x}}|}{2|x|^{\frac {1}{4}}|1-x|^{\frac {1}{4}}}}\ {\underset {x\in (0,1)}{=}}\ {\frac {1}{|x|^{\frac {1}{4}}|1-x|^{\frac {1}{4}}}}\end{aligned}}}$

En el caso de , los bloques conformes son: ${\displaystyle \langle \sigma ^{4}\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}={\frac {\sqrt {\frac {1+{\sqrt {1-x}}}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\ ,\;\;{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}={\frac {\sqrt {2-2{\sqrt {1-x}}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\\&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}={\frac {{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}}{\sqrt {2}}}+{\frac {{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {\frac {1+{\sqrt {x}}}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\ ,\;\;{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(t)}={\sqrt {2}}{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}-{\frac {{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2-2{\sqrt {x}}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\end{aligned}}}$

A partir de la representación del modelo en términos de fermiones de Dirac , es posible calcular funciones de correlación de cualquier número de operadores de espín o energía: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{2n}\epsilon (z_{i})\right\rangle ^{2}=\left|\det \left({\frac {1}{z_{ij}}}\right)_{1\leq i\neq j\leq 2n}\right|^{2}}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{2n}\sigma (z_{i})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{\begin{array}{c}\epsilon _{i}=\pm 1\\\sum _{i=1}^{2n}\epsilon _{i}=0\end{array}}\prod _{1\leq i<j\leq 2n}|z_{ij}|^{\frac {\epsilon _{i}\epsilon _{j}}{2}}}$

Estas fórmulas tienen generalizaciones a funciones de correlación en el toro, que involucran funciones theta . ^{[ 1 ]}

El modelo de Ising bidimensional se mapea a sí mismo mediante una dualidad de alta y baja temperatura. La imagen del operador de espín bajo esta dualidad es un operador de desorden , que tiene las mismas dimensiones conformes izquierda y derecha . Aunque el operador de desorden no pertenece al modelo mínimo, las funciones de correlación que lo involucran pueden calcularse exactamente, por ejemplo ^{[ 1 ].}${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (\Delta _{\mu },{\bar {\Delta }}_{\mu })=(\Delta _{\sigma },{\bar {\Delta }}_{\sigma })=({\tfrac {1}{16}},{\tfrac {1}{16}})}$

${\displaystyle \left\langle \sigma (z_{1})\mu (z_{2})\sigma (z_{3})\mu (z_{4})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {|z_{13}z_{24}|}{|z_{12}z_{34}z_{23}z_{14}|}}}{\Big (}|x|+|1-x|-1{\Big )}}$

mientras

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}\mu (z_{i})\right\rangle ^{2}=\left\langle \prod _{i=1}^{4}\sigma (z_{i})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {|z_{13}z_{24}|}{|z_{12}z_{34}z_{23}z_{14}|}}}{\Big (}|x|+|1-x|+1{\Big )}}$

El modelo de Ising se describe como un modelo de clúster aleatorio debido a Fortuin y Kasteleyn. En esta descripción, las observables naturales son las conectividades de los clústeres, es decir, las probabilidades de que un número de puntos pertenezca al mismo clúster. El modelo de Ising puede entonces verse como el caso del modelo de Potts de -estados , cuyo parámetro puede variar continuamente y está relacionado con la carga central del álgebra de Virasoro . ${\displaystyle q=2}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

En el límite crítico, las conectividades de los cúmulos tienen el mismo comportamiento bajo transformaciones conformes que las funciones de correlación del operador de espín. Sin embargo, las conectividades no coinciden con las funciones de correlación de espín: por ejemplo, la conectividad de tres puntos no se anula, mientras que . Hay cuatro conectividades de cuatro puntos independientes, y su suma coincide con . ^{[ 3 ]} Otras combinaciones de conectividades de cuatro puntos no se conocen analíticamente. En particular, no están relacionadas con las funciones de correlación del modelo mínimo, ^{[ 4 ]} aunque sí están relacionadas con el límite de los correladores de espín en el modelo de Potts de -estados. ^{[ 3 ]}${\displaystyle \langle \sigma \sigma \sigma \rangle =0}$${\displaystyle \langle \sigma \sigma \sigma \sigma \rangle }$${\displaystyle q\to 2}$${\displaystyle q}$