Teorema de Serre-Swan

En los campos matemáticos de la geometría diferencial , la topología y la geometría algebraica , el teorema de Serre-Swan , también llamado teorema de Swan , relaciona la noción geométrica de haces vectoriales con el concepto algebraico de módulos proyectivos y da lugar a una intuición común en todas las matemáticas : "los módulos proyectivos son como haces vectoriales".

Las tres formulaciones precisas del teorema difieren ligeramente. El teorema original, demostrado por Jean-Pierre Serre en 1955, es de naturaleza más algebraica y se refiere a haces vectoriales en una variedad algebraica sobre un cuerpo algebraicamente cerrado (de cualquier característica ). Richard Swan, en 1962, demostró una variante analítica, que se refiere a haces vectoriales suaves en una variedad suave ( real , compleja o cuaterniónica ). Su variante topológica se refiere a haces vectoriales continuos (reales o complejos) en un espacio de Hausdorff compacto .

Supongamos que M es una variedad diferenciable (no necesariamente compacta) y E es un fibrado vectorial diferenciable sobre M de rango finito. Entonces Γ(E) , el espacio de secciones diferenciables de E , es un módulo sobre C ^∞ ( M ) (el álgebra conmutativa de funciones diferenciables de valor real sobre M ). El teorema de Swan establece que este módulo es finitamente generado y proyectivo sobre C ^∞ ( M ). En otras palabras, todo fibrado vectorial es un sumando directo de algún fibrado trivial:${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{k}}$para algún k . El teorema se puede demostrar construyendo un epimorfismo de fibrado a partir de un fibrado trivial.${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{k}\to E.}$Esto se puede hacer, por ejemplo, mostrando secciones s ₁ ... s _k con la propiedad de que para cada punto p , { s _i ( p )} abarcan la fibra sobre p .

Cuando M es conexo , también se cumple lo contrario: todo módulo proyectivo finitamente generado sobre C ^∞ ( M ) surge de esta manera a partir de algún fibrado vectorial suave sobre M . Dicho módulo puede verse como una función suave f sobre M con valores en las matrices idempotentes n × n para algún n . La fibra del fibrado vectorial correspondiente sobre x es entonces el rango de f ( x ). Si M no es conexo, lo contrario no se cumple a menos que se admitan fibrados vectoriales de rango no constante (lo que significa admitir variedades de dimensión no constante). Por ejemplo, si M es una variedad de 2 puntos de dimensión cero, el módulo${\displaystyle \mathbb {R} \oplus 0}$es finitamente generado y proyectivo sobre${\displaystyle C^{\infty }(M)\cong \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$pero no es libre , y por lo tanto no puede corresponder a las secciones de ningún fibrado vectorial (de rango constante) sobre M (todos los cuales son triviales).

Otra forma de enunciar el teorema anterior es que, para cualquier variedad lisa conexa M , el functor de sección Γ de la categoría de fibrados vectoriales lisos sobre M a la categoría de módulos C ^∞ ( M ) proyectivos finitamente generados es completo , fiel y esencialmente sobreyectivo . Por lo tanto, la categoría de fibrados vectoriales lisos sobre M es equivalente a la categoría de módulos C ^∞ ( M ) proyectivos finitamente generados . Para más detalles, véase ( Nestruev 2003 ) .

Supongamos que X es un espacio compacto de Hausdorff y C( X ) es el anillo de funciones continuas de valor real sobre X. De forma análoga al resultado anterior, la categoría de haces vectoriales reales de rango finito sobre X es equivalente a la categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre C( X ). El mismo resultado se cumple si se reemplaza "de valor real" por "de valor complejo" y "haz vectorial real" por "haz vectorial complejo", pero no se cumple si se reemplaza el cuerpo por un cuerpo totalmente disconexo como los números racionales .

En detalle, sea Vec( X ) la categoría de haces vectoriales complejos sobre X , y sea ProjMod(C( X )) la categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre el álgebra C*-C ( X ). Existe un functor Γ  : Vec( X ) → ProjMod(C( X )) que envía cada haz vectorial complejo E sobre X al C( X )-módulo Γ( X , E ) de secciones . Si${\displaystyle \tau$ :(E_{1},\pi _{1})\to (E_{2},\pi _{2})} es un morfismo de haces vectoriales sobre X entonces${\displaystyle \pi _{2}\circ \tau =\pi _{1}}$y de ello se deduce que

${\displaystyle \forall s\in \Gamma (X,E_{1})\quad \pi _{2}\circ \tau \circ s=\pi _{1}\circ s={\text{id}}_{X},}$

dando el mapa

${\displaystyle {\begin{cases}\Gamma \tau$ :\Gamma (X,E_{1})\to \Gamma (X,E_{2})\\s\mapsto \tau \circ s\end{cases}}}

que respeta la estructura del módulo (Várilly, 97) . El teorema de Swan afirma que el functor Γ es una equivalencia de categorías .

El resultado análogo en geometría algebraica , debido a Serre (1955 , §50), se aplica a haces vectoriales en la categoría de variedades afines sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. Sea X una variedad afín con haz de estructura${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X},}$y${\displaystyle {\mathcal {F}}}$un haz coherente de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos en X. Entonces${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es el haz de gérmenes de un fibrado vectorial de dimensión finita si y solo si${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},X),}$el espacio de secciones de${\displaystyle {\mathcal {F}},}$es un módulo proyectivo sobre el anillo conmutativo${\displaystyle A=\Gamma ({\mathcal {O}}_{X},X).}$

• Karoubi, Max (1978), Teoría K: una introducción , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-08090-1
• Manoharan, Palanivel (1995), "Teorema generalizado de Swan y su aplicación", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 123 (10): 3219– 3223, doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1264823-X , JSTOR 2160685 , MR 1264823  .
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics , 61 (2): 197– 278, doi : 10.2307/1969915 , JSTOR 1969915 , SEÑOR 0068874  .
• Swan, Richard G. (1962), "Vector Bundles and Projective Modules", Transactions of the American Mathematical Society , 105 (2): 264– 277, doi : 10.2307/1993627 , JSTOR 1993627 .
• Nestruev, Jet (2003), Smooth manifolds and observables , Graduate texts in mathematics, vol.  220, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95543-7
• Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, Gennadi (2005), Métodos topológicos geométricos y algebraicos en mecánica cuántica , World Scientific, ISBN 981-256-129-3.

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