Sistema cuántico de dos estados

Suponiendo que los dos estados base disponibles del sistema son${\displaystyle |1\rangle }$y${\displaystyle |2\rangle }$, en general el estado${\displaystyle |\psi \rangle }$se puede escribir como una superposición de estos dos estados con amplitudes de probabilidad${\displaystyle c_{1},c_{2}}$,$${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle .}$$

Como los estados base son ortonormales ,${\displaystyle \langle i|j\rangle =\delta _ {ij}}$dónde${\displaystyle i,j\in {1,2}}$y${\displaystyle \delta _{ij}}$es el delta de Kronecker , así que${\displaystyle c_{i}=\langle i|\psi \rangle }$Estos dos números complejos pueden considerarse coordenadas en un espacio de Hilbert complejo bidimensional . ^{[ 2 ]} Por lo tanto, el vector de estado correspondiente al estado${\displaystyle |\psi \rangle }$es$${\displaystyle |\psi \rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|\psi \rangle \\\langle 2|\psi \rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=\mathbf {c} ,}$$y los estados base corresponden a los vectores base,$${\displaystyle |1\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|1\rangle \\\langle 2|1\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$$y$${\displaystyle |2\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|2\rangle \\\langle 2|2\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.}$$

Si el estado${\displaystyle |\psi \rangle }$está normalizado , la norma del vector de estado es la unidad, es decir${\displaystyle {|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1}$.

Todas las magnitudes físicas observables , como la energía, están asociadas con operadores hermíticos . En el caso de la energía y el hamiltoniano correspondiente , H , esto significa$${\displaystyle H_{ij}=\langle i|H|j\rangle =\langle j|H|i\rangle ^{*}=H_{ji}^{*},}$$ es decir${\displaystyle H_{11}}$y${\displaystyle H_{22}}$son reales y${\displaystyle H_{12}=H_{21}^{*}}$Por lo tanto, estos cuatro elementos de la matriz${\displaystyle H_{ij}}$producir una matriz hermitiana de 2×2 , $${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\langle 1|H|1\rangle &\langle 1|H|2\rangle \\\langle 2|H|1\rangle &\langle 2|H|2\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}.}$$

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo establece que${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle }$; sustituyendo por${\displaystyle |\psi \rangle }$en términos de los estados base mencionados anteriormente, y multiplicando ambos lados por${\displaystyle \langle 1|}$o${\displaystyle \langle 2|}$produce un sistema de dos ecuaciones lineales que se pueden escribir en forma matricial,$${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=E{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}},}$$ o${\displaystyle \mathbf {Hc} =E\mathbf {c} }$que es un problema de valores y vectores propios de una matriz de 2×2 . Como se mencionó anteriormente, esta ecuación proviene de sustituir un estado general en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Recuerde que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es una condición restrictiva que se utiliza para especificar los estados propios. Por lo tanto, al sustituir un estado general en ella, estamos viendo qué forma debe tomar dicho estado para ser un estado propio. Haciendo esto y distribuyendo, obtenemos${\displaystyle c_{1}H|1\rangle +c_{2}H|2\rangle =c_{1}E|1\rangle +c_{2}E|2\rangle }$, lo cual requiere${\displaystyle c_{1}}$o${\displaystyle c_{2}}$ser cero (${\displaystyle E}$no puede ser igual a ambos${\displaystyle \varepsilon _{1}}$y${\displaystyle \varepsilon _{2}}$, las energías de los estados individuales, que por definición son diferentes). Al establecer${\displaystyle c_{1}}$o${\displaystyle c_{2}}$para ser 0, solo queda un estado, y${\displaystyle E}$es la energía del estado superviviente. Este resultado es un recordatorio redundante de que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo solo se satisface con los autoestados de H, que son (por definición del vector de estado) los estados donde todos los coeficientes, excepto uno, son cero. Ahora, si seguimos la misma derivación, pero antes de actuar con el hamiltoniano sobre los estados individuales, multiplicamos ambos lados por${\displaystyle \langle 1|}$o${\displaystyle \langle 2|}$, obtenemos un sistema de dos ecuaciones lineales que se pueden combinar en la ecuación matricial anterior. Como antes, esto solo se puede satisfacer si${\displaystyle c_{1}}$o${\displaystyle c_{2}}$es cero, y cuando esto sucede, la constante${\displaystyle E}$será la energía del estado restante. Por lo tanto, la ecuación matricial anterior debe interpretarse como una condición restrictiva sobre un vector de estado general para producir un vector propio de${\displaystyle H}$, exactamente análogo a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Por supuesto, en general, conmutar la matriz con un vector de estado no dará como resultado el mismo vector multiplicado por una constante E. Para una validez general, hay que escribir la ecuación en la forma$${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}c_{1}\\\varepsilon _{2}c_{2}\end{pmatrix}},}$$con las energías de los autoestados individuales aún dentro del vector producto. En cualquier caso, la matriz hamiltoniana puede derivarse utilizando el método especificado anteriormente, o mediante el método más tradicional de construir una matriz utilizando condiciones de contorno; específicamente, utilizando el requisito de que cuando actúa sobre cualquiera de los estados base, debe devolver ese estado multiplicado por la energía de ese estado. (No hay condiciones de contorno sobre cómo actúa sobre un estado general). Esto da como resultado una matriz diagonal donde los elementos diagonales son las energías de los autoestados y los elementos fuera de la diagonal son cero. La forma de la matriz anterior que utiliza hamiltonianos encerrados en bra-ket es una versión más generalizada de esta matriz.

Uno podría preguntarse por qué es necesario escribir la matriz hamiltoniana en una forma tan general con hamiltonianos encerrados en bra-ket, ya que${\displaystyle H_{ij},i\neq j}$siempre debe ser igual a cero y${\displaystyle H_{ii}}$siempre debe ser igual${\displaystyle \varepsilon _ {i}}$La razón es que, en algunos problemas más complejos, los vectores de estado pueden no ser autoestados del hamiltoniano utilizado en la matriz. Un ejemplo de esto ocurre en la teoría de perturbaciones degeneradas , donde los elementos fuera de la diagonal son distintos de cero hasta que el problema se resuelve mediante diagonalización .

Debido a la hermiticidad de${\displaystyle \mathbf {H} }$los autovalores son reales; o, más bien, a la inversa, es el requisito de que las energías sean reales lo que implica la hermiticidad de${\displaystyle \mathbf {H} }$Los autovectores representan los estados estacionarios , es decir, aquellos para los cuales la magnitud absoluta de los cuadrados de las amplitudes de probabilidad no cambia con el tiempo.

La forma más general de una matriz hermitiana de 2×2, como el hamiltoniano de un sistema de dos estados, viene dada por$${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&\beta -i\gamma \\\beta +i\gamma &\varepsilon _{2}\end{pmatrix}},}$$ dónde${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\beta }$y γ son números reales con unidades de energía. Los niveles de energía permitidos del sistema, es decir, los autovalores de la matriz hamiltoniana, se pueden encontrar de la forma habitual.

De forma equivalente, esta matriz puede descomponerse como:$${\displaystyle \mathbf {H} =\alpha \cdot \sigma _{0}+\beta \cdot \sigma _{1}+\gamma \cdot \sigma _{2}+\delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}\alpha +\delta &\beta -i\gamma \\\beta +i\gamma &\alpha -\delta \end{pmatrix}}.}$$Aquí,${\textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right)}$y${\textstyle \delta ={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}\right)}$son números reales. La matriz${\displaystyle \sigma _{0}}$es la matriz identidad de 2×2 y las matrices${\displaystyle \sigma _{k}}$con${\displaystyle k=1,2,3}$son las matrices de Pauli . Esta descomposición simplifica el análisis del sistema, especialmente en el caso independiente del tiempo, donde los valores de${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$y${\displaystyle \delta }$son constantes.

El hamiltoniano se puede condensar aún más como$${\displaystyle \mathbf {H} =\alpha \cdot \sigma _{0}+\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}.}$$

El vector${\displaystyle \mathbf {r} }$es dado por${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\delta )}$y${\displaystyle \sigma }$es dado por${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$Esta representación simplifica el análisis de la evolución temporal del sistema y es más fácil de usar con otras representaciones especializadas como la esfera de Bloch .

Si el hamiltoniano H independiente del tiempo del sistema de dos estados se define como se indicó anteriormente, entonces sus autovalores vienen dados por${\displaystyle E_{\pm }=\alpha \pm |\mathbf {r} |}$. Evidentemente, α es la energía promedio de los dos niveles, y la norma de${\displaystyle \mathbf {r} }$es la división entre ellos. Los vectores propios correspondientes se denotan como${\displaystyle |+\rangle }$y${\displaystyle |-\rangle }$.

Ahora suponemos que las amplitudes de probabilidad dependen del tiempo, aunque los estados base no lo sean. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo establece${\textstyle i\hbar \partial _{t}|\psi \rangle =H|\psi \rangle }$y procediendo como antes (sustituyendo por${\displaystyle |\psi \rangle }$y premultiplicando por${\displaystyle \langle 1|,\langle 2|}$Nuevamente produce un par de ecuaciones lineales acopladas, pero esta vez son ecuaciones diferenciales parciales de primer orden:${\textstyle i\hbar \partial _{t}\mathbf {c} =\mathbf {Hc} }$. Si${\displaystyle \mathbf {H} }$es independiente del tiempo existen varios enfoques para encontrar la dependencia temporal de${\displaystyle c_{1},c_{2}}$, como los modos normales . El resultado es que$${\displaystyle \mathbf {c} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }\mathbf {c} _{0}=\mathbf {U} (t)\mathbf {c} _{0}.}$$dónde${\displaystyle \mathbf {c} _{0}=\mathbf {c} (0)}$es el vector de estado en${\displaystyle t=0}$Aquí, la exponencial de una matriz se puede encontrar a partir del desarrollo en serie. La matriz${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$se denomina matriz de evolución temporal (que comprende los elementos de la matriz del operador de evolución temporal correspondiente)${\displaystyle U(t)}$). Se demuestra fácilmente que${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$es unitario , lo que significa que${\displaystyle \mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {U} =1}$.

Se puede demostrar que$${\displaystyle \mathbf {U} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }=e^{-i\alpha t/\hbar }\left(\cos \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right)\sigma _{0}-i\sin \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right){\hat {r}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right),}$$dónde${\textstyle {\hat {r}}={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}.}$

Cuando se cambia la base a los autovectores del hamiltoniano, en otras palabras, si la base establece${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$se eligen como vectores propios, entonces${\displaystyle \epsilon _{1}=H_{11}=\langle 1|H|1\rangle =E_{1}\langle 1|1\rangle =E_{1}}$y${\displaystyle \beta +i\gamma =H_{21}=\langle 2|H|1\rangle =E_{1}\langle 2|1\rangle =0}$y por lo tanto el hamiltoniano es diagonal, es decir${\displaystyle |\mathbf {r} |=\delta }$y tiene la forma,$${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}E_{1}&0\\0&E_{2}\end{pmatrix}}.}$$

Ahora, el operador de evolución temporal unitario${\displaystyle U}$Se puede ver fácilmente que viene dado por:$${\displaystyle \mathbf {U} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }={\begin{pmatrix}e^{-iE_{1}t/\hbar }&0\\0&e^{-iE_{2}vt/\hbar }\end{pmatrix}}=e^{-i\alpha t/\hbar }{\begin{pmatrix}e^{-i\delta t/\hbar }&0\\0&e^{i\delta t/\hbar }\end{pmatrix}}=e^{-i\alpha t/\hbar }\left(\cos \left({\frac {\delta }{\hbar }}t\right)\sigma _{0}-i\sin \left({\frac {\delta }{\hbar }}t\right){\boldsymbol {\sigma }}_{3}\right).}$$El${\displaystyle e^{-i\alpha t/\hbar }}$Este factor simplemente contribuye a la fase general del operador y, por lo general, puede ignorarse para obtener un nuevo operador de evolución temporal físicamente indistinguible del operador original. Además, cualquier perturbación del sistema (que tendrá la misma forma que el hamiltoniano) puede añadirse al sistema en la base de autovectores del hamiltoniano no perturbado y analizarse de la misma manera que se describió anteriormente. Por lo tanto, para cualquier perturbación, los nuevos autovectores del sistema perturbado pueden calcularse con exactitud, como se mencionó en la introducción.

Supongamos que el sistema comienza en uno de los estados base en${\displaystyle t=0}$, decir${\displaystyle |1\rangle }$de modo que${\textstyle \mathbf {c} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$y estamos interesados ​​en la probabilidad de ocupación de cada uno de los estados base en función del tiempo cuando${\displaystyle \mathbf {H} }$es el hamiltoniano independiente del tiempo.$${\displaystyle \mathbf {c} (t)=\mathbf {U} (t)\mathbf {c} _{0}={\begin{pmatrix}U_{11}(t)&U_{12}(t)\\U_{21}(t)&U_{22}(t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}U_{11}(t)\\U_{21}(t)\end{pmatrix}}.}$$

La probabilidad de ocupación del estado i es${\displaystyle P_{i}(t)=|c_{i}(t)|^{2}=|U_{i1}(t)|^{2}}$. En el caso del estado inicial,${\displaystyle P_{1}(t)=|c_{1}(t)|^{2}=|U_{11}(t)|^{2}}$y desde arriba,$${\displaystyle U_{11}(t)=e^{\frac {-i\alpha t}{\hbar }}\left(\cos \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right)-i\sin \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right){\frac {\delta }{|\mathbf {r} |}}\right).}$$Por eso,$${\displaystyle P_{1}(t)=\cos ^{2}(\Omega t)+\sin ^{2}(\Omega t){\frac {\Delta ^{2}}{\Omega ^{2}}}.}$$

Obviamente,${\displaystyle P_{1}(0)=1}$debido a la condición inicial . La frecuencia$${\displaystyle \Omega ={\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}={\frac {1}{\hbar }}{\sqrt {\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}}}={\sqrt {|\Omega _{R}|^{2}+\Delta ^{2}}}}$$se denomina frecuencia de Rabi generalizada,${\displaystyle \Omega _{R}=(\beta +i\gamma )/\hbar }$se llama frecuencia Rabi, y${\displaystyle \Delta =\delta /\hbar }$Se denomina desafinación.

Con desintonización cero,${\displaystyle P_{1}(t)=\cos ^{2}(|\Omega _{R}|t)}$, es decir, hay un vaivén de Rabi desde la ocupación garantizada del estado 1, a la ocupación garantizada del estado 2, y de vuelta al estado 1, etc., con frecuencia${\displaystyle |\Omega _{R}|}$. A medida que la desintonización aumenta alejándose de cero, la frecuencia del vaivén aumenta (a Ω ) y la amplitud de excitación del electrón disminuye a${\displaystyle \Omega ^{2}/\Delta ^{2}}$.

Para hamiltonianos dependientes del tiempo inducidos por ondas de luz, véanse los artículos sobre el ciclo de Rabi y la aproximación de onda rotatoria .

Consideremos el caso de una partícula de espín 1/2 en un campo magnético.${\displaystyle \mathbf {B} =B\mathbf {\hat {n}} }$. El hamiltoniano de interacción para este sistema es$${\displaystyle H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ,}$$dónde${\displaystyle \mu }$es la magnitud del momento magnético de la partícula y${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$es el vector de matrices de Pauli . Resolviendo la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo${\displaystyle H\psi =i\hbar \partial _{t}\psi }$rendimientos$${\displaystyle \psi (t)=e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }\psi (0),}$$dónde${\displaystyle \omega =\mu B/\hbar }$y${\displaystyle e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }=\cos {\left(\omega t\right)}I+i\;\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\sin {\left(\omega t\right)}}$Físicamente, esto corresponde a la precesión del vector de Bloch alrededor de${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$con frecuencia angular${\displaystyle 2\omega }$. Sin pérdida de generalidad , supongamos que el campo es uniforme y los puntos en${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$, de modo que el operador de evolución temporal se da como$${\displaystyle e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }={\begin{pmatrix}e^{i\omega t}&0\\0&e^{-i\omega t}\end{pmatrix}}.}$$

Se puede observar que tal operador de evolución temporal que actúa sobre un estado de espín general de una partícula de espín 1/2 conducirá a la precesión alrededor del eje definido por el campo magnético aplicado (este es el equivalente mecánico cuántico de la precesión de Larmor ) ^{[ 3 ].}

El método anterior puede aplicarse al análisis de cualquier sistema genérico de dos estados que interactúe con algún campo (equivalente al campo magnético del caso anterior), siempre que la interacción esté dada por un término de acoplamiento apropiado análogo al momento magnético. La precesión del vector de estado (que no tiene por qué ser una rotación física como en el caso anterior) puede considerarse como la precesión del vector de estado en la esfera de Bloch .

La representación en la esfera de Bloch para un vector de estado${\displaystyle \psi (0)}$será simplemente el vector de valores esperados.${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\langle \sigma _{x}\rangle ,\langle \sigma _{y}\rangle ,\langle \sigma _{z}\rangle \right)}$. Como ejemplo, consideremos un vector de estado${\displaystyle \psi (0)}$que es una superposición normalizada de${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$y${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$, es decir, un vector que puede representarse en el${\displaystyle \sigma _{z}}$base como$${\displaystyle \psi (0)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$$

Los componentes de${\displaystyle \psi (t)}$en la esfera de Bloch simplemente será${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\cos {2\omega t},-\sin {2\omega t},0\right)}$. Este es un vector unitario que comienza apuntando a lo largo de${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$y precede alrededor${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$de manera zurda. En general, mediante una rotación alrededor${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$cualquier vector de estado${\displaystyle \psi (0)}$puede representarse como${\displaystyle a\left|\uparrow \right\rangle +b\left|\downarrow \right\rangle }$con coeficientes reales${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$. Dicho vector de estado corresponde a un vector de Bloch en el plano xz que forma un ángulo${\displaystyle \tan(\theta /2)=b/a}$con el eje z . Este vector procederá a precesar alrededor de${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$En teoría, al permitir que el sistema interactúe con un campo de una dirección y fuerza específicas durante periodos de tiempo precisos, es posible obtener cualquier orientación del vector de Bloch , lo que equivale a obtener cualquier superposición compleja. Esta es la base de numerosas tecnologías, incluyendo la computación cuántica y la resonancia magnética .

La resonancia magnética nuclear (RMN) es un ejemplo importante en la dinámica de sistemas _de dos estados porque implica la solución exacta de un hamiltoniano dependiente del tiempo. El fenómeno de la RMN se logra colocando un núcleo en un campo estático fuerte B₀ (el "campo de mantenimiento") y luego aplicando un campo transversal débil B₁ que oscila a una radiofrecuencia _ωr . [ ^{4 ] Explícitamente} , consideremos una partícula de espín 1/2 en un campo de mantenimiento _.${\displaystyle B_{0}\mathbf {\hat {z}} }$y un campo de radiofrecuencia transversal B ₁ que gira en el plano xy de forma dextrógira alrededor de B ₀ :$${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{1}\cos \omega _{\mathrm {r} }t\\B_{1}\sin \omega _{\mathrm {r} }t\\B_{0}\end{pmatrix}}.}$$

Al igual que en el caso de precesión libre, el hamiltoniano es${\displaystyle H=-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} }$y la evolución de un vector de estado${\displaystyle \psi (t)}$se obtiene resolviendo la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.${\displaystyle H\psi =i\hbar \,\partial \psi /\partial t}$Después de algunas manipulaciones (dadas en la sección contraída a continuación), se puede demostrar que la ecuación de Schrödinger se convierte en:$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}+\left(w_{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)\psi ,}$$dónde${\displaystyle \omega _{0}=\mu B_{0}/\hbar }$y${\displaystyle \omega _{1}=\mu B_{1}/\hbar }$.

Como se indicó en la sección anterior, la solución a esta ecuación tiene el vector de Bloch precesando alrededor de${\displaystyle (\omega _{1},0,\omega _{0}+\omega _{r}/2)}$con una frecuencia que es el doble de la magnitud del vector. Si${\displaystyle \omega _{0}}$es suficientemente fuerte, una cierta proporción de los espines apuntará directamente hacia abajo antes de la introducción del campo giratorio. Si la frecuencia angular del campo magnético giratorio se elige de tal manera que${\displaystyle \omega _{r}=-2\omega _{0}}$En el sistema de referencia giratorio, el vector de estado precesará alrededor de${\displaystyle {\hat {x}}}$con frecuencia${\displaystyle 2\omega _{1}}$y, por lo tanto, cambiará de abajo a arriba liberando energía en forma de fotones detectables. ^{[ 5 ]} Esta es la base fundamental de la RMN y, en la práctica, se logra mediante escaneo${\displaystyle \omega _{r}}$hasta que se encuentra la frecuencia de resonancia, momento en el que la muestra emitirá luz. En física atómica se realizan cálculos similares, y en el caso de que el campo no gire, sino que oscile con una amplitud compleja, se utiliza la aproximación de onda rotatoria para obtener dichos resultados.

Las ecuaciones ópticas de Bloch para un conjunto de partículas de espín 1/2 se pueden derivar de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para un sistema de dos niveles. Partiendo del hamiltoniano previamente establecido${\displaystyle i\hbar \partial _{t}\psi =-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \psi }$, se puede escribir en notación de sumatoria después de alguna reorganización como$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i{\frac {\mu }{\hbar }}\sigma _{i}B_{i}\psi }$$

Multiplicación por una matriz de Pauli${\displaystyle \sigma _{i}}$y la transpuesta conjugada de la función de onda, y posteriormente expandiendo el producto de dos matrices de Pauli se obtiene$${\displaystyle \psi ^{\dagger }\sigma _{j}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\sigma _{j}\sigma _{i}B_{i}\psi =i{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(I\delta _{ij}-i\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi ={\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi }$$

Al sumar esta ecuación a su transpuesta conjugada, se obtiene un lado izquierdo de la forma$${\displaystyle \psi ^{\dagger }\sigma _{j}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {\partial \psi ^{\dagger }}{\partial t}}\sigma _{j}\psi ={\frac {\partial \left(\psi ^{\dagger }\sigma _{j}\psi \right)}{\partial t}}}$$

Y el lado derecho del formulario$${\displaystyle {\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi +{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(-iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi ={\frac {2\mu }{\hbar }}\left(\psi ^{\dagger }\sigma _{k}\psi \right)B_{i}\varepsilon _{ijk}}$$

Como se mencionó anteriormente, el valor esperado de cada matriz de Pauli es un componente del vector de Bloch ,${\displaystyle \langle \sigma _{i}\rangle =\psi ^{\dagger }\sigma _{i}\psi =R_{i}}$. Igualando los lados izquierdo y derecho, y observando que${\displaystyle {\frac {2\mu }{\hbar }}}$es la relación giromagnética${\displaystyle \gamma }$, produce otra forma para las ecuaciones de movimiento del vector de Bloch$${\displaystyle {\frac {\partial R_{j}}{\partial t}}=\gamma R_{k}B_{i}\varepsilon _{kij}}$$donde el hecho de que${\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\varepsilon _{kij}}$Se ha utilizado. En forma vectorial, estas tres ecuaciones pueden expresarse en términos de un producto vectorial.$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {R} }{\partial t}}=\gamma \mathbf {R} \times \mathbf {B} }$$Clásicamente, esta ecuación describe la dinámica de un espín en un campo magnético. Un imán ideal consiste en una colección de espines idénticos que se comportan de forma independiente y, por lo tanto, la magnetización total${\displaystyle \mathbf {M} }$es proporcional al vector de Bloch${\displaystyle \mathbf {R} }$Lo único que falta para obtener la forma final de las ecuaciones ópticas de Bloch es la inclusión de los términos de relajación fenomenológicos .

Como nota final, la ecuación anterior se puede derivar considerando la evolución temporal del operador de momento angular en la representación de Heisenberg . $${\displaystyle i\hbar {\frac {d\sigma _{j}}{dt}}=\left[\sigma _{j},H\right]=\left[\sigma _{j},-\mu \sigma _{i}B_{i}\right]=-\mu \left(\sigma _{j}\sigma _{i}B_{i}-\sigma _{i}\sigma _{j}B_{i}\right)=\mu [\sigma _{i},\sigma _{j}]B_{i}=2\mu i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}B_{i}}$$

Cuando se suma el hecho de que${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\langle \sigma _{i}\rangle }$Esta ecuación es la misma que antes.