Red de sincronización

Una red de sincronización es una red de sistemas dinámicos acoplados . Consiste en una red que conecta osciladores, donde los osciladores son nodos que emiten una señal con una frecuencia más o menos regular (posiblemente variable) y que también son capaces de recibir una señal.

Resulta particularmente interesante la transición de fase en la que toda la red (o un porcentaje muy elevado) de osciladores comienza a pulsar a la misma frecuencia, fenómeno conocido como sincronización. La red de sincronización se convierte entonces en el sustrato a través del cual se propaga la sincronización de estos osciladores. Dado que no existe una autoridad central que organice los nodos, se trata de un sistema autoorganizado .

En general, los osciladores pueden ser biológicos, electrónicos o físicos. Algunos ejemplos son las luciérnagas , los grillos , las células cardíacas , los láseres , los osciladores de microondas y las neuronas . Se pueden encontrar más ejemplos en muchos ámbitos.

En un sistema determinado, los osciladores pueden ser idénticos o diferentes. Es decir, la red puede estar compuesta por nodos homogéneos o heterogéneos.

Las propiedades de los osciladores incluyen: frecuencia , fase y frecuencia natural .

Las aristas de la red describen los acoplamientos entre osciladores. Estos acoplamientos pueden ser de tipo físico o consistir en alguna medida de proximidad a través de un medio como el aire o el espacio.

Las redes poseen varias propiedades, entre ellas: el número de nodos (osciladores), la topología de la red y la fuerza de acoplamiento entre los osciladores.

Kuramoto desarrolló un marco analítico importante para sistemas dinámicos acoplados , como sigue: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Una red de osciladores con frecuencias naturales variables será incoherente mientras la fuerza de acoplamiento sea débil.

Alquiler${\displaystyle \theta _{i}(t)}$ser la fase de la${\displaystyle i}$el oscilador y${\displaystyle \omega _{i}}$sea ​​su frecuencia natural , seleccionada aleatoriamente de una distribución de Cauchy-Lorentz de la siguiente manera:

${\displaystyle g(\omega )={\frac {\gamma }{\pi [\gamma ^{2}+(\omega -\omega _{0})^{2})}}}$, teniendo ancho${\displaystyle \gamma }$ y valor central${\displaystyle \omega _{0}}$,

obtenemos una descripción de la sincronización colectiva:

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}K_{ij}\sin(\theta _{j}-\theta _{i}),i=1,...,N}$,

dónde${\displaystyle N}$es el número de nodos (osciladores), y${\displaystyle K_{ij}}$es la fuerza de acoplamiento entre nodos${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$.

Kuramoto también ha desarrollado un " parámetro de orden ", que mide la sincronización entre nodos:

${\displaystyle r(t)={\bigg |}{\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}e^{i\theta _{j}(t)}{\bigg |}}$

Esto conduce a la definición asintótica de${\displaystyle K_{c}}$, la fuerza de acoplamiento crítica, como${\displaystyle N\to \infty }$y${\displaystyle t\to \infty }$

${\displaystyle r={\begin{cases}0,&K<K_{c}\\{\sqrt {1-(K_{c}/K)}},&K\geq K_{c}\end{cases}}}$

con${\displaystyle K_{c}=2\gamma}$.

Tenga en cuenta que${\displaystyle r=0\Rightarrow }$sin sincronización y${\displaystyle r=|e^{i\theta }|=1\Rightarrow }$sincronización perfecta.

Más allá de${\displaystyle K_{c}}$Cada oscilador pertenecerá a uno de dos grupos:

• un grupo que está sincronizado.
• un grupo que nunca se sincronizará, ya que sus frecuencias naturales difieren demasiado de la frecuencia de sincronización.

Las redes de sincronización pueden tener muchas topologías. La topología puede tener una gran influencia en la propagación de la dinámica. ^{[ 6 ]}

A continuación se enumeran algunas de las principales topologías:

• Redes regulares : Este tipo de redes se refiere a aquellas en las que cada nodo tiene el mismo número de enlaces. Las redes reticulares , los anillos y las redes totalmente conectadas son algunos ejemplos de esta topología.
• Grafos aleatorios : Desarrollados por Erdős y Rényi , estos grafos se caracterizan por una probabilidad constante de que exista un enlace entre dos nodos cualesquiera.
• Redes de mundo pequeño : Estas redes son el resultado de reconfigurar un cierto número de aristas en redes reticulares regulares. Las redes resultantes tienen una longitud de camino promedio mucho menor que las redes originales.
• Redes libres de escala : Presentes de forma ubicua en sistemas naturales, las redes libres de escala se caracterizan por un gran número de nodos de alto grado. En particular, la distribución de grados sigue una ley de potencias.

Los osciladores acoplados se han estudiado durante muchos años, al menos desde el péndulo de Wilberforce en 1896. En particular, los osciladores acoplados por pulsos fueron introducidos por Peskin en 1975 con su estudio de las células cardíacas. ^{[ 7 ]} Winfree desarrolló un enfoque de campo medio para la sincronización en 1967, que se desarrolló aún más en el modelo de Kuramoto en las décadas de 1970 y 1980 para describir grandes sistemas de osciladores acoplados. ^{[ 8 ]} Crawford aplicó las herramientas de la teoría de variedades y la teoría de bifurcaciones a la estabilidad de la sincronización con su trabajo a mediados de la década de 1990. ^{[ 9 ]} Estos trabajos coincidieron con el desarrollo de una teoría más general de sistemas dinámicos acoplados y su popularización por Strogatz et al. en 1990, continuando hasta principios de la década de 2000.

• Modelo Kuramoto
• Redes complejas
• Osciladores acoplados
• Sistemas dinámicos
• Física estadística
• Sistemas autoorganizados

• Steven Strogatz: La ciencia de la sincronización , una charla TED.
• Strogatz en Cornell
• Grupo de Investigación de Sistemas Autoorganizados en Harvard