Teorema de transversalidad

Dejar${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$Sea un mapa suave entre variedades suaves, y dejemos que${\displaystyle Z}$ser una subvariedad de${\displaystyle Y}$Decimos que${\displaystyle f}$es transversal a${\displaystyle Z}$, denotado como${\displaystyle f\pitchfork Z}$, si y solo si para cada${\displaystyle x\in f^{-1}\left(Z\right)}$tenemos eso

${\displaystyle \operatorname {im} \left(df_{x}\right)+T_{f\left(x\right)}Z=T_{f\left(x\right)}Y}$.

Un resultado importante sobre la transversalidad establece que si un mapa suave${\displaystyle f}$es transversal a${\displaystyle Z}$, entonces${\displaystyle f^{-1}\left(Z\right)}$es una subvariedad regular de${\displaystyle X}$.

Si${\displaystyle X}$es una variedad con frontera , entonces podemos definir la restricción del mapa${\displaystyle f}$hasta el límite, como${\displaystyle \partial f\colon \partial X\rightarrow Y}$El mapa${\displaystyle \partial f}$es suave y nos permite enunciar una extensión del resultado anterior: si ambos${\displaystyle f\pitchfork Z}$y${\displaystyle \parcial f\pitchfork Z}$, entonces${\displaystyle f^{-1}\left(Z\right)}$es una subvariedad regular de${\displaystyle X}$con límite, y

${\displaystyle \partial f^{-1}\left(Z\right)=f^{-1}\left(Z\right)\cap \partial X}$.

Considere el mapa${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$y definir${\displaystyle f_{s}\left(x\right)=F\left(x,s\right)}$Esto genera una familia de mapeos.${\displaystyle f_{s}\colon X\rightarrow Y}$. Requerimos que la familia varíe suavemente asumiendo${\displaystyle S}$ser un colector (liso) y${\displaystyle F}$ser suave.

El enunciado del teorema de transversalidad paramétrica es:

Supongamos que${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$es un mapa suave de variedades, donde solo${\displaystyle X}$tiene límite, y deje que${\displaystyle Z}$sea ​​cualquier subvariedad de${\displaystyle Y}$sin límite. Si ambos${\displaystyle F}$y${\displaystyle \partial F}$son transversales a${\displaystyle Z}$, entonces para casi todos${\displaystyle s\in S}$, ambos${\displaystyle f_{s}}$y${\displaystyle \partial f_{s}}$son transversales a${\displaystyle Z}$.

El teorema de transversalidad paramétrica mencionado anteriormente es suficiente para muchas aplicaciones elementales (véase el libro de Guillemin y Pollack).

Existen enunciados más potentes (conocidos colectivamente como teoremas de transversalidad ) que implican el teorema de transversalidad paramétrica y que son necesarios para aplicaciones más avanzadas.

De manera informal, el "teorema de transversalidad" establece que el conjunto de aplicaciones transversales a una subvariedad dada es un conjunto abierto denso (o, en algunos casos, solo un subconjunto Gδ denso del conjunto de aplicaciones). Para precisar esta afirmación, es necesario definir el espacio de aplicaciones en consideración y su topología. Existen varias posibilidades; véase el libro de Hirsch.

Lo que se suele entender por el teorema de transversalidad de Thom es una formulación más potente sobre la transversalidad de chorros . Véanse los libros de Hirsch y de Golubitsky y Guillemin. La referencia original es Thom, Bol. Soc. Mat. Mexicana (2) 1 (1956), pp.  59–71.

En la década de 1970, John Mather demostró un resultado aún más general, conocido como el teorema de transversalidad de multijets . Véase el libro de Golubitsky y Guillemin.

Suponer${\displaystyle F:X\times S\to Y}$es un${\displaystyle C^{k}}$mapa de${\displaystyle C^{\infty }}$-Variedades de Banach. Supongamos:

(i)${\displaystyle X,S}$y${\displaystyle Y}$no son vacíos, son metrizables${\displaystyle C^{\infty }}$-Variedades de Banach con espacios de cartas sobre un campo${\displaystyle \mathbb {K} .}$

(ii) El${\displaystyle C^{k}}$-mapa${\displaystyle F:X\times S\to Y}$con${\displaystyle k\geq 1}$tiene${\displaystyle y}$como un valor regular.

(iii) Para cada parámetro${\displaystyle s\in S}$, el mapa${\displaystyle f_{s}(x)=F(x,s)}$es un mapa de Fredholm , donde${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)<k}$por cada${\displaystyle x\in f_{s}^{-1}(\{y\}).}$

(iv) La convergencia${\displaystyle s_{n}\to s}$en${\displaystyle S}$como${\displaystyle n\to \infty }$y${\displaystyle F(x_{n},s_{n})=y}$a pesar de${\displaystyle n}$implica la existencia de una subsecuencia convergente${\displaystyle x_{n}\to x}$como${\displaystyle n\to \infty }$con${\displaystyle x\in X.}$

Si se cumplen las condiciones (i)-(iv), entonces existe un subconjunto abierto y denso.${\displaystyle S_{0}\subset S}$de tal manera que${\displaystyle y}$es un valor regular de${\displaystyle f_{s}}$para cada parámetro${\displaystyle s\in S_{0}.}$

Ahora, corrige un elemento.${\displaystyle s\in S_{0}.}$Si existe un número${\displaystyle n\geq 0}$con${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)=n}$para todas las soluciones${\displaystyle x\in X}$de${\displaystyle f_{s}(x)=y}$, entonces el conjunto de soluciones${\displaystyle f_{s}^{-1}(\{y\})}$consta de un${\displaystyle n}$-dimensional${\displaystyle C^{k}}$-La variedad de Banach o el conjunto solución está vacío.

Tenga en cuenta que si${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)=0}$para todas las soluciones de${\displaystyle f_{s}(x)=y,}$entonces existe un subconjunto denso abierto${\displaystyle S_{0}}$de${\displaystyle S}$de tal manera que existan como máximo un número finito de soluciones para cada parámetro fijo.${\displaystyle s\in S_{0}.}$Además, todas estas soluciones son habituales.