Paquete de superficies sobre el círculo

En matemáticas , un fibrado de superficie sobre el círculo ^{[ 1 ]} es un fibrado con espacio base un círculo y con espacio fibrado una superficie . Por lo tanto, el espacio total tiene dimensión 2 + 1 = 3. En general, los fibrados sobre el círculo son un caso especial de toros de mapeo .

He aquí la construcción: tomemos el producto cartesiano de una superficie con el intervalo unitario . Peguemos las dos copias de la superficie, en el borde, mediante algún homeomorfismo. Este homeomorfismo se denomina monodromía del fibrado de superficies. Es posible demostrar que el tipo de homeomorfismo del fibrado obtenido depende únicamente de la clase de conjugación , en el grupo de clases de mapeo , del homeomorfismo de pegado elegido.

Esta construcción es una fuente importante de ejemplos tanto en el campo de la topología de baja dimensión como en la teoría geométrica de grupos . En el primero, encontramos que la geometría de la variedad tridimensional está determinada por la dinámica del homeomorfismo. Esta es la parte fibrada del teorema de geometrización de William Thurston para variedades de Haken, cuya demostración requiere la clasificación de Nielsen-Thurston para homeomorfismos de superficie, así como resultados profundos en la teoría de grupos kleinianos . En la teoría geométrica de grupos, los grupos fundamentales de tales fibrados dan una clase importante de extensiones HNN : es decir, extensiones del grupo fundamental de la fibra (una superficie) por los enteros.

Un caso especial sencillo de esta construcción (considerado en el artículo fundamental de Henri Poincaré ) es el de un fibrado toroidal .

• Conjetura virtualmente fibrosa