Teorema de Bertini

En geometría algebraica , el teorema de Bertini es un teorema de existencia y genericidad para secciones hiperplanas conexas suaves de variedades proyectivas suaves sobre cuerpos algebraicamente cerrados , introducido por Eugenio Bertini . Este es el más simple y amplio de los "teoremas de Bertini" que se aplican a un sistema lineal de divisores ; el más simple porque no hay restricción sobre la característica del cuerpo subyacente, mientras que las extensiones requieren característica 0. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Sea X una variedad cuasiproyectiva lisa sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, incrustada en un espacio proyectivo.${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$. Dejar${\displaystyle |H|}$denotan el sistema completo de divisores de hiperplanos en${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$. Recuerda que es el espacio dual${\displaystyle (\mathbf {P} ^{n})^{\star }}$de${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$y es isomorfo a${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$.

El teorema de Bertini establece que el conjunto de hiperplanos que no contienen a X y cuya intersección suave con X contiene un subconjunto abierto y denso del sistema total de divisores.${\displaystyle |H|}$. El conjunto mismo es abierto si X es proyectivo. Si${\displaystyle \dim(X)\geq 2}$, entonces estas intersecciones (llamadas secciones hiperplanas de X ) están conectadas, por lo tanto irreducibles.

Por lo tanto, el teorema afirma que una sección de hiperplano general distinta de X es suave, es decir: la propiedad de suavidad es genérica.

Sobre un cuerpo arbitrario k , existe un subconjunto abierto denso del espacio dual.${\displaystyle (\mathbf {P} ^{n})^{\star }}$cuyos puntos racionales definen secciones hiperplanas suaves de X. Cuando k es infinito, este subconjunto abierto tiene entonces infinitos puntos racionales y hay infinitas secciones hiperplanas suaves en X.

Sobre un cuerpo finito , el subconjunto abierto mencionado anteriormente puede no contener puntos racionales y, en general, no existen hiperplanos con intersección suave con X. Sin embargo, si tomamos hipersuperficies de grados suficientemente grandes, entonces se cumple el teorema de Bertini. ^{[ 3 ]}

Consideramos la subfibración de la variedad de productos.${\displaystyle X\times |H|}$con fibra arriba${\displaystyle x\in X}$el sistema lineal de hiperplanos que intersecan X de forma no transversal en x .

El rango de la fibración en el producto es uno menos que la codimensión de${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{n}}$, de modo que el espacio total tenga una dimensión menor que${\displaystyle n}$y por lo tanto su proyección está contenida en un divisor del sistema completo.${\displaystyle |H|}$.

Sobre cualquier campo infinito${\displaystyle k}$de característica 0, si X es una cuasiproyectiva suave${\displaystyle k}$-variedad, un miembro general de un sistema lineal de divisores en X es suave fuera del lugar base del sistema. Para mayor claridad, esto significa que dado un sistema lineal${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbf {P} ^{n}}$, la preimagen${\displaystyle f^{-1}(H)}$de un hiperplano H es suave —fuera del lugar base de f— para todos los hiperplanos H en algún subconjunto abierto denso del espacio proyectivo dual${\displaystyle (\mathbf {P} ^{n})^{\star }}$Este teorema también se cumple en característica p>0 cuando el sistema lineal f no está ramificado. ^{[ 4 ]}

El teorema de Bertini se ha generalizado de diversas maneras. Por ejemplo, un resultado debido a Steven Kleiman afirma lo siguiente (cf. teorema de Kleiman ): para un grupo algebraico conexo G , y cualquier G -variedad homogénea X , y dos variedades Y y Z que se aplican a X , sea Y ^σ la variedad obtenida al hacer actuar σ ∈ G sobre Y. Entonces, existe un subesquema denso abierto H de G tal que para σ ∈ H ,${\displaystyle Y^{\sigma }\times _{X}Z}$es vacío o puramente de la dimensión (esperada) dim Y + dim Z − dim X . Si, además, Y y Z son suaves y el campo base tiene característica cero, entonces H puede tomarse de tal manera que ${\displaystyle Y^{\sigma }\times _{X}Z}$es fluido para todos${\displaystyle \sigma \in H}$, también. El teorema anterior de Bertini es el caso especial donde${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$se expresa como el cociente de SL _n por el subgrupo de Borel de matrices triangulares superiores, Z es una subvariedad e Y es un hiperplano. ^{[ 5 ]}

El teorema de Bertini también se ha generalizado a dominios de valuación discretos o cuerpos finitos, o para recubrimientos étale de X.

Este teorema se utiliza con frecuencia para los pasos de inducción.

• Teorema de conectividad de Grothendieck

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 
• Bertini y sus dos teoremas fundamentales, por Steven L. Kleiman, sobre la vida y obra de Eugenio Bertini.