Representación informática de superficies

En las aplicaciones técnicas de gráficos por computadora en 3D ( CAx ), como el diseño asistido por computadora y la fabricación asistida por computadora , las superficies son una forma de representar objetos. Las otras formas son los wireframes (líneas y curvas) y los sólidos. Las nubes de puntos también se utilizan a veces como formas temporales de representar un objeto, con el objetivo de utilizar los puntos para crear una o más de las tres representaciones permanentes.

Si se considera una parametrización local de una superficie:

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (u,v),}$

Entonces, las curvas obtenidas al variar u mientras se mantiene v fija son líneas de coordenadas , a veces llamadas líneas de flujo u . Las curvas obtenidas al variar v mientras u se mantiene fija se llaman líneas de flujo v . Estas son generalizaciones de las líneas de coordenadas cartesianas x e y en el sistema de coordenadas planas y de los meridianos y círculos de latitud en un sistema de coordenadas esféricas .

Las superficies abiertas no están cerradas en ninguna dirección. Esto significa que si se mueve en cualquier dirección a lo largo de la superficie, el observador chocará contra el borde de la misma. La parte superior del capó de un automóvil es un ejemplo de una superficie abierta en ambas direcciones.

Las superficies cerradas en una dirección incluyen un cilindro, un cono y un hemisferio. Dependiendo de la dirección del recorrido, un observador en la superficie puede chocar con un límite en dicha superficie o viajar indefinidamente.

Las superficies cerradas en ambas direcciones incluyen una esfera y un toro. Al moverse en cualquier dirección sobre dichas superficies, el observador viajará eternamente sin chocar con ningún borde.

Los lugares donde dos límites se superponen (excepto en un punto) se denominan costura . Por ejemplo, si uno imagina un cilindro hecho de una hoja de papel enrollada y pegada con cinta adhesiva en los bordes, los límites donde se pegan se denominan costura.

Algunas superficies abiertas y cerradas en una dirección pueden aplanarse hasta formar un plano sin deformarlas. Por ejemplo, un cilindro puede aplanarse hasta formar un área rectangular sin distorsionar la distancia entre las características de la superficie (excepto las distancias a lo largo de la división creada al abrir el cilindro). Un cono también puede aplanarse de esta manera. Estas superficies son lineales en una dirección y curvas en la otra (las superficies lineales en ambas direcciones eran planas desde el principio). Las superficies de chapa metálica que tienen patrones planos pueden fabricarse estampando una versión plana y luego doblándolas hasta obtener la forma adecuada, por ejemplo, con rodillos. Este es un proceso relativamente económico.

Otras superficies abiertas y cerradas en una dirección, y todas las superficies cerradas en ambas direcciones, no se pueden aplanar sin deformarse. Un hemisferio o una esfera, por ejemplo, no se pueden aplanar. Tales superficies están curvadas en ambas direcciones. Por eso los mapas de la Tierra están distorsionados. Cuanto mayor sea el área que representa el mapa, mayor será la distorsión. Las superficies de chapa metálica que carecen de un patrón plano deben fabricarse mediante estampación con matrices 3D (que a veces requieren múltiples matrices con diferentes profundidades de embutición y/o direcciones de embutición), que tienden a ser más caras.

Una superficie puede estar compuesta por uno o más parches , donde cada parche tiene su propio sistema de coordenadas UV. Estos parches de superficie son análogos a los arcos polinómicos múltiples utilizados para construir un spline . Permiten representar superficies más complejas mediante una serie de conjuntos de ecuaciones relativamente simples en lugar de un único conjunto de ecuaciones complejas. Por lo tanto, la complejidad de operaciones como las intersecciones de superficies se puede reducir a una serie de intersecciones de parches.

Las superficies cerradas en una o dos direcciones con frecuencia también deben dividirse en dos o más parches de superficie mediante el software.

Las superficies y los parches de superficie solo se pueden recortar en las líneas de flujo U y V. Para superar esta grave limitación, las superficies permiten limitar una superficie a una serie de límites proyectados sobre la superficie en cualquier orientación, siempre que esos límites estén cerrados colectivamente. Por ejemplo, recortar un cilindro en un ángulo requeriría una superficie de este tipo.

Una sola superficie puede abarcar múltiples parches de superficie en una sola superficie, pero no puede abarcar múltiples superficies.

Las caras planas son similares a las caras superficiales, pero están limitadas por una serie de límites colectivamente cerrados proyectados a un plano infinito, en lugar de una superficie.

Al igual que con las superficies, las caras de superficie cerradas en una o dos direcciones con frecuencia también deben dividirse en dos o más caras de superficie por el software. Para combinarlas nuevamente en una sola entidad, se crea una capa o un volumen. Una capa es una colección abierta de caras y un volumen es un conjunto cerrado. Las caras constituyentes pueden tener la misma superficie o cara de soporte o pueden tener diferentes soportes.

Se pueden rellenar volúmenes para crear un modelo sólido (posiblemente con otros volúmenes sustraídos del interior). También se pueden desplazar las superficies y las caras para crear sólidos de espesor uniforme.

Los parches de una superficie y las caras construidas sobre esa superficie suelen tener continuidad de puntos (sin espacios) y continuidad de tangentes (sin ángulos agudos). La continuidad de la curvatura (sin cambios bruscos de radio) puede o no mantenerse.

Sin embargo, las pieles y los volúmenes suelen tener una continuidad puntual, siendo habituales los ángulos agudos entre caras construidas sobre diferentes soportes (planos o superficies).

Las superficies se pueden mostrar de muchas maneras:

• Modo de estructura alámbrica. En esta representación, la superficie se dibuja como una serie de líneas y curvas, sin eliminación de líneas ocultas . Los límites y las líneas de flujo (curvas isoparamétricas) pueden mostrarse como curvas sólidas o discontinuas. La ventaja de esta representación es que se puede mostrar y rotar una gran cantidad de geometría en la pantalla sin necesidad de demoras para el procesamiento de gráficos.

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  bordes ocultos del wireframe
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  isolíneas ultravioleta de estructura alámbrica

• Modo facetado. En este modo, cada superficie se dibuja como una serie de regiones planas, normalmente rectángulos. La eliminación de líneas ocultas se utiliza normalmente con este tipo de representación. La eliminación estática de líneas ocultas no actualiza qué líneas están ocultas durante la rotación, sino solo cuando se actualiza la pantalla. La eliminación dinámica de líneas ocultas actualiza continuamente qué curvas están ocultas durante las rotaciones.

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  Estructura alámbrica de facetas
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  Faceta sombreada

• Modo sombreado. Luego, se puede agregar sombreado a las facetas, posiblemente con una combinación entre las regiones para lograr una visualización más uniforme. El sombreado también puede ser estático o dinámico. Por lo general, se utiliza una calidad de sombreado más baja para el sombreado dinámico, mientras que el sombreado de alta calidad, con múltiples fuentes de luz, texturas , etc., requiere un retraso para la representación.

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  sombreado
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  líneas de reflexión
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  imagen reflejada

Los sistemas CAD / CAM utilizan principalmente dos tipos de superficies:

• Las superficies regulares (o canónicas) incluyen superficies de revolución como cilindros, conos, esferas y toros, y superficies regladas (lineales en una dirección) como superficies de extrusión.
• Las superficies de forma libre (normalmente NURBS ) permiten representar formas más complejas a través del modelado de superficies de forma libre . ^[1]

Otras formas de superficie, como facetas y vóxeles, también se utilizan en algunas aplicaciones específicas.

En la ingeniería asistida por computadora y el análisis de elementos finitos , un objeto puede representarse mediante una malla de superficie de puntos de nodo conectados por triángulos o cuadriláteros ( malla poligonal ). Se pueden obtener resultados más precisos, pero también mucho más intensivos en el uso de la CPU, utilizando una malla sólida . El proceso de creación de una malla se llama teselación . Una vez teselada, la malla se puede someter a tensiones simuladas, deformaciones, diferencias de temperatura, etc., para ver cómo se propagan esos cambios de un punto de nodo a otro a lo largo de la malla.

En la realidad virtual y la animación por ordenador , un objeto también puede representarse mediante una malla de superficie de puntos de nodo conectados por triángulos o cuadriláteros. Si el objetivo es solo representar la parte visible de un objeto (y no mostrar cambios en el objeto), una malla sólida no sirve para esta aplicación. Los triángulos o cuadriláteros pueden sombrearse de forma diferente según su orientación hacia las fuentes de luz o el espectador. Esto dará una apariencia bastante facetada, por lo que con frecuencia se agrega un paso adicional en el que se mezcla el sombreado de las regiones adyacentes para proporcionar un sombreado suave. Hay varios métodos para realizar esta combinación.

• Animación
• Representación de límites
• Superficie digital
• Modelo de superficie digital
• Generación de malla

• 3D-XplorMath: Programa para visualizar todo tipo de superficies en modo wireframe, patch y anaglifo.