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Multilateración de rango real

La multilateración de rango verdadero (también denominada multilateración de rango-rango y multilateración esférica ) es un método para determinar la ubicación de un vehículo mó...

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La multilateración de rango verdadero (también denominada multilateración de rango-rango y multilateración esférica ) es un método para determinar la ubicación de un vehículo móvil o un punto estacionario en el espacio utilizando múltiples rangos ( distancias ) entre el vehículo/punto y múltiples ubicaciones conocidas separadas espacialmente (a menudo denominadas "estaciones"). [ 1 ] [ 2 ] Las ondas de energía pueden estar involucradas en la determinación del rango, pero no son necesarias.

La multilateración de rango real es tanto un tema matemático como una técnica aplicada utilizada en varios campos. Una aplicación práctica que involucra una ubicación fija se da en la topografía . [ 3 ] [ 4 ] Las aplicaciones que involucran la ubicación de vehículos se denominan navegación cuando las personas/equipos a bordo son informados de su ubicación, y se denominan vigilancia cuando entidades fuera del vehículo son informadas de la ubicación del vehículo.

Dos distancias oblicuas desde dos ubicaciones conocidas pueden utilizarse para localizar un tercer punto en un espacio cartesiano bidimensional (plano), una técnica frecuentemente aplicada (por ejemplo, en topografía). De manera similar, dos distancias esféricas pueden utilizarse para localizar un punto en una esfera, un concepto fundamental de la antigua disciplina de la navegación astronómica , conocido como el problema de la intercepción de altitud . Además, si se dispone de más distancias de las mínimas necesarias, es recomendable utilizarlas también. Este artículo aborda el tema general de la determinación de la posición mediante múltiples distancias.

En geometría bidimensional , se sabe que si un punto se encuentra sobre dos circunferencias, los centros de las circunferencias y sus radios proporcionan información suficiente para reducir las posibles ubicaciones a dos: una es la solución deseada y la otra es una solución ambigua. La información adicional suele reducir las posibilidades a una única ubicación. En geometría tridimensional, cuando se sabe que un punto se encuentra sobre las superficies de tres esferas, los centros de las tres esferas, junto con sus radios, también proporcionan información suficiente para reducir las posibles ubicaciones a no más de dos (a menos que los centros se encuentren en línea recta).

La multilateración de rango real se puede contrastar con la multilateración de pseudorango , más frecuente , que utiliza diferencias de rango para localizar un punto (generalmente móvil). La multilateración de pseudorango casi siempre se implementa midiendo los tiempos de llegada (TOA) de las ondas de energía. La multilateración de rango real también se puede contrastar con la triangulación , que implica la medición de ángulos .

Terminología

No existe un término general aceptado o ampliamente utilizado para lo que aquí se denomina multilateración de rango verdadero . Este nombre se selecciona porque: (a) es una descripción precisa y una terminología parcialmente familiar ( multilateración se usa a menudo en este contexto); (b) evita especificar el número de rangos involucrados (como lo hace, por ejemplo, rango-rango ); (c) evita implicar una aplicación (como lo hacen, por ejemplo, navegación DME/DME o trilateración ) y (d) evita la confusión con la multilateración de pseudorango más común .

Obtención de rangos

Para rangos y errores de medición similares, un sistema de navegación y vigilancia basado en multilateración de rango real cubre un área bidimensional o un volumen tridimensional significativamente mayor que los sistemas basados ​​en multilateración de pseudorango . Sin embargo, medir rangos reales suele ser más difícil o costoso que medir pseudorangos. Para distancias de hasta unos pocos kilómetros y ubicaciones fijas, el rango real se puede medir manualmente. Esto se ha hecho en topografía durante miles de años , por ejemplo, utilizando cuerdas y cadenas. 

Para distancias más largas o vehículos en movimiento, generalmente se necesita un sistema de radio/radar. Esta tecnología se desarrolló por primera vez alrededor de 1940 junto con el radar. Desde entonces, se han empleado tres métodos:

  • Medición de alcance bidireccional, una parte activa : este es el método utilizado por los radares tradicionales (a veces denominados radares primarios ) para determinar el alcance de un objetivo no cooperativo, y que ahora utilizan los telémetros láser . Sus principales limitaciones son: (a) el objetivo no se identifica, y en una situación de múltiples objetivos, puede producirse una asignación errónea de una señal de retorno; (b) la señal de retorno se atenúa (en relación con la señal transmitida) por la cuarta potencia del alcance entre el vehículo y la estación (por lo tanto, para distancias de decenas de millas o más, las estaciones generalmente requieren transmisores de alta potencia o antenas grandes/sensibles); y (c) muchos sistemas utilizan propagación por línea de visión , lo que limita sus alcances a menos de 20 millas cuando ambas partes se encuentran a alturas similares sobre el nivel del mar. 
  • Medición de alcance bidireccional con ambas partes activas : Se informa que este método se utilizó por primera vez para la navegación en el sistema de guiado de aeronaves Y-Gerät, desplegado en 1941 por la Luftwaffe. Actualmente se utiliza a nivel mundial en el control del tráfico aéreo , por ejemplo, en la vigilancia por radar secundario y la navegación DME/DME. Requiere que ambas partes cuenten con transmisores y receptores, y puede requerir la solución de problemas de interferencia. 
  • Medición de alcance unidireccional : El tiempo de vuelo (TOF) de la energía electromagnética entre múltiples estaciones y el vehículo se mide en función de la transmisión por una parte y la recepción por la otra. Este es el método más reciente, desarrollado gracias a los relojes atómicos ; requiere que el vehículo (usuario) y las estaciones tengan relojes sincronizados. Se ha demostrado con éxito (experimentalmente) con Loran-C y GPS. [ 2 ] [ 5 ] 

Métodos de solución

Los algoritmos de multilateración de rango real pueden particionarse en función de

  • dimensión del espacio del problema (generalmente, dos o tres),
  • geometría del espacio del problema (generalmente, cartesiano o esférico) y
  • presencia de mediciones redundantes (más allá de la dimensión del espacio del problema).

Cualquier algoritmo de multilateración de pseudorango puede especializarse para su uso con multilateración de rango real.

Dos dimensiones cartesianas, dos rangos de inclinación medidos (trilateración)

Figura 1. Escenario de multilateración (trilateración) de rango real cartesiano bidimensional. C1 y C2 son los centros de círculos con separación conocida.U{\displaystyle U}. P es un punto cuyo(incógnita,y){\displaystyle (x,y)}Las coordenadas deseadas se basan enU{\displaystyle U}y rangos medidosr1{\displaystyle r_{1}}yr2{\displaystyle r_{2}}.

Es probable que se conozca una solución analítica desde hace más de 1000 años, y se presenta en varios textos. [ 6 ] Además, se pueden adaptar fácilmente algoritmos para un espacio cartesiano tridimensional.

El algoritmo más simple emplea geometría analítica y un marco de coordenadas basado en estaciones. Así, consideremos los centros de los círculos (o estaciones) C1 y C2 en la Fig. 1 que tienen coordenadas conocidas (por ejemplo, ya han sido topografiadas) y por lo tanto cuya separaciónU{\displaystyle U}Se sabe. La figura 'página' contiene C1 y C2 . Si un tercer 'punto de interés' P (por ejemplo, un vehículo u otro punto a inspeccionar) se encuentra en un punto desconocido.(incógnita,y){\displaystyle (x,y)}, entonces el teorema de Pitágoras produce

r12=incógnita2+y2r22=(U−incógnita)2+y2{\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}^{2}&=x^{2}+y^{2}\\[4pt]r_{2}^{2}&=(Ux)^{2}+y^{2}\end{aligned}}}

De este modo,

Tenga en cuenta quey{\displaystyle y}tiene dos valores (es decir, la solución es ambigua); esto normalmente no es un problema.

Aunque existen muchas mejoras, la ecuación 1 es la relación de multilateración de rango real más fundamental. La navegación aérea DME/DME y el método de trilateración para levantamientos topográficos son ejemplos de su aplicación. Durante la Segunda Guerra Mundial , Oboe y, durante la Guerra de Corea, SHORAN utilizaron el mismo principio para guiar aeronaves basándose en rangos medidos a dos estaciones terrestres. Posteriormente, SHORAN se utilizó para la exploración petrolera en alta mar y para levantamientos topográficos aéreos. El sistema de levantamientos topográficos aéreos Australian Aerodist empleó la multilateración de rango real cartesiana bidimensional. [ 7 ] Este escenario bidimensional es tan importante que el término trilateración se aplica a menudo a todas las aplicaciones que implican una línea base conocida y dos mediciones de rango.

La línea base que contiene los centros de los círculos es un eje de simetría. Las soluciones correctas y ambiguas son perpendiculares a la línea base y se encuentran a igual distancia de ella (en lados opuestos). Generalmente, la solución ambigua se identifica fácilmente. Por ejemplo, si P es un vehículo, cualquier movimiento hacia o desde la línea base será opuesto al de la solución ambigua; por lo tanto, una medición aproximada de la dirección del vehículo es suficiente. Un segundo ejemplo: los topógrafos saben perfectamente de qué lado de la línea base se encuentra P. Un tercer ejemplo: en aplicaciones donde P es una aeronave y C1 y C2 están en tierra, la solución ambigua suele estar bajo tierra.

Si es necesario, los ángulos interiores del triángulo C1-C2-P se pueden encontrar usando la ley trigonométrica de los cosenos . También, si es necesario, las coordenadas de P se pueden expresar en un segundo sistema de coordenadas más conocido, por ejemplo, el sistema Universal Transversal de Mercator (UTM), siempre que se conozcan las coordenadas de C1 y C2 en ese segundo sistema. Ambos se hacen a menudo en topografía cuando se emplea el método de trilateración. [ 8 ] Una vez establecidas las coordenadas de P , las líneas C1-P y C2-P se pueden usar como nuevas líneas base, y se pueden levantar puntos adicionales. De esta manera, se pueden levantar grandes áreas o distancias basándose en múltiples triángulos más pequeños, denominados poligonales .

Una suposición implícita para que la ecuación anterior sea verdadera es quer1{\displaystyle r_{1}}yr2{\displaystyle r_{2}}se relacionan con la misma posición de P. Cuando P es un vehículo, entonces normalmenter1{\displaystyle r_{1}}yr2{\displaystyle r_{2}}Debe medirse dentro de una tolerancia de sincronización que depende de la velocidad del vehículo y del error de posición admisible . Alternativamente, se puede tener en cuenta el movimiento del vehículo entre las mediciones de distancia, a menudo mediante navegación a estima.

También es posible una solución trigonométrica (caso de lado a lado). Asimismo, es posible una solución gráfica. En ocasiones, se utiliza una solución gráfica durante la navegación en tiempo real, como una superposición en un mapa.

Tres dimensiones cartesianas, tres rangos de inclinación medidos

Figura 2. Escenario de multilateración de rango real en 3D. C1, C2 y C3 son centros conocidos de esferas en el plano x,y. P es un punto cuyas coordenadas (x,y,z) se desean obtener en función de su alcance a C1, C2 y C3.
La trilateración 3D limita las posiciones potenciales a dos (en este caso A o B).

Hay varios algoritmos que resuelven directamente (es decir, de forma cerrada) el problema de multilateración de rango verdadero cartesiano 3D, por ejemplo, Fang. [ 9 ] Además, se pueden adoptar algoritmos de forma cerrada desarrollados para la multilateración de pseudorango . [ 10 ] [ 6 ] El algoritmo de Bancroft [ 11 ] (adaptado) emplea vectores, lo cual es una ventaja en algunas situaciones.

El algoritmo más simple corresponde a los centros de las esferas en la Fig. 2. La figura 'página' es el plano que contiene C1 , C2 y C3 . Si P es un 'punto de interés' (por ejemplo, un vehículo) en(incógnita,y,z){\displaystyle (x,y,z)}, entonces el teorema de Pitágoras proporciona los rangos oblicuos entre P y los centros de la esfera:

r12=incógnita2+y2+z2r22=(incógnita−U)2+y2+z2r32=(incógnita−Vincógnita)2+(y−Vy)2+z2{\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}^{2}&=x^{2}+y^{2}+z^{2}\\[4pt]r_{2}^{2}&=(xU)^{2}+y^{2}+z^{2}\\[4pt]r_{3}^{2}&=(x-V_{x})^{2}+(y-V_{y})^{2}+z^{2}\end{aligned}}}

Por lo tanto, las coordenadas de P son:

El plano que contiene los centros de las esferas es un plano de simetría. Las soluciones correctas e incorrectas son perpendiculares a él y se encuentran a igual distancia, en lados opuestos.

Muchas aplicaciones de la multilateración de rango real 3D implican rangos cortos, por ejemplo, fabricación de precisión. [ 12 ] La integración de la medición de rango de tres o más radares (por ejemplo, ERAM de la FAA ) es una aplicación de vigilancia de aeronaves 3D. La multilateración de rango real 3D se ha utilizado de forma experimental con satélites GPS para la navegación de aeronaves. [ 5 ] El requisito de que una aeronave esté equipada con un reloj atómico impide su uso general. Sin embargo, la asistencia del reloj del receptor GPS es un área de investigación activa, incluida la asistencia a través de una red. Por lo tanto, las conclusiones pueden cambiar. [ 13 ] La Organización de Aviación Civil Internacional evaluó la multilateración de rango real 3D como un sistema de aterrizaje de aeronaves, pero se encontró que otra técnica era más eficiente. [ 14 ] Medir con precisión la altitud de las aeronaves durante la aproximación y el aterrizaje requiere muchas estaciones terrestres a lo largo de la trayectoria de vuelo.

Multilateración general

El problema general de multilateración consiste en calcular la posición desconocida.pag^=[incógnita^,y^,z^]T{\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}=\left[{\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}\right]^{\text{T}}}de algún nodo objetivo en el espacio 3D. (Aunque el enfoque descrito aquí también funciona en dimensiones superiores). Para ello, se supone que haynorte{\textstyle N}nodos de anclaje. La posiciónpagi=[incógnitai,yi,zi]T{\textstyle {\boldsymbol {p}}_{i}=\left[x_{i},y_{i},z_{i}\right]^{\text{T}}}(parai=1…norte{\textstyle i=1\ldots N}) de cada nodo de anclaje debe ser conocido. Además, se supone que las distanciasdi{\textstyle d_{i}}Se conoce la distancia entre cada nodo de anclaje y el nodo de destino.

La distanciadi{\textstyle d_{i}}entre eli{\textstyle i}El nodo ancla -ésimo y el nodo objetivo se dan de la siguiente manera.di=‖pagi−pag^‖2=(incógnitai−incógnita^)2+(yi−y^)2+(zi−z^)2{\displaystyle d_{i}=\left\|{\boldsymbol {p}}_{i}-{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}={\sqrt {(x_{i}-{\hat {x}})^{2}+(y_{i}-{\hat {y}})^{2}+(z_{i}-{\hat {z}})^{2}}}}A continuación se muestran dos algoritmos diferentes para calcular la posición del nodo objetivo.pag^{\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}}El primer algoritmo calcula la posición objetivo utilizando únicamente las posiciones de los nodos de anclaje.pagi{\textstyle {\boldsymbol {p}}_{i}}y las distanciasdi{\textstyle d_{i}}entre el nodo objetivo y los nodos de anclaje. El segundo algoritmo supone que una estimación aproximada depag^{\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}}se proporciona. Este algoritmo luego refina iterativamente esta estimación.

Solución directa

Este algoritmo calcula la posición del nodo objetivo.pag^{\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}}desde las posiciones de los nodos de anclajepagi{\textstyle {\boldsymbol {p}}_{i}}y las distancias (al cuadrado)di{\textstyle d_{i}}.di2=‖pagi−pag^‖22=‖pagi‖22+‖pag^‖22−2pagiTpag^{\displaystyle d_{i}^{2}=\left\|{\boldsymbol {p}}_{i}-{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}=\left\|{\boldsymbol {p}}_{i}\right\|_{2}^{2}+\left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}-2{\boldsymbol {p}}_{i}^{\text{T}}{\boldsymbol {\hat {p}}}}Un aspecto algo desagradable en la ecuación anterior es el término‖pag^‖22{\textstyle \left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}}Para eliminar este término, se puede restar la media de ambos lados de la ecuación.di2=‖pagi‖22+‖pag^‖22−2pagiTpag^{\textstyle d_{i}^{2}=\left\|{\boldsymbol {p}}_{i}\right\|_{2}^{2}+\left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}-2{\boldsymbol {p}}_{i}^{\text{T}}{\boldsymbol {\hat {p}}}}.di2−1norte∑k=1nortedk2=‖pagi‖22+‖pag^‖22−2pagiTpag^−1norte∑k=1norte(‖pagk‖22+‖pag^‖22−2pagkTpag^){\displaystyle d_{i}^{2}-{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}d_{k}^{2}=\left\|{\boldsymbol {p}}_{i}\right\|_{2}^{2}+\left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}-2{\boldsymbol {p}}_{i}^{\text{T}}{\boldsymbol {\hat {p}}}-{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\left\|{\boldsymbol {p}}_{k}\right\|_{2}^{2}+\left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}-2{\boldsymbol {p}}_{k}^{\text{T}}{\boldsymbol {\hat {p}}}\right)}La clave es que‖pag^‖22{\textstyle \left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}}no depende dek{\textstyle k}en la suma del lado derecho. Y por lo tanto1norte∑k=1norte‖pag^‖22=‖pag^‖22{\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}=\left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}}. Por eso,‖pag^‖22{\textstyle \left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}}se retira del lado derecho.di2−1norte∑k=1nortedk2=‖pagi‖22−2pagiTpag^−1norte∑k=1norte‖pagk‖22+1norte∑k=1norte2pagkTpag^{\displaystyle d_{i}^{2}-{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}d_{k}^{2}=\left\|{\boldsymbol {p}}_{i}\right\|_{2}^{2}-2{\boldsymbol {p}}_{i}^{\text{T}}{\boldsymbol {\hat {p}}}-{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left\|{\boldsymbol {p}}_{k}\right\|_{2}^{2}+{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}2{\boldsymbol {p}}_{k}^{\text{T}}{\boldsymbol {\hat {p}}}}Esto se puede reorganizar de la siguiente manera.di2−1norte∑k=1nortedk2−‖pagi‖22+1norte∑k=1norte‖pagk‖22⏟bi=2⋅(1norte∑k=1nortepagk−pagi)⏟aiTpag^{\displaystyle \underbrace {d_{i}^{2}-{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}d_{k}^{2}-\left\|{\boldsymbol {p}}_{i}\right\|_{2}^{2}+{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left\|{\boldsymbol {p}}_{k}\right\|_{2}^{2}} _{b_{i}}={\underbrace {2\cdot \left({\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}{\boldsymbol {p}}_{k}-{\boldsymbol {p}}_{i}\right)} _{{\boldsymbol {a}}_{i}}}^{\text{T}}{\boldsymbol {\hat {p}}}}Utilizando las abreviaturas definidas anteriormente, la ecuación para lai{\textstyle i}El nodo de anclaje -ésimo se convierte enbi=aiTpag^{\displaystyle b_{i}={\boldsymbol {a}}_{i}^{\text{T}}{\boldsymbol {\hat {p}}}}Al incorporar todos los nodos de anclaje, el problema de multilateración se puede escribir como una sola ecuación con el vectorb=[b1,…,bnorte]T{\displaystyle {\boldsymbol {b}}=\left[b_{1},\dots ,b_{N}\right]^{\mathrm {T} }}y la matrizA=[a1,…,anorte]T{\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\left[{\boldsymbol {a}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {a}}_{N}\right]^{\text{T}}}.Apag^=b{\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {\hat {p}}}={\boldsymbol {b}}}La tarea final es resolver esta ecuación para la posiciónpag^{\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}}del nodo objetivo. Una opción habitual es la solución de mínimos cuadrados :pag^=(ATA)-1ATb{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {p}}}=\left({\boldsymbol {A}}^{\text{T}}{\boldsymbol {A}}\right)^{\text{-1}}{\boldsymbol {A}}^{\text{T}}{\boldsymbol {b}}}

Algoritmo iterativo

Este algoritmo se puede utilizar si se dispone de una estimación inicial aproximada de la posición del nodo objetivo.pag^{\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}}está disponible. Esta estimación inicial se utiliza para calcular iterativamente una estimación más precisa depag^{\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}}Para ello, se utiliza un algoritmo de Gauss-Newton con la siguiente ecuación de actualización.pag^(k+1)=pag^(k)−(J(k)TJ(k))-1J(k)TF(k){\displaystyle {\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k+1)}={\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k)}-\left({{\boldsymbol {J}}^{(k)}}^{\text{T}}{\boldsymbol {J}}^{(k)}\right)^{\text{-1}}{{\boldsymbol {J}}^{(k)}}^{\text{T}}{\boldsymbol {f}}^{(k)}}En esta ecuación,pag^(k){\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k)}}es la estimación depag^{\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}}calculado en la última iteración. La estimación inicial aproximada espag^(0){\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}^{(0)}}. Después de un paso de refinamiento utilizando el foro anterior,pag^(k+1){\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k+1)}}es la nueva estimación refinada depag^{\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}}.J(k){\textstyle {\boldsymbol {J}}^{(k)}}es la matriz jacobiana (ver más abajo). En cada paso de actualización, el algoritmo busca minimizar el error. ‖F(k)‖2{\textstyle \left\|{\boldsymbol {f}}^{(k)}\right\|_{2}}definido por el vector de error F(k){\textstyle {\boldsymbol {f}}^{(k)}}.F(k)=[Δ1(k)−d1⋮Δnorte(k)−dnorte]{\displaystyle {\boldsymbol {f}}^{(k)}={\begin{bmatrix}\Delta _{1}^{(k)}-d_{1}\\\vdots \\\Delta _{N}^{(k)}-d_{N}\end{bmatrix}}}Este vector de error contiene la distancia Δi(k)=‖pagi−pag^(k)‖2{\textstyle \Delta _{i}^{(k)}=\left\|{\boldsymbol {p}}_{i}-{\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k)}\right\|_{2}}entre todas las posiciones de los nodos de anclajepagi{\textstyle {\boldsymbol {p}}_{i}}y la estimación actualpag^(k){\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k)}}La matriz jacobianaJ(k){\textstyle {\boldsymbol {J}}^{(k)}}deF(k){\textstyle {\boldsymbol {f}}^{(k)}}se puede escribir de la siguiente manera.J(k)=∂F(k)∂pag^(k)T=D(k)(1nortepag^(k)T−PAG){\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{(k)}={\frac {\partial \,{\boldsymbol {f}}^{(k)}}{\partial \,{{\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k)}}^{\mathrm {T} }}}={\boldsymbol {D}}^{(k)}\left({\boldsymbol {1}}_{N}{\boldsymbol {{\hat {p}}^{(k)}}}^{\mathrm {T} }-{\boldsymbol {P}}\right)}Aquí,D(k)=diagramo(Δ1(k),…,Δnorte(k)){\textstyle {\boldsymbol {D}}^{(k)}=\mathrm {diag} \left(\Delta _{1}^{(k)},\ldots ,\Delta _{N}^{(k)}\right)}es una matriz diagonal de todosΔi(k){\textstyle \Delta _{i}^{(k)}}yPAG=[pag1…pagnorte]T{\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {p}}_{1}&\dots &{\boldsymbol {p}}_{N}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}es una matriz cuyas filas son las posiciones de todos los nodos de anclaje. El vector1norte{\displaystyle {\boldsymbol {1}}_{N}}es un vector columna de longitudnorte{\displaystyle N}que contiene solo unos.

El algoritmo
  1. Obtenga una estimación inicial aproximada.pag^(0){\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}^{(0)}}de la posición del nodo objetivo.
  2. Colocark=0{\textstyle k=0}.
  3. Sik{\textstyle k}Si se alcanza un número máximo de iteraciones predefinido, el algoritmo se detiene. En este caso, ¡el algoritmo no convergió!
  4. Calcular distanciasΔi(k){\textstyle \Delta _{i}^{(k)}}(coni=1…norte{\displaystyle i=1\ldots N}) entre posiciones de anclajepagi{\textstyle {\boldsymbol {p}}_{i}}y la estimación actualpag^(k){\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k)}}.
  5. Calcular el vector de errorF(k){\textstyle {\boldsymbol {f}}^{(k)}}.
  6. Si el error‖F(k)‖2{\textstyle \left\|{\boldsymbol {f}}^{(k)}\right\|_{2}}Si el valor está por debajo de un umbral predefinido, se detiene el algoritmo. Se alcanza la convergencia.
  7. Calcula el jacobiano.J(k){\textstyle {\boldsymbol {J}}^{(k)}}.
  8. Resuelve la ecuaciónJ(k)v(k)=F(k){\textstyle {\boldsymbol {J}}^{(k)}{\boldsymbol {v}}^{(k)}={\boldsymbol {f}}^{(k)}}parav(k){\textstyle {\boldsymbol {v}}^{(k)}}utilizando el método de mínimos cuadrados lineales . La solución algebraica es la inversa de Moore-Penrose :v(k)=(J(k)TJ(k))-1J(k)TF(k){\displaystyle {\boldsymbol {v}}^{(k)}=\left({{\boldsymbol {J}}^{(k)}}^{\text{T}}{\boldsymbol {J}}^{(k)}\right)^{\text{-1}}{{\boldsymbol {J}}^{(k)}}^{\text{T}}{\boldsymbol {f}}^{(k)}}
  9. Calcular la estimación de posición actualizada:pag^(k+1)=pag^(k)−v(k){\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k+1)}={\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k)}-{\boldsymbol {v}}^{(k)}}.
  10. Si la distancia‖pag^(k+1)−pag^(k)‖2{\textstyle \left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k+1)}-{\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k)}\right\|_{2}}Si la diferencia entre la posición actual y la última posición estimada del objetivo es inferior a un umbral predefinido, se detiene el algoritmo. Se alcanza la convergencia.
  11. Aumentark{\textstyle k}por uno.
  12. Vaya al punto 3.

Nota:

  • Este algoritmo suele converger en tan solo unos pocos pasos.
  • El umbral en‖F(k)‖2{\textstyle \left\|{\boldsymbol {f}}^{(k)}\right\|_{2}}No es obligatorio y también puede omitirse.
  • Los pasos 8 en adelante deben resolverse numéricamente en lugar de utilizar la solución algebraica.
Implementación en Python
def refine_position_estimate ( initial_position_guess , anchor_positions , distances , error_threshold , estimate_threshold , max_iterations ):afirmar que initial_position_guess . ndim == 1afirmar que anchor_positions.ndim == 2​assert initial_position_guess . shape [ 0 ] == anchor_positions . shape [ 0 ]P = posiciones_de_anclajep_hat = initial_position_guess.copy ( )​para iter_idx en rango ( max_iterations ):delta = np . linalg . norm ( P - p_hat [:, None ], axis = 0 )delta = np . máximo ( delta , 1e-12 )f = delta - distanciaserror = np . linalg . norm ( f )Si el error es menor o igual al umbral de error :print ( f "Convergido: El error está por debajo del umbral: { error } " )romperJ = ( p_hat [ Ninguno , :] - P . T )J /= delta [:, Ninguno ]v = np . linalg . lstsq ( J , f , rcond = None )[ 0 ]p_hat_diff = np . linalg . norm ( v )si p_hat_diff <= estimate_threshold :print ( f "Convergencia: La distancia entre la última estimación y la estimación actual está por debajo del umbral: { p_hat_diff } " )romperp_sombrero -= vdemás :print ( "ADVERTENCIA: ¡El algoritmo NO convergió!" )print ( f "Número de iteraciones requeridas: { iter_idx } " )devolver p_hat
Ejemplo de uso

En este ejemplo, hay siete nodos de anclaje con posiciones conocidas. Las distancias entre el nodo objetivo y todos los nodos de anclaje también se conocen con precisión. Para este ejemplo, el algoritmo solo necesita tres iteraciones para alcanzar la precisión requerida.

posiciones_anclaje = np . array ([[ 0.0 , 0.0 , 0.0 ],[ 40 , 25 , 75 ],[ 0 , 80 , 0 ],[ 100 , 11 , 22 ],[ 0 , 45 , 87 ],[ 0 , 0 , 100 ],[ 0 , 50 , 0 ]]) . Tposición_objetivo_verdadera = np.array ( [ 30.0 , 40.0 , 50.0 ] )distancias_verdaderas = np . linalg . norm ( posiciones_ancla - posición_objetivo_verdadera [:, None ], axis = 0 )# Una estimación inicial aproximada de la posición objetivo.# Esto se obtiene normalmente utilizando un estimador directo (aproximado) o a partir de algún conocimiento previo.estimación_posición_objetivo_inicial = posición_objetivo_verdadera + [ 3 , 2 , - 4 ]posición_objetivo_estimada = refinar_estimación_posición_wikipedia (estimación_posición_inicial = estimación_posición_objetivo_inicial ,posiciones_de_anclaje = posiciones_de_anclaje ,distancias = distancias_verdaderas ,umbral_error = 1e-6 ,umbral_estimado = 1e-6 ,máx. iteraciones = 1000)error_posición_objetivo = np . linalg . norm ( posición_objetivo_estimada - posición_objetivo_verdadera )imprimir ()print ( f "Posición real del objetivo: { true_target_position } " )print ( f "Estimación inicial: { initial_target_position_estimate } " )print ( f "Posición estimada del objetivo: { estimated_target_position } " )print ( f "Precisión alcanzada: { target_position_error : .12f } " )

Producción:

Convergencia: El error está por debajo del umbral: 1,543685171566139e-09 Número de iteraciones requeridas: 3Posición real del objetivo: [30. 40. 50.] Estimación inicial: [33. 42. 46.] Posición estimada del objetivo: [30. 40. 50.] Precisión alcanzada: 0,000000001463

Dos dimensiones esféricas, dos o más rangos esféricos medidos

Figura 3. Ejemplo de problema de intercepción de altitud en navegación celeste (las líneas de posición se distorsionan por la proyección cartográfica).

Este es un problema clásico de navegación celeste (o astronómica), denominado problema de la intersección de altitud (Fig. 3). Es el equivalente en geometría esférica del método de trilateración para la medición de alturas (aunque las distancias involucradas suelen ser mucho mayores). Una solución en el mar (que no necesariamente involucra al Sol y la Luna) fue posible gracias al cronómetro marino (introducido en 1761) y al descubrimiento de la "línea de posición" (LOP) en 1837. El método de solución que más se enseña actualmente en las universidades (por ejemplo, la Academia Naval de los Estados Unidos) emplea trigonometría esférica para resolver un triángulo esférico oblicuo basado en mediciones de sextante de la "altitud" de dos cuerpos celestes. [ 15 ] [ 16 ] Este problema también puede abordarse mediante análisis vectorial. [ 17 ] Históricamente, se emplearon técnicas gráficas, por ejemplo, el método de intersección . Estas pueden incorporar más de dos "altitudes" medidas. Debido a la dificultad de realizar mediciones en el mar, a menudo se recomiendan de 3 a 5 "altitudes".

Como la Tierra se modela mejor como un elipsoide de revolución que como una esfera, se pueden utilizar técnicas iterativas en implementaciones modernas. [ 18 ] En aeronaves y misiles de gran altitud, un subsistema de navegación celeste se integra a menudo con un subsistema de navegación inercial para realizar la navegación automatizada, por ejemplo, el SR-71 Blackbird y el B-2 Spirit de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos .

Aunque se concibió como un sistema de multilateración de pseudodistancia esférica, Loran-C también se ha utilizado como un sistema de multilateración de distancia real esférica por usuarios bien equipados (por ejemplo, el Servicio Hidrográfico Canadiense ). [ 2 ] Esto permitió extender significativamente el área de cobertura de una tríada de estaciones Loran-C (por ejemplo, duplicarla o triplicarla) y reducir el número mínimo de transmisores disponibles de tres a dos. En la aviación moderna, se miden con mayor frecuencia distancias oblicuas en lugar de distancias esféricas; sin embargo, cuando se conoce la altitud de la aeronave, las distancias oblicuas se convierten fácilmente en distancias esféricas. [ 6 ]

Mediciones de rango redundantes

Cuando hay más mediciones de rango disponibles que dimensiones problemáticas, ya sea de las mismas estaciones C1 y C2 (o C1 , C2 y C3 ), o de estaciones adicionales, al menos se obtienen estos beneficios:

  • Las mediciones "incorrectas" pueden identificarse y rechazarse.
  • Las soluciones ambiguas se pueden identificar automáticamente (es decir, sin intervención humana); requiere una estación adicional.
  • Los errores en las mediciones "buenas" se pueden promediar, reduciendo así su efecto.

El algoritmo iterativo de Gauss-Newton para resolver problemas de mínimos cuadrados no lineales (NLLS) se prefiere generalmente cuando hay más mediciones "buenas" que las mínimas necesarias. Una ventaja importante del método de Gauss-Newton sobre muchos algoritmos de forma cerrada es que trata los errores de rango linealmente, que suele ser su naturaleza, reduciendo así el efecto de los errores de rango mediante el promedio. [ 10 ] El método de Gauss-Newton también puede utilizarse con el número mínimo de rangos medidos. Dado que es iterativo, el método de Gauss-Newton requiere una estimación inicial de la solución.

En el espacio cartesiano tridimensional, una cuarta esfera elimina la solución ambigua que se produce con tres rangos, siempre que su centro no sea coplanar con los tres primeros. En el espacio cartesiano o esférico bidimensional, un tercer círculo elimina la solución ambigua que se produce con dos rangos, siempre que su centro no sea colineal con los dos primeros.

Aplicación única frente a aplicación repetitiva

Este artículo describe principalmente la aplicación única de la técnica de multilateración de rango real, que es su uso más básico. Como se muestra en la Figura 1, la característica de las aplicaciones únicas es que el punto P y al menos uno de los puntos C1 y C2 cambian entre una aplicación y la siguiente de la técnica de multilateración de rango real. Esto resulta apropiado para la topografía, la navegación astronómica mediante avistamientos manuales y algunos sistemas de navegación DME/DME para aeronaves.

Sin embargo, en otras situaciones, la técnica de multilateración de rango real se aplica de forma repetitiva (esencialmente continua). En esas situaciones, C1 y C2 (y quizás Cn, n = 3,4,... ) permanecen constantes y P es el mismo vehículo. Ejemplos de aplicaciones (y los intervalos seleccionados entre mediciones) son: vigilancia de aeronaves con múltiples radares (5 y 12 segundos, dependiendo del alcance de cobertura del radar), topografía aérea, navegación Loran-C con un reloj de usuario de alta precisión (aproximadamente 0,1 segundos) y cierta navegación DME/DME de aeronaves (aproximadamente 0,1 segundos). Generalmente, las implementaciones para uso repetitivo: (a) emplean un algoritmo de "rastreador" [ 19 ] (además del algoritmo de solución de multilateración), que permite comparar y promediar de alguna manera las mediciones recopiladas en diferentes momentos; y (b) utilizan un algoritmo de solución iterativo, ya que (b1) admiten un número variable de mediciones (incluidas mediciones redundantes) y (b2) inherentemente tienen una estimación inicial cada vez que se invoca el algoritmo de solución.

Sistemas de multilateración híbridos

También son posibles los sistemas de multilateración híbridos, aquellos que no son ni de rango real ni de pseudorango. Por ejemplo, en la Fig. 1, si los centros de los círculos se desplazan hacia la izquierda de modo que C1 esté enincógnita1′=−12U,y1′=0{\displaystyle x_{1}^{\prime }=-{\tfrac {1}{2}}U,y_{1}^{\prime }=0}y C2 está enincógnita2′=12U,y2′=0{\displaystyle x_{2}^{\prime }={\tfrac {1}{2}}U,y_{2}^{\prime }=0}entonces el punto de interés P está en

incógnita′=(r1′+r2′)(r1′−r2′)2Uy′=±(r1′+r2′)2−U2U2−(r1′−r2′)22U{\displaystyle {\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {(r_{1}^{\prime }+r_{2}^{\prime })(r_{1}^{\prime }-r_{2}^{\prime })}{2U}}\\[4pt]y^{\prime }&=\pm {\frac {{\sqrt {(r_{1}^{\prime }+r_{2}^{\prime })^{2}-U^{2}}}{\sqrt {U^{2}-(r_{1}^{\prime }-r_{2}^{\prime })^{2}}}}{2U}}\end{aligned}}}

Esta forma de la solución depende explícitamente de la suma y la diferencia der1′{\displaystyle r_{1}^{\prime }}yr2′{\displaystyle r_{2}^{\prime }}y no requiere 'encadenamiento' desde elincógnita′{\displaystyle x^{\prime }}-solución a lay′{\displaystyle y^{\prime }}-solución. Podría implementarse como un sistema de multilateración de rango real mediante la mediciónr1′{\displaystyle r_{1}^{\prime }}yr2′{\displaystyle r_{2}^{\prime }}.

Sin embargo, también podría implementarse como un sistema de multilateración híbrido mediante la mediciónr1′+r2′{\displaystyle r_{1}^{\prime }+r_{2}^{\prime }}yr1′−r2′{\displaystyle r_{1}^{\prime }-r_{2}^{\prime }}utilizando equipos diferentes, por ejemplo, para vigilancia mediante un radar multiestático con un transmisor y dos receptores (en lugar de dos radares monoestáticos ). Si bien eliminar un transmisor es una ventaja, existe un "costo" compensatorio: la tolerancia de sincronización para las dos estaciones pasa a depender de la velocidad de propagación (típicamente, la velocidad de la luz ) en lugar de la velocidad del punto P , para medir con precisión ambas.r1′±r2′{\displaystyle r_{1}^{\prime }\pm r_{2}^{\prime }}.

Aunque no se han implementado operativamente, se han investigado sistemas híbridos de multilateración para la vigilancia de aeronaves cerca de aeropuertos y como sistema de respaldo de navegación GPS para la aviación. [ 20 ]

Cálculos preliminares y finales

Figura 4. Mediciones de alcance mediante un sistema de multilateración (trilateración) de rango real bidimensional.

La precisión de posición de un sistema de multilateración de rango verdadero, por ejemplo, la precisión de la(incógnita,y){\displaystyle (x,y)}Las coordenadas del punto P en la Fig. 1 dependen de dos factores: (1) la precisión de la medición de distancia y (2) la relación geométrica de P con las estaciones C1 y C2 del sistema . Esto se puede apreciar en la Fig. 4. Las dos estaciones se muestran como puntos, y BLU denota las unidades de la línea base. (El patrón de medición es simétrico con respecto a la línea base y a la mediatriz de la misma, y ​​se muestra truncado en la figura). Como es habitual, se asume que los errores individuales de medición de distancia son independientes de la distancia, estadísticamente independientes e idénticamente distribuidos. Esta suposición razonable separa los efectos de la geometría de la estación del usuario y los errores de medición de distancia en el error calculado.(incógnita,y){\displaystyle (x,y)}Coordenadas de P. Aquí, la geometría de medición es simplemente el ángulo en el que se cruzan dos círculos, o equivalentemente, el ángulo entre las líneas P-C1 y P-C2 . Cuando el punto P no está sobre un círculo, el error en su posición es aproximadamente proporcional al área delimitada por los dos círculos azules más cercanos y los dos círculos magenta más cercanos.

Sin mediciones redundantes, un sistema de multilateración de rango real puede no ser más preciso que las mediciones de rango, pero puede ser significativamente menos preciso si la geometría de medición no se elige adecuadamente. Por consiguiente, algunas aplicaciones imponen restricciones a la ubicación del punto P. Para una situación cartesiana bidimensional (trilateración), estas restricciones adoptan una de dos formas equivalentes:

  • El ángulo interior admisible en P entre las líneas P-C1 y P-C2 : Lo ideal es un ángulo recto, que se produce a distancias de la línea base iguales o inferiores a la mitad de la longitud de la línea base; se pueden especificar desviaciones máximas admisibles de los 90 grados ideales.
  • La dilución horizontal de precisión (HDOP), que multiplica el error de rango al determinar el error de posición: Para dos dimensiones, la HDOP ideal (mínima) es la raíz cuadrada de 2 (2≈1.414{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}), que se produce cuando el ángulo entre P-C1 y P-C2 es de 90 grados; se puede especificar un valor máximo de HDOP admisible. (En este caso, los HDOP iguales son simplemente el lugar geométrico de los puntos de la figura 4 que tienen el mismo ángulo de cruce).
Figura 5. Contornos HDOP para un sistema de multilateración (trilateración) de rango real bidimensional.

La planificación de un sistema de navegación o vigilancia de multilateración de rango real a menudo implica un análisis de dilución de precisión (DOP) para informar las decisiones sobre el número y la ubicación de las estaciones y el área de servicio del sistema (dos dimensiones) o volumen de servicio (tres dimensiones). [ 21 ] [ 22 ] La Fig. 5 muestra los DOP horizontales (HDOP) para un sistema de multilateración de rango real de dos estaciones en 2D. El HDOP es infinito a lo largo de la línea base y sus extensiones, ya que solo se mide una de las dos dimensiones. Un usuario de dicho sistema debería estar aproximadamente perpendicular a la línea base y dentro de una banda de rango que depende de la aplicación. Por ejemplo, para las correcciones de navegación DME/DME por aeronaves, el HDOP máximo permitido por la FAA de EE. UU. es el doble del valor mínimo posible, o 2,828, [ 23 ] lo que limita el rango de uso máximo (que ocurre a lo largo de la bisectriz de la línea base) a 1,866 veces la longitud de la línea base. (El plano que contiene dos estaciones terrestres DME y una aeronave no es estrictamente horizontal, pero suele ser casi horizontal). De manera similar, los topógrafos seleccionan el punto P en la Fig. 1 de modo que C1-C2-P formen aproximadamente un triángulo equilátero (donde HDOP = 1,633).

Los errores en los levantamientos de trilateración se analizan en varios documentos. [ 24 ] [ 25 ] Generalmente, se hace hincapié en los efectos de los errores de medición de distancia, en lugar de en los efectos de los errores numéricos del algoritmo.

Aplicaciones

Los sistemas de navegación y vigilancia suelen involucrar vehículos y requieren que una entidad gubernamental u otra organización despliegue múltiples estaciones que empleen algún tipo de tecnología de radio (es decir, que utilicen ondas electromagnéticas). Las ventajas y desventajas de emplear la multilateración de alcance real para este tipo de sistema se muestran en la siguiente tabla.

La multilateración de rango real se suele contrastar con la multilateración de rango pseudo, ya que ambas requieren que el usuario conozca el alcance de múltiples estaciones. La complejidad y el coste del equipo del usuario son probablemente los factores más importantes que limitan el uso de la multilateración de rango real para la navegación y vigilancia de vehículos. Algunos usos no corresponden al propósito original del despliegue del sistema , como por ejemplo, la navegación aérea DME/DME.

Véase también

Referencias

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  2. 1 2 3 4 " Rho-Rho Loran-C combinado con navegación por satélite para estudios en alta mar ". ST Grant, Revista Hidrográfica Internacional , sin fecha.
  3. ↑ Wirtanen, Theodore H. (1969). "Multilateración láser". Journal of the Surveying and Mapping Division . 95 (1). American Society of Civil Engineers (ASCE): 81– 92. doi : 10.1061/jsueax.0000322 . ISSN 0569-8073 . 
  4. ↑ Escobal, PR; Fliegel, HF; Jaffe, RM; Muller, PM; Ong, KM; Vonroos, OH (2013-08-07). "Una multilateración 3-D: un sistema de medición geodésica de precisión" . JPL Quart. Tech. Rev. 2 ( 3) . Recuperado el 2022-11-06 .
  5. 1 2 Impacto de la asistencia del reloj de rubidio en la navegación vehicular aumentada por GPS , Zhaonian Zhang; Universidad de Calgary; diciembre de 1997.
  6. 1 2 3 Geyer, Michael (junio de 2016). Análisis de navegación y vigilancia de aeronaves con referencia a la Tierra . Biblioteca Nacional de Transporte del DOT de EE. UU.: Centro Nacional de Sistemas de Transporte John A. Volpe del DOT de EE. UU.
  7. ↑ Levantamientos aéreos de Adastra, consultados el 22 de enero de 2019.
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  9. ↑ "Trilateración y extensión a la navegación del sistema de posicionamiento global", BT Fang, Journal of Guidance, Control, and Dynamics , vol. 9 (1986), pp 715–717.
  10. 1 2 " Algoritmos de forma cerrada en posicionamiento móvil: mitos y conceptos erróneos ", Niilo Sirola, Actas del 7º Taller sobre Posicionamiento, Navegación y Comunicación 2010 (WPNC'10) , 11 de marzo de 2010.
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  13. ↑ "Cómo un reloj atómico a escala de chip puede ayudar a mitigar la interferencia de banda ancha" ; Fang-Cheng Chan, Mathieu Joerger, Samer Khanafseh, Boris Pervan y Ondrej Jakubov; GPS World -- Innovations ; mayo de 2014.
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  28. ↑ "Conceptos básicos del radar" , Christian Wolff, sin fecha
  • stackexchange.com , Implementación en PHP/Python
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