Gas en una caja

En mecánica cuántica , los resultados del modelo de partícula cuántica en una caja pueden utilizarse para analizar la situación de equilibrio de un gas ideal cuántico en una caja , que contiene un gran número de partículas que no interactúan entre sí, salvo por colisiones termalizantes instantáneas. Este sencillo modelo puede utilizarse para describir tanto el gas ideal clásico como diversos gases ideales cuánticos, como el gas de Fermi ideal masivo , el gas de Bose ideal masivo y la radiación de cuerpo negro ( gas de fotones ), que puede tratarse como un gas de Bose sin masa, en el que se suele suponer que la termalización se facilita mediante la interacción de los fotones con una masa en equilibrio.

Utilizando los resultados de las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , Bose-Einstein o Fermi-Dirac , y considerando el límite de una caja muy grande, se emplea la aproximación de Thomas-Fermi (llamada así en honor a Enrico Fermi y Llewellyn Thomas ) para expresar la degeneración de los estados de energía como un diferencial y las sumas sobre los estados como integrales. Esto permite calcular las propiedades termodinámicas del gas mediante la función de partición o la función de partición global . Estos resultados se aplicarán tanto a partículas con masa como sin masa. Los cálculos más completos se presentarán en artículos aparte, pero en este artículo se ofrecerán algunos ejemplos sencillos.

Aproximación de Thomas-Fermi para la degeneración de estados

Para partículas tanto masivas como sin masa en una caja , los estados de una partícula se enumeran mediante un conjunto de números cuánticos [ n _x , n _y , n _z ] . La magnitud del momento viene dada por

p={\frac {h}{2L}}{\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}\qquad \qquad n_{x},n_{y},n_{z}=1,2,3,\ldots

donde h es la constante de Planck y L es la longitud de un lado de la caja. Cada estado posible de una partícula puede considerarse como un punto en una cuadrícula tridimensional de enteros positivos. La distancia desde el origen a cualquier punto será

n={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}={\frac {2Lp}{h}}

Supongamos que cada conjunto de números cuánticos especifica f estados, donde f es el número de grados de libertad internos de la partícula que pueden ser alterados por una colisión. Por ejemplo, una partícula de espín 1/2 tendría f = 2 , uno para cada estado de espín. Para valores grandes de n , el número de estados con magnitud de momento menor o igual a p de la ecuación anterior es aproximadamente

g=\left({\frac {f}{8}}\right){\frac {4}{3}}\pi n^{3}={\frac {4\pi f}{3}}\left({\frac {Lp}{h}}\right)^{3}

que es simplemente f veces el volumen de una esfera de radio n dividido por ocho, ya que solo se considera el octante con n _i positivo. Usando una aproximación continua , el número de estados con magnitud de momento entre p y p + dp es, por lo tanto,

dg={\frac {\pi }{2}}~fn^{2}\,dn={\frac {4\pi fV}{h^{3}}}~p^{2}\,dp

donde V = L ³ es el volumen de la caja. Nótese que al usar esta aproximación continua, también conocida como aproximación de Thomas-Fermi , se pierde la capacidad de caracterizar los estados de baja energía, incluido el estado fundamental donde n _i = 1. En la mayoría de los casos esto no será un problema, pero al considerar la condensación de Bose-Einstein , en la que una gran parte del gas está en o cerca del estado fundamental , la capacidad de tratar con estados de baja energía se vuelve importante.

Sin utilizar ninguna aproximación, el número de partículas con energía ε _i viene dado por

N_{i}={\frac {g_{i}}{\Phi (\varepsilon _{i})}}

dónde $g_{i}$ es la degeneración del estado i y $\Phi (\varepsilon _{i})={\begin{cases}e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )},&{\text{para partículas que obedecen la estadística de Maxwell-Boltzmann}}\\e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}-1,&{\text{para partículas que obedecen la estadística de Bose-Einstein}}\\e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}+1,&{\text{para partículas que obedecen la estadística de Fermi-Dirac}}\\\end{cases}}$ donde β = 1/ k _BT , la constante de Boltzmann k _B , la temperatura T y el potencial químico μ . (Véase la estadística de Maxwell-Boltzmann , la estadística de Bose-Einstein y la estadística de Fermi-Dirac ).

Utilizando la aproximación de Thomas-Fermi, el número de partículas dN _E con energía entre E y E + dE es:

dN_{E}={\frac {dg_{E}}{\Phi (E)}}

dónde $dg_{E}$ es el número de estados con energía entre E y E + dE .

Distribución de energía

Utilizando los resultados derivados de las secciones anteriores de este artículo, ahora se pueden determinar algunas distribuciones para el gas en una caja. Para un sistema de partículas, la distribución $P_{A}$ para una variable $A$ se define a través de la expresión $P_{A}dA$ que es la fracción de partículas que tienen valores para $A$ entre $A$ y $A+dA$

P_{A}~dA={\frac {dN_{A}}{N}}={\frac {dg_{A}}{N\Phi _{A}}}

dónde

$dN_{A}$ , número de partículas que tienen valores para $A$ entre $A$ y $A+dA$
$dg_{A}$ , número de estados que tienen valores para $A$ entre $A$ y $A+dA$
$\Phi _ {A}^{-1}$ , probabilidad de que un estado que tenga el valor $A$ está ocupada por una partícula
$N$ , número total de partículas.

Resulta que:

\int _{A}P_{A}~dA=1

Para una distribución de momento $P_{p}$ , la fracción de partículas con magnitud de momento entre $p$ y $p+dp$ es:

P_{p}~dp={\frac {Vf}{N}}~{\frac {4\pi }{h^{3}\Phi _{p}}}~p^{2}dp

y para una distribución de energía $P_{E}$ , la fracción de partículas con energía entre $E$ y $E+dE$ es:

P_{E}~dE=P_{p}{\frac {dp}{dE}}~dE

Para una partícula en una caja (y también para una partícula libre ), la relación entre energía $E$ y el impulso $p$ es diferente para partículas masivas y sin masa. Para partículas masivas,

E={\frac {p^{2}}{2m}}

mientras que para partículas sin masa,

E=pc

dónde $m$ es la masa de la partícula y $c$ es la velocidad de la luz . Usando estas relaciones,

Para partículas masivas ${\begin{alignedat}{2}dg_{E}&=\quad \ \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{\sqrt {\pi }}}~\beta ^{3/2}E^{1/2}~dE\\P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{\sqrt {\pi }}}~{\frac {\beta ^{3/2}E^{1/2}}{\Phi (E)}}~dE\\\end{alignedat}}$ donde $Λ$ es la longitud de onda térmica del gas. $\Lambda ={\sqrt {\frac {h^{2}\beta }{2\pi m}}}$ Esta es una cantidad importante, ya que cuando $Λ$ es del orden de la distancia entre partículas $(V/N)^{1/3}$ Los efectos cuánticos comienzan a predominar y el gas ya no puede considerarse un gas de Maxwell-Boltzmann.
Para partículas sin masa ${\begin{alignedat}{2}dg_{E}&=\quad \ \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~\beta ^{3}E^{2}~dE\\P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~{\frac {\beta ^{3}E^{2}}{\Phi (E)}}~dE\\\end{alignedat}}$ donde $Λ$ es ahora la longitud de onda térmica para partículas sin masa. $\Lambda ={\frac {ch\beta }{2\,\pi ^{1/3}}}$

Ejemplos específicos

Las siguientes secciones ofrecen un ejemplo de resultados para algunos casos específicos.

Partículas masivas de Maxwell-Boltzmann

Para este caso:

\Phi (E)=e^{\beta (E-\mu )}

Integrando la función de distribución de energía y resolviendo para N se obtiene

N=\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right)\,\,e^{\beta \mu }

Sustituyendo en la función de distribución de energía original se obtiene

P_{E}~dE=2{\sqrt {\frac {\beta ^{3}E}{\pi }}}~e^{-\beta E}~dE

que son los mismos resultados obtenidos clásicamente para la distribución de Maxwell-Boltzmann . Se pueden encontrar resultados adicionales en la sección clásica del artículo sobre el gas ideal .

Partículas masivas de Bose-Einstein

Para este caso:

\Phi (E)={\frac {e^{\beta E}}{z}}-1

dónde $z=e^{\beta \mu }.$

Integrando la función de distribución de energía y resolviendo para N se obtiene el número de partículas.

N=\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\textrm {Li}}_{3/2}(z)

donde Li _s ( z ) es la función polilogaritmo . El término polilogaritmo siempre debe ser positivo y real, lo que significa que su valor irá de 0 a ζ (3/2) a medida que z va de 0 a 1. A medida que la temperatura desciende hacia cero, $Λ$ se hará cada vez más grande, hasta que finalmente $Λ$ alcance un valor crítico $Λ c$ donde z = 1 y

N=\left({\frac {Vf}{\Lambda _{\rm {c}}^{3}}}\right)\zeta (3/2),

dónde $\zeta (z)$ denota la función zeta de Riemann . La temperatura a la que $Λ = Λc es$ la temperatura crítica. Para temperaturas inferiores a esta temperatura crítica, la ecuación anterior para el número de partículas no tiene solución. La temperatura crítica es la temperatura a la que comienza a formarse un condensado de Bose-Einstein. El problema es, como se mencionó anteriormente, que el estado fundamental se ha ignorado en la aproximación continua. Sin embargo, resulta que la ecuación anterior para el número de partículas expresa bastante bien el número de bosones en estados excitados y, por lo tanto:

N={\frac {g_{0}z}{1-z}}+\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right)\operatorname {Li} _{3/2}(z)

donde el término añadido es el número de partículas en el estado fundamental. Se ha ignorado la energía del estado fundamental. Esta ecuación es válida hasta temperatura cero. Se pueden encontrar más resultados en el artículo sobre el gas de Bose ideal .

Partículas de Bose-Einstein sin masa (por ejemplo, radiación de cuerpo negro)

Para el caso de partículas sin masa, debe utilizarse la función de distribución de energía sin masa. Es conveniente convertir esta función en una función de distribución de frecuencia :

P_{\nu }~d\nu ={\frac {h^{3}}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~{\frac {\beta ^{3}\nu ^{2}}{e^{(h\nu -\mu )/k_{\rm {B}}T}-1}}~d\nu

donde $Λ$ es la longitud de onda térmica para partículas sin masa. La densidad de energía espectral (energía por unidad de volumen por unidad de frecuencia) es entonces

U_{\nu }~d\nu =\left({\frac {N\,h\nu }{V}}\right)P_{\nu }~d\nu ={\frac {4\pi fh\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{(h\nu -\mu )/k_{\rm {B}}T}-1}}~d\nu .

Otros parámetros termodinámicos pueden derivarse de forma análoga al caso de partículas masivas. Por ejemplo, integrando la función de distribución de frecuencias y resolviendo para N se obtiene el número de partículas:

N={\frac {16\,\pi V}{c^{3}h^{3}\beta ^{3}}}\,\mathrm {Li} _{3}\left(e^{\mu /k_{\rm {B}}T}\right).

El gas de Bose sin masa más común es un gas de fotones en un cuerpo negro . Si consideramos la "caja" como una cavidad de cuerpo negro, los fotones son absorbidos y reemitidos continuamente por las paredes. En este caso, el número de fotones no se conserva. En la derivación de la estadística de Bose-Einstein , cuando se elimina la restricción sobre el número de partículas, esto es prácticamente lo mismo que establecer el potencial químico ( μ ) a cero. Además, dado que los fotones tienen dos estados de espín, el valor de f es 2. La densidad de energía espectral es entonces

U_{\nu }~d\nu ={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\rm {B}}T}-1}}~d\nu

que es simplemente la densidad de energía espectral para la ley de Planck de la radiación de cuerpo negro . Cabe señalar que la distribución de Wien se recupera si este procedimiento se lleva a cabo para partículas de Maxwell-Boltzmann sin masa, lo que se aproxima a una distribución de Planck para altas temperaturas o bajas densidades.

En ciertas situaciones, las reacciones que involucran fotones dan como resultado la conservación del número de fotones (por ejemplo, diodos emisores de luz , cavidades "blancas"). En estos casos, la función de distribución de fotones implicará un potencial químico distinto de cero. (Hermann 2005)

Otro gas de Bose sin masa viene dado por el modelo de Debye para la capacidad calorífica . Este modelo considera un gas de fonones en una caja y difiere del desarrollo para fotones en que la velocidad de los fonones es menor que la velocidad de la luz, y hay una longitud de onda máxima permitida para cada eje de la caja. Esto significa que la integración sobre el espacio de fases no puede llevarse al infinito, y en lugar de que los resultados se expresen en polilogaritmos, se expresan en las funciones de Debye relacionadas .

Partículas masivas de Fermi-Dirac (por ejemplo, electrones en un metal)

Para este caso:

\Phi (E)=e^{\beta (E-\mu )}+1.\,

Integrando la función de distribución de energía se obtiene

N=\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right)\left[-{\textrm {Li}}_{3/2}(-z)\right]

donde Li _s ( z ) es la función polilogaritmo y $Λ$ es la longitud de onda térmica de De Broglie . Se pueden encontrar más resultados en el artículo sobre el gas de Fermi ideal . Las aplicaciones del gas de Fermi se encuentran en el modelo de electrones libres , la teoría de las enanas blancas y en la materia degenerada en general.

Véase también

Gas en una trampa armónica

Referencias

Herrmann, F.; Würfel, P. (agosto de 2005). "Luz con potencial químico distinto de cero" . American Journal of Physics . 73 (8): 717– 723. Bibcode : 2005AmJPh..73..717H . doi : 10.1119/1.1904623 . Consultado el 20 de noviembre de 2006 .
Huang, Kerson (1967). Mecánica estadística . Nueva York: John Wiley & Sons.
Isihara, A. (1971). Física estadística . Nueva York: Academic Press.
Landau, LD; EM Lifshitz (1996). Física estadística (3.ª edición, parte 1 ). Oxford: Butterworth-Heinemann.
Yan, Zijun (2000). "Longitud de onda térmica general y sus aplicaciones". Eur. J. Phys . 21 (6): 625– 631. Bibcode : 2000EJPh...21..625Y . doi : 10.1088/0143-0807/21/6/314 . S2CID 250870934 .
Vu-Quoc, L., Integral de configuración (mecánica estadística) , 2008. Este sitio wiki está caído; consulte este artículo en el archivo web del 28 de abril de 2012 .