Trilateración

La multilateración de rango real (también denominada multilateración de rango-rango y multilateración esférica) es un método para determinar la ubicación de un vehículo móvil o un punto estacionario en el espacio utilizando múltiples rangos ( distancias ) entre el vehículo/punto y múltiples ubicaciones conocidas separadas espacialmente (a menudo denominadas "estaciones"). ^{[7] [8]} Las ondas de energía pueden participar en la determinación del rango, pero no son necesarias.

La multilateración de rango verdadero es tanto un tema matemático como una técnica aplicada que se utiliza en varios campos. Una aplicación práctica que implica una ubicación fija se da en la topografía . ^{[9] [10]} Las aplicaciones que implican la ubicación del vehículo se denominan navegación cuando se informa a las personas o equipos a bordo de su ubicación, y se denominan vigilancia cuando se informa a las entidades fuera del vehículo de la ubicación del vehículo.

Se pueden utilizar dos rangos oblicuos a partir de dos ubicaciones conocidas para localizar un tercer punto en un espacio cartesiano bidimensional (plano), lo que es una técnica que se aplica con frecuencia (por ejemplo, en topografía). De manera similar, se pueden utilizar dos rangos esféricos para localizar un punto en una esfera, lo que es un concepto fundamental de la antigua disciplina de la navegación astronómica , denominada el problema de la intersección de la altitud . Además, si se dispone de más rangos que el número mínimo, es una buena práctica utilizarlos también. Este artículo aborda la cuestión general de la determinación de la posición utilizando múltiples rangos.

En geometría bidimensional , se sabe que si un punto se encuentra en dos círculos, entonces los centros de los círculos y los dos radios proporcionan suficiente información para limitar las posibles ubicaciones a dos, una de las cuales es la solución deseada y la otra es una solución ambigua. La información adicional a menudo reduce las posibilidades a una ubicación única. En geometría tridimensional, cuando se sabe que un punto se encuentra en las superficies de tres esferas, entonces los centros de las tres esferas junto con sus radios también proporcionan suficiente información para limitar las posibles ubicaciones a no más de dos (a menos que los centros se encuentren en una línea recta).

La multilateración pseudorango , a menudo simplemente multilateración (MLAT) en contexto, es una técnica para determinar la posición de un punto desconocido, como un vehículo, basándose en la medición de los tiempos de llegada (TOA) de las ondas de energía que viajan entre el punto desconocido y múltiples estaciones en ubicaciones conocidas. Cuando las ondas son transmitidas por el vehículo, la MLAT se utiliza para vigilancia ; cuando las ondas son transmitidas por las estaciones, la MLAT se utiliza para navegación ( navegación hiperbólica ). En cualquier caso, se supone que los relojes de las estaciones están sincronizados, pero el reloj del vehículo no.

Antes de calcular una solución, el tiempo común de transmisión (TOT) de las ondas es desconocido para el receptor o receptores, ya sea en el vehículo (un receptor, navegación) o en las estaciones (múltiples receptores, vigilancia). En consecuencia, también se desconocen los tiempos de vuelo (TOF) de las ondas: los alcances del vehículo desde las estaciones divididos por la velocidad de propagación de las ondas. Cada pseudoalcance es el TOA correspondiente multiplicado por la velocidad de propagación con la misma constante arbitraria agregada (que representa el TOT desconocido).

En las aplicaciones de navegación, el vehículo suele denominarse "usuario"; en las aplicaciones de vigilancia, el vehículo puede denominarse "objetivo". Para obtener una solución matemáticamente exacta, los rangos no deben cambiar durante el período en que se reciben las señales (entre la primera y la última en llegar a un receptor). Por lo tanto, para la navegación, una solución exacta requiere un vehículo estacionario; sin embargo, la multilateración se aplica a menudo a la navegación de vehículos en movimiento cuya velocidad es mucho menor que la velocidad de propagación de las ondas.

Si es el número de dimensiones físicas que se consideran (por lo tanto, las coordenadas del vehículo que se buscan) y es el número de señales recibidas (por lo tanto, los TOA medidos), se requiere que . Entonces, el conjunto fundamental de ecuaciones de medición es: ${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización m}$${\displaystyle m\geq d+1}$${\estilo de visualización m}$

TOA ( mediciones) = TOF ( variables desconocidas integradas en expresiones) + TOT (una variable desconocida replicada veces).${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización m}$

Generalmente se requiere procesamiento para extraer los TOA o sus diferencias de las señales recibidas, y generalmente se requiere un algoritmo para resolver este conjunto de ecuaciones. Un algoritmo: (a) determina valores numéricos para el TOT (para el reloj del receptor) y las coordenadas del vehículo; o (b) ignora el TOT y forma (al menos ) diferencias de tiempo de llegada (TDOA), que se utilizan para encontrar las coordenadas del vehículo. Casi siempre, (por ejemplo, un plano o la superficie de una esfera) o (por ejemplo, el mundo físico real). Los sistemas que forman TDOA también se denominan sistemas hiperbólicos , ^[11] por las razones que se analizan a continuación. ${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización m-1}$${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización d=2}$${\estilo de visualización d=3}$

Un sistema de navegación de multilateración proporciona información de la posición del vehículo a una entidad "que se encuentra" en el vehículo (por ejemplo, un piloto de avión o un operador de receptor GPS). Un sistema de vigilancia de multilateración proporciona la posición del vehículo a una entidad "que no se encuentra" en el vehículo (por ejemplo, un controlador de tráfico aéreo o un proveedor de telefonía móvil). Por el principio de reciprocidad, cualquier método que se pueda utilizar para la navegación también se puede utilizar para la vigilancia, y viceversa (se utiliza la misma información).