Operador antiunitario

En matemáticas , una transformación antiunitaria es una función antilineal biyectiva .

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}\,}$

entre dos espacios de Hilbert complejos tales que

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}}$

para todos y en , donde la barra horizontal representa el conjugado complejo . Si además se tiene entonces se llama operador antiunitario . ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$$Estilo de visualización H_{1}$$Estilo de visualización: H_{1}=H_{2}$${\estilo de visualización U}$

Los operadores antiunitarios son importantes en la mecánica cuántica porque se utilizan para representar ciertas simetrías , como la inversión del tiempo . ^[1] Su importancia fundamental en la física cuántica queda demostrada además por el teorema de Wigner .

En mecánica cuántica , las transformaciones de invariancia del espacio de Hilbert complejo dejan invariante el valor absoluto del producto escalar: ${\estilo de visualización H}$

${\displaystyle |\langle Tx,Ty\rangle |=|\langle x,y\rangle |}$

para todos y en . ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización H}$

Debido al teorema de Wigner, estas transformaciones pueden ser unitarias o antiunitarias.

Las congruencias del plano forman dos clases distintas. La primera conserva la orientación y se genera por traslaciones y rotaciones. La segunda no conserva la orientación y se obtiene a partir de la primera clase aplicando una reflexión. En el plano complejo estas dos clases corresponden (hasta la traslación) a unitarias y antiunitarias, respectivamente.

• ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle }$se cumple para todos los elementos del espacio de Hilbert y un antiunitario .${\estilo de visualización x,y}$${\estilo de visualización U}$
• Cuando es antiunitario entonces es unitario. Esto se deduce de${\estilo de visualización U}$$Estilo de visualización U^{2}}$$${\displaystyle \left\langle U^{2}x,U^{2}y\right\rangle ={\overline {\langle Ux,Uy\rangle }}=\langle x,y\rangle .}$$
• Para el operador unitario , el operador , donde es una conjugación compleja (con respecto a alguna base ortogonal), es antiunitario. Lo inverso también es cierto, para antiunitario el operador es unitario.${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización VK}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización U}$${\displaystyle Reino Unido}$
• Para antiunitario se cambia la definición del operador adjunto para compensar la conjugación compleja, quedando así${\estilo de visualización U}$${\displaystyle U^{*}}$$${\displaystyle \langle Ux,y\rangle ={\overline {\left\langle x,U^{*}y\right\rangle }}.}$$
• El adjunto de un antiunitario también es antiunitario y (Esto no debe confundirse con la definición de operadores unitarios , ya que el operador antiunitario no es lineal complejo ).${\estilo de visualización U}$$${\displaystyle UU^{*}=U^{*}U=1.}$$${\estilo de visualización U}$

• El operador de conjugación complejo es un operador antiunitario en el plano complejo.${\estilo de visualización K,}$ ${\displaystyle Kz={\overline {z}},}$
• El operador donde es la segunda matriz de Pauli y es el operador de conjugación complejo, es antiunitario. Satisface .$${\displaystyle U=i\sigma _{y}K={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}K,}$$${\displaystyle \sigma__{y}}$${\estilo de visualización K}$${\displaystyle U^{2}=-1}$

Un operador antiunitario en un espacio de dimensión finita puede descomponerse como una suma directa de antiunitarios de Wigner elementales , . El operador es simplemente una conjugación compleja simple en${\displaystyle W_{\theta}}$${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi}$${\displaystyle W_{0}:\mathbb {C} \a \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C}}$

${\displaystyle W_{0}(z)={\overline {z}}}$

Para , el operador actúa sobre el espacio de Hilbert complejo bidimensional. Se define por ${\displaystyle 0<\theta \leq \pi }$${\displaystyle W_{\theta}}$

${\displaystyle W_{\theta}(\left(z_{1},z_{2}\right)\right)=\left(e^{{\frac {i}{2}}\theta }{\overline {z_{2}}},\;e^{-{\frac {i}{2}}\theta }{\overline {z_{1}}}\right).}$

Tenga en cuenta que para${\displaystyle 0<\theta \leq \pi }$

${\displaystyle W_{\theta}\left(W_{\theta}\left(\left(z_{1},z_{2}\right)\right)\right)=\left(e^{i\theta}z_{1},e^{-i\theta}z_{2}\right),}$

Por lo tanto, no se puede descomponer aún más en 's, que cuadran con el mapa de identidad. ${\displaystyle W_{\theta}}$$Estilo de visualización W_{0}$

Obsérvese que la descomposición anterior de operadores antiunitarios contrasta con la descomposición espectral de operadores unitarios. En particular, un operador unitario en un espacio de Hilbert complejo puede descomponerse en una suma directa de operadores unitarios que actúan en espacios complejos unidimensionales (espacios propios), pero un operador antiunitario solo puede descomponerse en una suma directa de operadores elementales en espacios complejos unidimensionales y bidimensionales.

• Wigner, E. "Forma normal de operadores antiunitarios", Journal of Mathematical Physics, vol. 1, n.º 5, 1960, págs. 409-412
• Wigner, E. "Distinción fenomenológica entre operadores de simetría unitarios y antiunitarios", Journal of Mathematical Physics, vol. 1, n.º 5, 1960, págs. 414-416

• Operador unitario
• Teorema de Wigner
• Física de partículas y teoría de la representación