Función triangular

Una función triangular (también conocida como función de sombrero o función de tienda ) es una función cuya gráfica tiene forma de triángulo. A menudo se trata de un triángulo isósceles de altura 1 y base 2 , en cuyo caso se denomina función triangular. Las funciones triangulares son útiles en el procesamiento de señales y la ingeniería de sistemas de comunicación como representaciones de señales idealizadas, y la función triangular específicamente como una función núcleo de transformación integral a partir de la cual se pueden derivar señales más realistas, por ejemplo, en la estimación de densidad de núcleo . También tiene aplicaciones en la modulación por impulsos codificados como forma de pulso para transmitir señales digitales y como filtro adaptado para recibirlas. Asimismo, se utiliza para definir la ventana triangular, a veces llamada ventana de Bartlett .

La definición más común es como una función por partes: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-|x|,&|x|<1;\\0&{\text{en otro caso}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

De forma equivalente, puede definirse como la convolución de dos funciones rectangulares unitarias idénticas :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)&=\operatorname {rect} (x)*\operatorname {rect} (x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (x-\tau )\cdot \operatorname {rect} (\tau )\,d\tau .\\\end{aligned}}}$$

La función triangular también puede representarse como el producto de las funciones rectangular y de valor absoluto :

$${\displaystyle \operatorname {tri} (x)=\operatorname {rect} (x/2){\big (}1-|x|{\big )}.}$$

Tenga en cuenta que algunos autores definen la función triangular con una base de ancho 1 en lugar de ancho 2:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-2|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-2|x|,&|x|<{\tfrac {1}{2}};\\0&{\text{en otro caso}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

En su forma más general, una función triangular es cualquier B-spline lineal : ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1}),&x_{j-1}\leq x<x_{j};\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j}),&x_{j}\leq x<x_{j+1};\\0&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}}$$

Mientras que la definición de arriba es un caso especial

$${\displaystyle \Lambda (x)=\operatorname {tri} _{j}(x),}$$

dónde${\displaystyle x_{j-1}=-1}$,${\displaystyle x_{j}=0}$, y${\displaystyle x_{j+1}=1}$.

Una B-spline lineal es lo mismo que una función lineal por partes continua.${\displaystyle f(x)}$y esta función triangular general es útil para definir formalmente${\displaystyle f(x)}$como

$${\displaystyle f(x)=\sum _{j}y_{j}\cdot \operatorname {tri} _{j}(x),}$$

dónde${\displaystyle x_{j}<x_{j+1}}$para todos los enteros${\displaystyle j}$La función lineal por partes pasa por cada punto expresado como coordenadas con par ordenado .${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$, eso es,

$${\displaystyle f(x_{j})=y_{j}.}$$

Para cualquier parámetro${\displaystyle a\neq 0}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&={\tfrac {1}{\sqrt {a}}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)*{\tfrac {1}{\sqrt {a}}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\\[1ex]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{|a|}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a}}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|;\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

La transformada se determina fácilmente utilizando la propiedad de convolución de las transformadas de Fourier y la transformada de Fourier de la función rectangular :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f),\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)}$es la función sinc normalizada .

Para la forma general, tenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\}&={\mathcal {F}}\left\{{\tfrac {1}{\sqrt {a}}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)*{\tfrac {1}{\sqrt {a}}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\right\}\\&={\tfrac {1}{a}}\ {\mathcal {F}}\left\{\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\right\}\\&={\tfrac {1}{a}}\ {\mathcal {F}}\left\{\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\right\}^{2}\\&={\tfrac {1}{a}}\ {a}^{2}\ \mathrm {sinc} ^{2}(a\cdot f)={a}\ \mathrm {sinc} ^{2}(a\cdot f).\end{aligned}}}$$

• Función de Källén , también conocida como función triangular.
• Mapa de la tienda de campaña
• Distribución triangular
• Onda triangular , una función periódica lineal por partes.
• funciones trigonométricas