Cubo de Tichonoff

En matemáticas , más específicamente en topología general , el cubo de Tichonoff es la generalización del cubo unitario a partir del producto de un número finito de intervalos unitarios por el producto de un número infinito, incluso incontable , de intervalos unitarios. El cubo de Tichonoff recibe su nombre de Andrey Tichonoff , quien consideró por primera vez el producto arbitrario de espacios topológicos y demostró en la década de 1930 que el cubo de Tichonoff es compacto . Tichonoff luego generalizó esto al producto de colecciones de espacios compactos arbitrarios. Este resultado ahora se conoce como el teorema de Tichonoff y se considera uno de los resultados más importantes en topología general. ^[1]

Sea α el intervalo unitario . Dado un número cardinal α , definimos un cubo de Tychonoff de peso como el espacio con la topología de producto α , es decir, el producto donde es la cardinalidad de y, para todo α , α. ${\displaystyle I}$ ${\estilo de visualización [0,1]}$ ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _ {0}}$ ${\estilo de visualización \kappa}$${\displaystyle I^{\kappa}}$${\displaystyle \prod_{s\in S}I_{s}}$${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle s\en S}$${\displaystyle I_{s}=I}$

El cubo de Hilbert , , es un caso especial del cubo de Tichonoff. ${\displaystyle I^{\aleph _ {0}}}$

El axioma de elección se asume en todo momento.

• El cubo de Tichonoff es compacto.
• Dado un número cardinal , el espacio es incrustable en .${\displaystyle \lambda \leq \kappa }$${\displaystyle I^{\lambda}}$${\displaystyle I^{\kappa}}$
• El cubo de Tichonoff es un espacio universal para cualquier espacio compacto de peso .${\displaystyle I^{\kappa}}$ ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _ {0}}$
• El cubo de Tichonoff es un espacio universal para cada espacio de Tichonoff de peso .${\displaystyle I^{\kappa}}$ ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _ {0}}$
• El personaje de es .${\displaystyle x\in I^{\kappa }}$${\estilo de visualización \kappa}$

• Plancha de Tichonoff : el producto topológico de los dos espacios ordinales y , donde es el primer ordinal infinito y el primer ordinal incontable${\displaystyle [0,\omega _ {1}]}$${\displaystyle [0,\omega ]}$${\estilo de visualización \omega}$${\displaystyle \omega _{1}}$
• Línea larga (topología) : una generalización de la línea real a partir de un número contable de segmentos de línea [0, 1) dispuestos uno tras otro hasta un número incontable de dichos segmentos.
• Teorema de Maharam : afirmación de que los espacios de medida completos pueden descomponerse en intervalos unitarios y partes discretas.

• Ryszard Engelking , Topología general , Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, diciembre de 1989, ISBN  3885380064 .