Unitaridad

En mecánica cuántica, cada estado se describe como un vector en el espacio de Hilbert . Cuando se realiza una medición, es conveniente describir este espacio utilizando una base vectorial en la que cada vector base tiene un resultado definido de la medición ; por ejemplo, una base vectorial de momento definido en caso de que se mida el momento. El operador de medición es diagonal en esta base. ^{[ 3 ]}

La probabilidad de obtener un resultado medido particular depende de la amplitud de probabilidad , dada por el producto interno del estado físico.${\displaystyle |\psi \rangle }$con los vectores base${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$que diagonalizan el operador de medición. Para un estado físico que se mide después de que ha evolucionado en el tiempo, la amplitud de probabilidad se puede describir mediante el producto interno del estado físico después de la evolución temporal con los vectores base relevantes, o equivalentemente mediante el producto interno del estado físico con los vectores base que evolucionan hacia atrás en el tiempo. Usando el operador de evolución temporal${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$, tenemos: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.e^{-i{\hat {H}}(-t)/\hbar }\phi _{i}\right|\psi \right\rangle }$

Pero por definición de conjugación hermitiana , esto también es:

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}\left(e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\right)^{\dagger }\right|\psi \right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}e^{-i{\hat {H}}^{\dagger }(-t)/\hbar }\right|\psi \right\rangle }$

Dado que estas igualdades son verdaderas para cualquier par de vectores, obtenemos

${\displaystyle {\hat {H}}^{\dagger }={\hat {H}}}$

Esto significa que el hamiltoniano es hermitiano y el operador de evolución temporal${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$es unitario .

Dado que, según la regla de Born, la norma determina la probabilidad de obtener un resultado particular en una medición, la unitariedad, junto con la regla de Born, garantiza que la suma de probabilidades sea siempre uno. Además, la unitariedad, junto con la regla de Born, implica que los operadores de medición en la representación de Heisenberg describen efectivamente cómo se espera que evolucionen los resultados de la medición en el tiempo.

Que el operador de evolución temporal sea unitario equivale a que el hamiltoniano sea hermitiano . De forma equivalente, esto significa que las energías medidas posibles, que son los autovalores del hamiltoniano, son siempre números reales.

La unitariedad de la matriz S implica, entre otras cosas, el teorema óptico . Esto se puede ver de la siguiente manera: ^{[ 5 ]}

La matriz S se puede escribir como:

${\displaystyle S=1+iT}$

dónde${\displaystyle T}$es la parte de la matriz S que se debe a las interacciones; por ejemplo${\displaystyle T=0}$Esto simplemente implica que la matriz S es 1, no se produce ninguna interacción y todos los estados permanecen sin cambios.

Unitaridad de la matriz S:

${\displaystyle S^{\dagger }S=1}$

es entonces equivalente a:

${\displaystyle -i\left(TT^{\dagger }\right)=T^{\dagger }T}$

El lado izquierdo es el doble de la parte imaginaria de la matriz S. Para ver qué es el lado derecho, observemos cualquier elemento específico de esta matriz, por ejemplo, entre algún estado inicial.${\displaystyle |I\rangle }$y estado final${\displaystyle \langle F|}$, cada uno de los cuales puede incluir muchas partículas. El elemento de la matriz es entonces:

${\displaystyle \left\langle F\left|T^{\dagger }T\right|I\right\rangle =\sum _{i}\left\langle F|T^{\dagger }|A_{i}\right\rangle \left\langle A_{i}|T|I\right\rangle }$

donde {A _i } es el conjunto de posibles estados en la capa de masas, es decir, estados de momento de las partículas (o complejo ligado de partículas) en el infinito.

Así, el doble de la parte imaginaria de la matriz S es igual a una suma que representa productos de contribuciones de todas las dispersiones del estado inicial de la matriz S a cualquier otro estado físico en el infinito, con las dispersiones de este último al estado final de la matriz S. Dado que la parte imaginaria de la matriz S puede calcularse mediante partículas virtuales que aparecen en estados intermedios de los diagramas de Feynman , se deduce que estas partículas virtuales deben consistir únicamente en partículas reales que también pueden aparecer como estados finales. El aparato matemático que se utiliza para garantizar esto incluye la simetría de gauge y, a veces, también los fantasmas de Faddeev-Popov .

Según el teorema óptico, la amplitud de probabilidad M (= iT) para cualquier proceso de dispersión debe cumplir

${\displaystyle |M|^{2}=2\operatorname {Im} (M)}$

Límites de unitariedad similares implican que las amplitudes y la sección transversal no pueden aumentar demasiado con la energía o deben disminuir tan rápidamente como lo dicte una fórmula determinada. Por ejemplo, el límite de Froissart dice que la sección transversal total de la dispersión de dos partículas está limitada por${\displaystyle c\ln ^{2}s}$, dónde${\displaystyle c}$es una constante, y${\displaystyle s}$es el cuadrado de la energía del centro de masas. (Véase Variables de Mandelstam )