La función de Thomae

La función de Thomae es una función de valor real de una variable real que se puede definir como: ^{[ 1 ] : 531}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&{\text{si }}x={\tfrac {p}{q}}\quad (x{\text{ es racional), con }}p\in \mathbb {Z} {\text{ y }}q\in \mathbb {N} {\text{ coprimo}}\\0&{\text{si }}x{\text{ es irracional.}}\end{cases}}}$$

Recibe su nombre de Carl Johannes Thomae , pero tiene muchos otros nombres: la función palomita de maíz , la función gota de lluvia , la función nube contable , la función de Dirichlet modificada , la función regla (que no debe confundirse con la función regla entera ), ^{[ 2 ]} la función de Riemann o Estrellas sobre Babilonia ( nombre que le dio John Horton Conway ). ^{[ 3 ]} Thomae la mencionó como un ejemplo de una función integrable con infinitas discontinuidades en un libro de texto antiguo sobre la noción de integración de Riemann. ^{[ 4 ]}

Dado que cada número racional tiene una representación única con coprimo (también denominado primo relativo)${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$y${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$, la función está bien definida . Nótese que${\displaystyle q=+1}$es el único número en${\displaystyle \mathbb {N} }$que es coprimo con${\displaystyle p=0.}$

Se trata de una modificación de la función de Dirichlet , que es 1 en los números racionales y 0 en los demás casos.

Las distribuciones de probabilidad empíricas relacionadas con la función de Thomae aparecen en la secuenciación del ADN . ^{[ 8 ]} El genoma humano es diploide , con dos hebras por cromosoma. Al secuenciarlo, se generan pequeños fragmentos ("lecturas"): para cada punto del genoma, un número entero de lecturas se superpone con él. Su proporción es un número racional y, por lo general, se distribuye de forma similar a la función de Thomae.

Si pares de enteros positivos${\displaystyle m,n}$se muestrean a partir de una distribución${\displaystyle f(n,m)}$y se utiliza para generar proporciones${\displaystyle q=n/(n+m)}$, esto da lugar a una distribución${\displaystyle g(q)}$sobre los números racionales. Si los enteros son independientes, la distribución puede verse como una convolución sobre los números racionales,${\textstyle g(a/(a+b))=\sum _{t=1}^{\infty }f(ta)f(tb)}$Existen soluciones analíticas para distribuciones de ley de potencias con un límite inferior. Si${\displaystyle f(k)=k^{-\alpha }e^{-\beta k}/\mathrm {Li} _{\alpha }(e^{-\beta })}$(dónde${\displaystyle \mathrm {Li} _{\alpha }}$es la función polilogaritmo ) entonces${\displaystyle g(a/(a+b))=(ab)^{-\alpha }\mathrm {Li} _{2\alpha }(e^{-(a+b)\beta })/\mathrm {Li} _{\alpha }^{2}(e^{-\beta })}$. En el caso de distribuciones uniformes en el conjunto${\displaystyle \{1,2,\ldots ,L\}}$${\displaystyle g(a/(a+b))=(1/L^{2})\lfloor L/\max(a,b)\rfloor }$, que es muy similar a la función de Thomae. ^{[ 8 ]}

Para los números enteros, el exponente de la mayor potencia de 2 que divide${\displaystyle n}$da 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, ... (secuencia A007814 en el OEIS ) . Si se agrega 1, o si se eliminan los 0, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, ... (secuencia A001511 en el OEIS ) . Los valores se asemejan a las marcas de una regla graduada de 1/16 , de ahí el nombre. Estos valores corresponden a la restricción de la función de Thomae a los racionales diádicos : aquellos números racionales cuyos denominadores son potencias de 2.

Una pregunta natural que podría surgir es si existe una función que sea continua en los números racionales y discontinua en los números irracionales. Esto resulta ser imposible. El conjunto de discontinuidades de cualquier función debe ser un conjunto F _σ . Si tal función existiera, entonces los irracionales serían un conjunto F _σ . Los irracionales serían entonces la unión numerable de conjuntos cerrados.${\textstyle \bigcup _{i=0}^{\infty }C_{i}}$, pero dado que los irracionales no contienen un intervalo, tampoco puede ninguno de los${\displaystyle C_{i}}$. Por lo tanto, cada uno de los${\displaystyle C_{i}}$No sería denso en ningún lugar, y los irracionales serían un conjunto escaso . De ello se deduce que los números reales, al ser la unión de los irracionales y los racionales (que, como conjunto numerable, es evidentemente escaso), también serían un conjunto escaso. Esto contradiría el teorema de la categoría de Baire : dado que los reales forman un espacio métrico completo , forman un espacio de Baire , que no puede ser escaso en sí mismo.

Se puede utilizar una variante de la función de Thomae para demostrar que cualquier subconjunto F _σ de los números reales puede ser el conjunto de discontinuidades de una función.${\textstyle A=\bigcup _{n=1}^{\infty }F_{n}}$es una unión numerable de conjuntos cerrados${\displaystyle F_{n}}$, definir $${\displaystyle f_{A}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{if }}x{\text{ is rational and }}n{\text{ is minimal so that }}x\in F_{n}\\-{\frac {1}{n}}&{\text{if }}x{\text{ is irrational and }}n{\text{ is minimal so that }}x\in F_{n}\\0&{\text{if }}x\notin A\end{cases}}}$$

Entonces, un argumento similar al de la función de Thomae muestra que${\displaystyle f_{A}}$tiene A como su conjunto de discontinuidades.

• Teorema de Blumberg
• Función Cantor
• función de Dirichlet
• El huerto de Euclides : la función de Thomae puede interpretarse como un dibujo en perspectiva del huerto de Euclides.
• La función de Volterra

• "Función de Dirichlet" . Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• Weisstein, Eric W. "Función de Dirichlet" . MathWorld .