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Optimización topológica

La optimización topológica es un método matemático que optimiza la disposición de los materiales dentro de un espacio de diseño determinado, para un conjunto específico de carga...

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La optimización topológica es un método matemático que optimiza la disposición de los materiales dentro de un espacio de diseño determinado, para un conjunto específico de cargas , condiciones de contorno y restricciones , con el objetivo de maximizar el rendimiento del sistema. La optimización topológica se diferencia de la optimización de forma y de la optimización de tamaño en que el diseño puede adoptar cualquier forma dentro del espacio de diseño, en lugar de trabajar con configuraciones predefinidas.

La formulación convencional de optimización topológica utiliza el método de elementos finitos (MEF) para evaluar el rendimiento del diseño. El diseño se optimiza mediante técnicas de programación matemática basadas en gradientes, como el algoritmo de criterios de optimalidad y el método de asíntotas móviles , o mediante algoritmos no basados ​​en gradientes, como los algoritmos genéticos .

La optimización topológica tiene una amplia gama de aplicaciones en ingeniería aeroespacial, mecánica, bioquímica y civil. Actualmente, los ingenieros la utilizan principalmente en la fase conceptual del proceso de diseño . Debido a las formas libres que surgen de forma natural, el resultado suele ser difícil de fabricar. Por ello, el resultado obtenido mediante la optimización topológica se suele ajustar para facilitar su fabricación. Añadir restricciones a la formulación para mejorar la fabricabilidad es un campo de investigación activo. En algunos casos, los resultados de la optimización topológica pueden fabricarse directamente mediante fabricación aditiva ; por lo tanto, la optimización topológica es una parte fundamental del diseño para la fabricación aditiva .

Planteamiento del problema

Un problema de optimización topológica puede escribirse en la forma general de un problema de optimización como:

minimizarρF=F(tú(ρ),ρ)=∫ΩF(tú(ρ),ρ)dVstúbjmidottoGRAMO0(ρ)=∫ΩρdV−V0≤0GRAMOj(tú(ρ),ρ)≤0 con j=1,...,metro.{\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {\rho }{\operatorname {minimizar} }}&&F=F(\mathbf {u(\rho ),\rho } )=\int _{\Omega }f(\mathbf {u(\rho ),\rho } )\mathrm {d} V\\&\operatorname {sujeto\;a} &&G_{0}(\rho )=\int _{\Omega }\rho \mathrm {d} V-V_{0}\leq 0\\&&&G_{j}(\mathbf {u} (\rho ),\rho )\leq 0{\text{ con }}j=1,...,m.\end{aligned}}}

El enunciado del problema incluye lo siguiente:

  • Una función objetivoF(tú(ρ),ρ){\displaystyle F(\mathbf {u(\rho ),\rho } )}Esta función representa la cantidad que se minimiza para obtener el mejor rendimiento. La función objetivo más común es la flexibilidad , donde minimizarla conlleva maximizar la rigidez de la estructura.
  • La distribución del material como variable del problema. Esto se describe mediante la densidad del material en cada ubicación,ρ(incógnita){\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}El material está presente, indicado por un 1, o ausente, indicado por un 0.tú=tú(ρ){\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} (\mathbf {\rho } )}es un campo de estado que satisface una ecuación de estado lineal o no lineal dependiendo deρ{\displaystyle \rho }.
  • El espacio de diseño(Ω){\displaystyle (\Omega )}Esto indica el volumen admisible dentro del cual puede existir el diseño. Los requisitos de ensamblaje y embalaje, así como la accesibilidad para personas y herramientas, son algunos de los factores que deben considerarse para identificar este espacio. Al definir el espacio de diseño, las regiones o componentes del modelo que no pueden modificarse durante el proceso de optimización se consideran regiones que no forman parte del diseño.
  • metro{\displaystyle m}restriccionesGRAMOj(tú(ρ),ρ)≤0{\displaystyle G_{j}(\mathbf {u} (\rho ),\rho )\leq 0}una característica que debe satisfacer la solución. Ejemplos de ello son la cantidad máxima de material a distribuir (restricción de volumen) o los valores máximos de tensión.

Evaluartú(ρ){\displaystyle \mathbf {u(\rho )} }A menudo implica resolver una ecuación diferencial . Esto se suele hacer mediante el método de elementos finitos , ya que estas ecuaciones no tienen ninguna solución analítica conocida.

Metodologías de implementación

Existen diversas metodologías de implementación que se han utilizado para resolver problemas de optimización topológica.

Resolución con variables discretas/binarias

La resolución de problemas de optimización topológica en un sentido discreto se realiza discretizando el dominio de diseño en elementos finitos. Las densidades de material dentro de estos elementos se tratan entonces como las variables del problema. En este caso, una densidad de material de 1 indica la presencia de material, mientras que 0 indica su ausencia. Debido a que la complejidad topológica alcanzable del diseño depende del número de elementos, se prefiere un número grande. Un gran número de elementos finitos aumenta la complejidad topológica alcanzable, pero tiene un costo. En primer lugar, resolver el sistema de elementos finitos se vuelve más costoso. En segundo lugar, no existen algoritmos que puedan manejar un gran número (varios miles de elementos no es raro) de variables discretas con múltiples restricciones. Además, son impracticablemente sensibles a las variaciones de los parámetros. [ 1 ] En la literatura, se han reportado problemas con hasta 30 000 variables. [ 2 ]

Resolución del problema con variables continuas

Las complejidades mencionadas al resolver problemas de optimización topológica utilizando variables binarias han llevado a la comunidad a buscar otras opciones. Una de ellas es el modelado de las densidades con variables continuas. Las densidades del material ahora también pueden alcanzar valores entre 0 y 1. Existen algoritmos basados ​​en gradientes que manejan grandes cantidades de variables continuas y múltiples restricciones. Sin embargo, las propiedades del material deben modelarse en un entorno continuo. Esto se realiza mediante interpolación. Una de las metodologías de interpolación más implementadas es el método de Material Isótropo Sólido con Penalización (SIMP). [ 3 ] [ 4 ] Esta interpolación es esencialmente una ley de potencias :mi=mi0+ρpag(mi1−mi0){\displaystyle E\;=\;E_{0}\,+\,\rho ^{p}(E_{1}-E_{0})}Interpola el módulo de Young del material al campo de selección escalar. El valor del parámetro de penalizaciónpag{\displaystyle p}generalmente se toma entre[1,3]{\displaystyle [1,\,3]}. Se ha demostrado que esto confirma la microestructura de los materiales. [ 5 ] En el método SIMP, se agrega un límite inferior al módulo de Young,mi0{\displaystyle E_{0}}para asegurar que las derivadas de la función objetivo sean distintas de cero cuando la densidad se anula. Cuanto mayor sea el factor de penalización, más penaliza SIMP al algoritmo en el uso de densidades no binarias. Desafortunadamente, el parámetro de penalización también introduce no convexidades. [ 6 ]

Software comercial

Existen varios programas informáticos comerciales de optimización topológica en el mercado. La mayoría utiliza la optimización topológica como una guía para determinar el aspecto óptimo del diseño, y se requiere la reconstrucción manual de la geometría. Existen algunas soluciones que generan diseños óptimos listos para la fabricación aditiva . [ 7 ]

Ejemplos

En este resultado se muestran patrones de tablero de ajedrez.
Resultado de la optimización topológica cuando se utiliza el filtrado
Optimización topológica de un problema de cumplimiento

Cumplimiento estructural

Una estructura rígida es aquella que presenta el menor desplazamiento posible bajo ciertas condiciones de contorno. Una medida global de los desplazamientos es la energía de deformación (también llamada compliancia ) de la estructura bajo dichas condiciones. Cuanto menor sea la energía de deformación, mayor será la rigidez de la estructura. Por lo tanto, la función objetivo del problema es minimizar la energía de deformación.

En términos generales, se puede observar que a mayor cantidad de material, menor será la deflexión, ya que habrá más material para resistir las cargas. Por lo tanto, la optimización requiere una restricción opuesta: la restricción de volumen. En realidad, esto representa un factor de costo, ya que no se desea gastar mucho dinero en el material. Para obtener el material total utilizado, se puede realizar una integración del campo de selección sobre el volumen.

Finalmente, se sustituyen las ecuaciones diferenciales que rigen la elasticidad para obtener el enunciado final del problema:

minρ∫Ω12σ:εdΩ{\displaystyle \min _{\rho }\;\int _{\Omega }{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma } :\mathbf {\varepsilon } \,\mathrm {d} \Omega }

sujeto a:

  • ρ∈[0,1]{\displaystyle \rho \,\in \,[0,\,1]}
  • ∫ΩρdΩ≤V∗{\displaystyle \int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} \Omega \;\leq \;V^{*}}
  • ∇⋅σ+F=0{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {\sigma } \,+\,\mathbf {F} \;=\;{\mathbf {0} }}
  • σ=do:ε{\displaystyle \mathbf {\sigma } \;=\;{\mathsf {C}}:\mathbf {\varepsilon } }

Sin embargo, una implementación directa de dicho problema en el marco de elementos finitos sigue siendo inviable debido a problemas como los siguientes:

  1. Dependencia de la malla: El diseño obtenido en una malla puede ser muy diferente del obtenido en otra. Las características del diseño se vuelven más complejas a medida que la malla se refina. [ 8 ]
  2. Inestabilidades numéricas : un pequeño cambio en un parámetro de entrada puede producir un gran cambio en la solución calculada. [ 9 ]

Algunas técnicas, como el filtrado basado en el procesamiento de imágenes [ 10 ] , se utilizan actualmente para mitigar algunos de estos problemas. Si bien durante mucho tiempo pareció que se trataba de un enfoque puramente heurístico, se han establecido conexiones teóricas con la elasticidad no local para respaldar el sentido físico de estos métodos. [ 11 ]

Problemas multifísicos

interacción fluido-estructura

La interacción fluido-estructura es un fenómeno fuertemente acoplado que se refiere a la interacción entre un fluido estacionario o en movimiento y una estructura elástica. Numerosas aplicaciones de ingeniería y fenómenos naturales están sujetos a interacciones fluido-estructura, por lo que considerar estos efectos es fundamental en el diseño de muchas aplicaciones de ingeniería. La optimización topológica para problemas de interacción fluido-estructura se ha estudiado, por ejemplo, en las referencias [ 12 ] , [ 13 ], [ 14 ] y [ 15 ] . A continuación se muestran las soluciones de diseño obtenidas para diferentes números de Reynolds . Estas soluciones dependen del flujo del fluido, lo que indica que el acoplamiento entre el fluido y la estructura se resuelve en los problemas de diseño.

Solución de diseño y campo de velocidad para Re=1
Solución de diseño y campo de velocidad para Re=5
Solución de diseño y campo de presión para Re=10
Solución de diseño y campo de presión para Re=40
Soluciones de diseño para diferentes números de Reynolds para una pared insertada en un canal con un fluido en movimiento.
Esquema del conocido problema del muro. El objetivo del problema de diseño es minimizar la deformación estructural.
Evolución del diseño para un problema de interacción fluido-estructura a partir de la referencia [ 15 ] . El objetivo del problema de diseño es minimizar la deformación estructural. El problema de interacción fluido-estructura se modela con las ecuaciones de Navier-Cauchy y Navier-Stokes.

Conversión de energía termoeléctrica

Esquema del problema de diseño. El objetivo del problema de diseño es distribuir espacialmente dos materiales, el Material A y el Material B, para maximizar una medida de rendimiento como la potencia de refrigeración o la potencia eléctrica de salida.
Evolución del diseño de un generador termoeléctrico fuera de la diagonal. Solución de diseño de un problema de optimización para la potencia eléctrica de salida. El rendimiento del dispositivo se optimizó mediante la distribución de Skutterudita (amarillo) y telururo de bismuto (azul) con una metodología de optimización topológica basada en la densidad. El objetivo del problema de optimización es maximizar la potencia eléctrica de salida del generador termoeléctrico.
Evolución del diseño de un refrigerador termoeléctrico. El objetivo del problema de diseño es maximizar la capacidad de refrigeración del refrigerador termoeléctrico.

La termoelectricidad es un fenómeno multifísico que concierne a la interacción y el acoplamiento entre la energía eléctrica y térmica en materiales semiconductores. La conversión de energía termoeléctrica puede describirse mediante dos efectos identificados por separado: el efecto Seebeck y el efecto Peltier . El efecto Seebeck se refiere a la conversión de energía térmica en energía eléctrica, y el efecto Peltier a la conversión de energía eléctrica en energía térmica. [ 16 ] Al distribuir espacialmente dos materiales termoeléctricos en un espacio de diseño bidimensional con una metodología de optimización topológica, [ 17 ] es posible superar el rendimiento de los materiales termoeléctricos constitutivos para refrigeradores y generadores termoeléctricos . [ 18 ]

3F3D: Impresión 3D donde la forma sigue a la fuerza

La actual proliferación de la tecnología de impresión 3D ha permitido a diseñadores e ingenieros utilizar técnicas de optimización topológica en el diseño de nuevos productos. La optimización topológica combinada con la impresión 3D puede resultar en menor peso, mejor rendimiento estructural y un ciclo de diseño a fabricación más corto, ya que los diseños, si bien eficientes, podrían no ser viables con técnicas de fabricación más tradicionales.

Contacto interno

Optimización topológica 3D con contacto interno para un mecanismo de gancho.
Desarrollo del diseño y deformación de ganchos autoenganchables resultantes de la optimización topológica de un problema de contacto utilizando el método TMC. [ 19 ]

El contacto interno puede incluirse en la optimización topológica mediante la aplicación del método de contacto de tercer medio . [ 20 ] [ 21 ] El método de contacto de tercer medio (TMC) es una formulación de contacto implícita que es continua y diferenciable. Esto hace que el TMC sea adecuado para su uso con enfoques basados ​​en gradientes para la optimización topológica. Los enfoques monolíticos [ 22 ] , así como los escalonados, [ 19 ] [ 23 ] que son más comunes en la optimización topológica, se han utilizado para crear varios diseños con contacto interno. Recientemente, el contacto térmico se ha incluido en el marco de optimización topológica TMC. [ 24 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Sigmund, Ole; Maute, Kurt (2013). "Enfoques de optimización topológica". Optimización estructural y multidisciplinaria . 48 (6): 1031– 1055. doi : 10.1007/s00158-013-0978-6 . S2CID 124426387 . 
  2. ↑ Beckers, M. (1999). "Optimización topológica mediante un método dual con variables discretas" (PDF) . Optimización estructural . 17 : 14–24 . doi : 10.1007/BF01197709 . S2CID 122845784 . 
  3. ↑ Bendsøe, MP (1989). "Diseño de forma óptima como un problema de distribución de materiales". Optimización estructural . 1 (4): 193– 202. doi : 10.1007/BF01650949 . S2CID 18253872 . 
  4. ↑, una monografía sobre el tema.
  5. ↑ Bendsøe, MP; Sigmund, O. (1999). "Esquemas de interpolación de materiales en optimización topológica" (PDF) . Archivo de Mecánica Aplicada . 69 ( 9–10 ): 635–654 . Bibcode : 1999AAM....69..635B . doi : 10.1007/s004190050248 . S2CID 11368603 . 
  6. ↑ van Dijk, NP. Langelaar, M. van Keulen, F. Estudio crítico de la parametrización del diseño en la optimización topológica; La influencia de la parametrización del diseño en los mínimos locales . . 2.ª Conferencia Internacional sobre Optimización en Ingeniería, 2010
  7. ↑ "Software de optimización topológica para impresión 3D" . 23 de septiembre de 2021.
  8. ^ Allaire, Gregoire; Henrot, Antoine (mayo de 2001). "Sobre algunos avances recientes en la optimización de la forma" . Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . Serie IIB - Mecánica. 329 (5). Elsevier: 383– 396. Código bibliográfico : 2001CRASB.329..383A . doi : 10.1016/S1620-7742(01)01349-6 . ISSN 1620-7742 . Consultado el 12 de septiembre de 2021 . 
  9. ↑ Shukla, Avinash; Misra, Anadi; Kumar, Sunil (septiembre de 2013). "Problema del tablero de ajedrez en la optimización topológica basada en elementos finitos" . Revista internacional de avances en ingeniería y tecnología . 6 (4). CiteSeer: 1769–1774 . CiteSeerX 10.1.1.670.6771 . ISSN 2231-1963 . Recuperado el 14 de febrero de 2022 .  
  10. ↑ Bourdin, Blaise (30 de marzo de 2001). "Filtros en optimización topológica" . Revista Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería . 50 (9). Wiley: 2143–2158 . Bibcode : 2001IJNME..50.2143B . doi : 10.1002/nme.116 . ISSN 1097-0207 . S2CID 38860291. Consultado el 2 de agosto de 2020 .  
  11. ↑ Sigmund, Ole; Maute, Kurt (octubre de 2012). "Filtrado de sensibilidad desde una perspectiva de mecánica de medios continuos" . Optimización estructural y multidisciplinaria . 46 (4). Springer: 471–475 . doi : 10.1007/s00158-012-0814-4 . ISSN 1615-1488 . S2CID 253680268. Consultado el 17 de junio de 2021 .  
  12. ↑ Yoon, Gil Ho (2010). "Optimización topológica para problemas de interacción fluido-estructura estacionarios utilizando una nueva formulación monolítica". International Journal for Numerical Methods in Engineering . 82 (5): 591– 616. Bibcode : 2010IJNME..82..591Y . doi : 10.1002/nme.2777 . S2CID 122993997 . 
  13. ↑ Picelli, R.; Vicente, WM; Pavanello, R. (2017). "Optimización topológica evolutiva para la minimización de la conformidad estructural considerando cargas FSI dependientes del diseño". Finite Elements in Analysis and Design . 135 : 44–55 . doi : 10.1016/j.finel.2017.07.005 .
  14. ↑ Jenkins, Nicholas; Maute, Kurt (2016). "Un enfoque de frontera inmersa para la optimización de forma y topología de problemas de interacción fluido-estructura estacionarios". Optimización estructural y multidisciplinaria . 54 (5): 1191– 1208. doi : 10.1007/s00158-016-1467-5 . S2CID 124632210 . 
  15. 1 2 Lundgaard, Christian; Alexandersen, Joe; Zhou, Mingdong; Andreasen, Casper Schousboe; Sigmund, Ole (2018). "Revisiting density-based topology optimization for fluid-structure-interaction problems" (PDF) . Structural and Multidisciplinary Optimization . 58 (3): 969– 995. doi : 10.1007/s00158-018-1940-4 . S2CID 125798826 . 
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  17. ↑ Lundgaard, Christian; Sigmund, Ole (2018). "Una metodología de optimización topológica basada en la densidad para problemas de conversión de energía termoeléctrica" ​​(PDF) . Optimización estructural y multidisciplinaria . 57 (4): 1427– 1442. doi : 10.1007/s00158-018-1919-1 . S2CID 126031362 . 
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  23. ↑ Frederiksen, Andreas H.; Dalklint, Anna; Sigmund, Ole; Poulios, Konstantinos (2025-03-01). "Formulación mejorada de un tercer medio para la optimización de la topología 3D con contacto" . Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering . 436 117595. Bibcode : 2025CMAME.43617595F . doi : 10.1016/j.cma.2024.117595 . ISSN 0045-7825 . 
  24. ↑ Dalklint, Anna; Alexandersen, Joe; Frederiksen, Andreas Henrik; Poulios, Konstantinos; Sigmund, Ole (2025). "Optimización topológica de reguladores termomecánicos asistidos por contacto" . International Journal for Numerical Methods in Engineering . 126 (2) e7661. arXiv : 2406.00865 . doi : 10.1002/nme.7661 . ISSN 1097-0207 . 

Lecturas adicionales

  • Pedersen, Claus BW; Allinger, Peter (2006). «Implementación industrial y aplicaciones de la optimización topológica y necesidades futuras». Simposio IUTAM sobre optimización del diseño topológico de estructuras, máquinas y materiales . Mecánica de sólidos y sus aplicaciones. Vol.  137. Springer. pp. 229–238 . doi : 10.1007/1-4020-4752-5_23 . ISBN  978-1-4020-4729-9.
  • Schramm, Uwe; Zhou, Ming (2006). «Desarrollos recientes en la implementación comercial de la optimización topológica». Simposio IUTAM sobre optimización del diseño topológico de estructuras, máquinas y materiales . Mecánica de sólidos y sus aplicaciones. Vol.  137. Springer. pp. 239–248 . doi : 10.1007/1-4020-4752-5_24 . ISBN  978-1-4020-4729-9.
  • Mahdavi, A.; Balaji, R.; Frecker, M.; Mockensturm, EM (2006). "Optimización topológica de continuos 2D para cumplimiento mínimo mediante computación paralela". Optimización estructural y multidisciplinaria . 32 (2): 121– 132. doi : 10.1007/s00158-006-0006-1 . S2CID 61564700 . 
  • Leiva, Juan; Watson, Brian; Kosaka, Iku (1999). "Conceptos modernos de optimización estructural aplicados a la optimización topológica". 40.ª Conferencia y Exposición sobre Estructuras, Dinámica Estructural y Materiales . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. doi : 10.2514/6.1999-1388 .
  • animaciones de optimización topológica