dinámica de fluidos topológica

Las ideas topológicas son relevantes para la dinámica de fluidos (incluida la magnetohidrodinámica ) a nivel cinemático , ya que cualquier flujo de fluido implica una deformación continua de cualquier campo escalar o vectorial transportado. Los problemas de agitación y mezcla son particularmente susceptibles a las técnicas topológicas. Así, por ejemplo, la clasificación de Thurston-Nielsen se ha aplicado con éxito al problema de la agitación en dos dimensiones mediante cualquier número de agitadores que siguen un protocolo de agitación periódico (Boyland, Aref y Stremler, 2000). Otros estudios se centran en flujos con trayectorias de partículas caóticas y tasas de mezcla exponenciales asociadas (Ottino, 1989).

A nivel dinámico, el hecho de que las líneas de vórtice sean transportadas por cualquier flujo regido por las ecuaciones clásicas de Euler implica la conservación de cualquier estructura vorticial dentro del flujo. Dichas estructuras se caracterizan, al menos en parte, por la helicidad de ciertas subregiones del campo de flujo, un invariante topológico de las ecuaciones. La helicidad desempeña un papel central en la teoría de la dinamo , la teoría de la generación espontánea de campos magnéticos en estrellas y planetas (Moffatt 1978, Parker 1979, Krause y Rädler 1980). Se sabe que, con pocas excepciones, cualquier flujo turbulento estadísticamente homogéneo con helicidad media distinta de cero en una extensión suficientemente grande de fluido conductor generará un campo magnético a gran escala mediante la acción de la dinamo. Dichos campos exhiben helicidad magnética , lo que refleja su propia estructura topológicamente no trivial.

Existe gran interés en la determinación de estados de energía mínima, sujetos a una topología predefinida. Muchos problemas de dinámica de fluidos y magnetohidrodinámica se enmarcan en esta categoría. Los avances recientes en dinámica de fluidos topológica incluyen aplicaciones a trenzas magnéticas en la corona solar , el anudamiento del ADN por topoisomerasas , el entrelazamiento de polímeros en física química y el comportamiento caótico en sistemas dinámicos. Arnold y Khesin (1998) ofrecen una introducción matemática a este tema, y ​​se pueden encontrar artículos de revisión y contribuciones recientes en Ricca (2009) y Moffatt, Bajer y Kimura (2013).

La topología también es crucial para la estructura de las superficies neutras en un fluido (como el océano), donde la ecuación de estado depende de forma no lineal de múltiples componentes (por ejemplo, salinidad y calor). Las parcelas de fluido mantienen una flotabilidad neutra al moverse a lo largo de las superficies neutras, a pesar de las variaciones en la salinidad o el calor. En dichas superficies, la salinidad y el calor están relacionados funcionalmente, pero esta función es multivaluada . Las regiones espaciales dentro de las cuales esta función se vuelve univaluada son aquellas donde hay como máximo un contorno de salinidad (o calor) por isovalor, que son precisamente las regiones asociadas con cada arista del gráfico de Reeb de la salinidad (o calor) en la superficie (Stanley 2019).

• Arnold, VI y Khesin, BA (1998) Métodos topológicos en hidrodinámicaCiencias Matemáticas Aplicadas 125 , Springer-Verlag. ISBN 9780387949475
• Boyland, PL, Aref, H. y Stremler, MA (2000) Mecánica de fluidos topológica de la agitación . J.Fluid Mech. 403 , pp.  277–304.
• Krause, F. y Rädler, K.-H. (1980) Magnetohidrodinámica de campo medio y teoría de la dinamo . Pergamon Press, Oxford. ISBN 9780080250410
• Moffatt, HK (1978) Generación de campo magnético en fluidos conductores de electricidad . Cambridge Univ. Press. ISBN 9780521216401
• Moffatt, HK , Bajer, K., & Kimura, Y. (Eds.) (2013) Dinámica de fluidos topológica, teoría y aplicaciones . Kluwer.
• Ottino, J. (1989) La cinemática de la mezcla: estiramiento, caos y transporte . Cambridge Univ. Press. ISBN 9780521368780
• Parker, EN (1979) Campos magnéticos cósmicos: su origen y su actividad . Oxford Univ. Press. ISBN 9780198512905
• Ricca, RL (Ed.) (2009) Lecciones sobre mecánica de fluidos topológica . Springer-CIME Lecture Notes in Mathematics 1973. Springer-Verlag. Heidelberg, Alemania. ISBN 9783642008368
• Stanley, GJ, 2019: Topología de la superficie neutra . Ocean Modelling 138, 88–106.